广西北海市2021届高三第一次模拟考试 数学（理） (含答案)
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数学(理科)试卷
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，则复数的虚部是
A. B.i C. D.i
2.已知集合S＝{1，2}，T＝{x|ln(x－1)≤0}，则S∪T＝
A.{x|1<x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{1，2} D.{x|1<x<2}
3.已知向量a＝(1，3)，b＝(t，1)，若(a－b)//b，则实数t的值为
A. B.3 C.－1 D.－1或2
4.已知函数f(x)＝，则f(1)－f(－1)＝
A.7 B.4 C.－7 D.－4
5.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程＝0.25x＋k，
则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为
A.33℃ B.34℃ C.35℃ D.35.5℃
6.函数f(x)＝的大致图象为
7.2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹。造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命。现从5张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这5个图案的卡片(卡片的形状、大小、质地均相同)中随机选取3张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为
A. B. C. D.
8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为
A.6 B.14 C.16 D.38
9.在正项等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，满足a1a2a3…am＝a2m＋1，则m＝
A.4 B.3 C.5 D.8
10.2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆。设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是R，R，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是
A. B. C. D.
11.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，当f(x1)f(x2)＝3时，|x1－x2|min＝π，f(0)＝，则下列结论正确的是
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的图象的一个对称中心为(，0)
C.函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝
D.函数f(x)的图象可以由函数y＝cosωx的图象向右平移个单位长度得到
12.如图是一个由正四棱锥P－A1B1C1D1和正四棱柱ABCD－A1B1C1D1构成的组合体，正四棱锥的侧棱长为6，BB1为正四棱锥高的4倍。当该组合体的体积最大时，点P到正四棱柱ABCD－A1B1C1D1外接球表面的距离的最小值是
A.6－4 B.6(－) C.6(－1) D.6(－1)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为1＋，则该切线的方程为 。
14.设等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，则 。
15.(2－ax)2(1＋x)3展开式中x2的系数为－24，则a＝ 。
16.已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形F1NF2M的周长为p，面积为S，且满足32S＝p2，则该双曲线的离心率为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)sinA＝csinC＋(2a－b)sinB。
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，求△ABC面积的最大值。
18.(本小题满分12分)
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于点F。
(1)求证：EF//B1C；
(2)求二面角F－B1C－D的余弦值。
19.(本小题满分12分)
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点(m，2)到其焦点F的距离为2。
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设抛物线C的准线与x轴交于点P，直线l过点P且与抛物线C交于A，B两点(点A在点P，B之间)，点Q满足，当△ABF与△APQ的面积之和取得最小值时，求直线l的方程。
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(x2－2x＋a)ex。
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a＝1时，判断函数g(x)＝f(x)－x2＋lnx零点的个数，并说明理由。
21.(本小题满分12分)
出于“健康、养生”的生活理念，某地的M炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐。M炊具有限公司下辖甲、乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造T型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造L型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为[50，100])划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品。质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：
将此样本的频率估计为总体的概率。生产一口T型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口L型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元。
(1)记X为生产一口T型双耳平底锅和一口L型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量X的数学期望；
(2)M炊具有限公司生产的T和L型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中[70，80)为三级品，[80，90)为二级品，[90，100]为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点(1，0)且倾斜角为60°，曲线C的参数方程为(α为参数)。
(1)以原点为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
(2)求直线l被曲线C所截得的线段的长度。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数f(x)＝|x－a|＋|x－4|。
(1)当a＝1时，求不等式f(x)<7的解集；
(2)若x0∈R，f(x0)<|a＋3|，求a的取值范围。
