广西普通高中2021届高三上学期高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理） (含答案)

广西普通高中2021届高考精准备考原创模拟卷（一）理科数学本试卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（    ）A．      B．      C．      D．2．若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则等于（    ）A．      B．      C．0      D．13．从4个男生、3个女生中随机抽取出3人，则抽取出的3人不全是男生的概率是（    ）A．      B．      C．      D．4．已知，则（    ）A．      B．      C．      D．5．函数的图象是（    ）A．    B．    C．    D．6．我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是面积，“势”即为高，意思是：夹在两平行平面之间的两个几何体，被平行这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相同，那么这两个几何体的体积相等．某几何体的三视图如图所示，该几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（    ）A．      B．      C．      D．7．如图是一个计算：的算法流程图，若输入，则由上到下的两个空白内分别应该填入（    ）A．      B．C．      D．8．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（    ）A．1      B．2      C．3      D．49．现在需要制作一个长和宽分别为和的矩形大裱框，要求其长和宽使用不同的材质，长和宽材质的单价分别为10元/m和20元/m，在总制作费用不超过100元的条件下，可裱框相片的最大面积为（    ）A．      B．      C．      D．10．在中，．若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为（    ）A．      B．      C．      D．11．在平面直角坐标系中，过y轴正方向上一点作斜率为1的直线，与抛物线相交于A，B两点，过线段的中点P作一条垂直于x轴的直线，与直线交于Q，若的面积为，则c的值为（    ）A．      B．      C．      D．12．设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（    ）A．      B．      C．      D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在二项式的展开式中，项的系数是15，则实数a的值为_______．14．已知实数x，y满足约束条件则的最大值为__________．15．在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，则的面积为_____________．16．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且内接于球O，若此三棱柱的高为2，体积是1，则球O的半径的最小值为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列中，．（1）求的值；（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（12分）在平行六面体中，已知O为平行四边形的中心，E为的中点．（1）求证：平面；（2）若在平面上的射影为四边形的中心，，，，求平面与平面所成二面角（平面角不大于）的大小．19．（12分）在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势．但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充．看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化．某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站（电子纸质均可凭电子借书卡借书）由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．若将该80人分成两个年龄层次，年龄在定义为中青年，在定义为老年．（1）从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，求抽取的这3人都为中青年的概率（直接用组合数表示）；（2）为进一步调查阅读习惯（电子阅读和传统阅读）与年龄层次是否有关，得到如下列联表：完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”． 中青年老年合计电子阅读 13 传统阅读13  合计  80附：，（其中）临界值表供参考：0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82820．（12分）设函数．（1）当时，判断的单调性；（2）若当时，不等式恒成立，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆的长轴长为4，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）直线l的斜率为，且与椭圆相交于A，B两点（异于点P），过P作的角平分线交椭圆于另一点Q．（ⅰ）证明：直线与坐标轴平行；（ⅱ）当时，求四边形的面积．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，四边形的顶点都在曲线上，点A的极坐标为，点A与C关于y轴对称，点D与C关于直线对称，点B与D关于x轴对称．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为上任意一点，求点P到直线的距离d的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数．（1）解不等式；（2）若，使得，求实数m的取值范围． 2021届高考精准备考原创模拟卷（一）理科数学参考答案、提示及评分细则1．D  ∵集合，集合，所以．2．B  因为，所以，所以，所以．所以．3．C  “抽取出的3人不全是男生”记为事件A，则表示“抽取出的3人全是男生”，，所以．4．C  ∵，∴．5．B  由题得，所以函数是偶函数．所以图象关于y轴对称，所以排除A．C．又，所以，所以，所以D错误，故答案为B．6．D  由题意可知几何体的直观图如图：几何体的底面面积为，所以几何体的体积为，故选B．7．A  将4个选择支分别代入检验得，由上到下的两个空白内依次填入，才可以计算出，所以选A．8．B  函数，的图象向左平移个单位，得的图象，∴函数；又在上为增函数，∴，即，解，所以的最大值为2．故选B．9．C  由已知得，，所以，所以，当且仅当，，即时取等号，所以可裱框相片的最大面积为平方米．10．C  设双曲线的实半轴长，半焦距分别为a，c，因为，所以，因为以A，B为焦点的双曲线经过点C，所以，在三角形中由余弦定理得，所以，解得，所以，所以，所以，故选C．11．C  由题知，设直线的方程为，与联立消去y得，，设，则，因为P是的中点，P的横坐标为，所以，所以的面积为，因为的面积为，所以，所．12．D  构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，，所以在上单调递减，所以在R上单调递减．因为存在，所以，所以，化简得，所以，即．13．  由二项式定理，．当时，，于是的系数为，从而．14．  作出可行域为如图所示的三角形边界及其内部区域，易知，，．把变形为，当且仅当动直线过点时，z取得最大值为．15．  ，∴，∴．16．  设底面三角形的两条直角边长为a，b，因为三棱柱的高为2，体积是1，所以，所以，将直三棱柱补成一个长方体，则直三棱柱与长方体有同一个外接球，所以球O的半径为，当且仅当时取等号，所以球O的半径的最小值为．17．解：（1）∵，∴，                      2分．                        4分（2）假设存在实数，使得数列为等差数列，设，由为等差数列，则有，∴，即，解得．             7分则．     10分，                  11分所以存在实数，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列．         12分18．证明：（1）连结，如图所示．在平行六面体中，因为，所以四边形为平行四边形，所以相互平分，因为O为平行四边形的中心，所以O为的中点，所以O为的中点，     2分因为E为的中点，所以，因为平面平面，所以平面；                          4分（2）因为，所以，设四边形的中心为，因为若在平面上的射影为四边形的中心，所以平面．      5分如图所示，分别以射线为x，y，z轴建立空间坐标系，设，则，所以，             7分设平面的法向量为，则，令，则，所以．            9分取平面的法向量为，设平面与平面所成的角为，所以，所以．              12分19．解：（1）由频率分布直方图可得中青年人数为（人），      2分从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，抽取的这3人都为中青年的概率为；                   5分（2）由（1）得，老年人数为，由此可得列联表如图， 中青年老年合计电子阅读151328传统阅读133952合计285280                            8分由题意，              10分因为，所以有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”．                12分20．解：（1），令，当时，，                      3分所以当时，单调递增；所以，即，所以单调递增．                              6分（2）因为当时，不等式恒成立，所以当时，不等式恒成立，                      8分令，所以，              9分因为当时，，所以，所以单调递增，所以，所以．                        12分21．解：（1）由题意可得，解得，                2分所以椭圆的方程为：；                        3分（2）设直线l的方程为：，设，联立直线l与椭圆的方程，整理可得：，则，即，且．      5分（ⅰ）因为，所以的角平分线平行于y轴．即可证得直线与坐标轴平行；             7分（ⅱ）如图所示，当时，则，所以直线的方程为，即，             8分代入椭圆的方程可得，即，可得，所以可得A到直线的距离；                       9分直线的方程为：，代入椭圆的方程，即，可得，所以B到直线的距离，                          10分而由上可得，所以，所以四边形的面积为．                12分22．解：（1）由题知点A，C，D，B的极坐标分别为，           2分所以点A，C，D，B的直角坐标分别为．           4分（2）设是曲线上的任意一点，则（为参数），               5分因为C，D的直角坐标分别为，所以直线的直角坐标方程为，即，              6分所以，            8分因为，所以．        10分23．解：（1）函数               3分令，求得，或，故不等式的解集为．                   5分（2）若存在，使得，即有解，               7分由（1）可得的最小值为，                  8分故，解得．                      10分