2021届高三上学期期中备考金卷 文科数学试卷B卷（含答案）
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文科数学（B卷）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足(其中为虚数单位)，则复数为（ ）
A． B． C． D．
3．在数列中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数（为自然对数的底数），若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．若非零向量、满足且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
9．在正方体中，分别是，的中点，则（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
10．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，
且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与双曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一工厂生产了某种产品18000件，它们来自甲，乙，丙3个车间，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查，已知从甲，乙，丙3个车间依次抽取产品的件数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙车间生产的产品件数是________．
14．已知，则__________．
15．已知函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
16．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”．离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则__________．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且．
（1）确定角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值．
18．（12分）如图，四棱锥中，平面底面ABCD，是等边三角形，底面ABCD为梯形，且，，．
（1）证明：；
（2）求A到平面PBD的距离．
19．（12分）在疫情防控中，不聚集、戴口罩、保持社交距离是对每个人的基本要求同时，通过运动健身增强体质，进而提升免疫力对个人防护也有着重要的意义，某机构为了解“性别与休闲方式为运动”是否有关，随机调查了个人，其中男性占调查人数的．已知男性中有一半的人休闲方式是运动，而女性只有的人休闲方式是运动．
（1）完成下列列联表；
（2）若在犯错误的概率不超过0．05的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？
| 运动 | 非运动 | 总计 |
男性 |
|
|
|
女性 |
|
|
|
总计 |
|
|
参考公式：，其中．
0．050 | 0．010 | 0．001 | |
3．841 | 6．635 | 10．828 |
20．（12分）己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，当的面积为时，求实数的值．
21．（12分）已知（）．
（1）若对恒成立，求实数a范围；
（2）求证：对，都有．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线（为参数，且），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，．
（1）求与交点的直角坐标；
（2）若与相交于点A，与相交于点B，求最大值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
2020-2021学年上学期高三期中备考金卷
文科数学（B）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】，所以，故选A．
2．【答案】D
【解析】由可得，故选D．
3．【答案】C
【解析】因为，所以是公差为2等差数列，
因为，，所以，解得，
故选C．
4．【答案】D
【解析】因为，，，∴，
又在上是单调递减函数，故，故选D．
5．【答案】A
【解析】因为或，
所以是的充分不必要条件，故选A．
6．【答案】D
【解析】令，则，
所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故B不正确；
当时，，，
由，得；由，得，
所以在上递减，在上递增，结合图像分析，A、C不正确，
故选D．
7．【答案】C
【解析】设与的夹角为，
由已知得，，则，
∵，∴，，解得，故选C．
8．【答案】A
【解析】均为正实数，且，则，
，
当且仅当时取等号．
的最小值为20，故选A．
9．【答案】D
【解析】对于选项A，因为分别是，的中点，
所以点平面，点平面，
所以直线MN是平面的交线，
又因为直线在平面内，故直线MN与直线不可能平行，
故选项A错；
对于选项B，正方体中易知，
因为点是的中点，所以直线与直线不垂直，故选项B不对；
对于选项C，假设平面，可得．
因为是的中点，所以，这与矛盾，故假设不成立．
所以选项C不对；
对于选项D，分别取，的中点P、Q，连接PM、QN、PQ．
因为点是的中点，所以且．
同理且．
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以．
在正方体中，，，
因为，平面，平面，
所以平面．
因为，所以平面，故选项D正确，
故选D．
10．【答案】A
【解析】由，，成等差数列，可得，，
则，，，，
可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列．
则，
，
则的最大值可能为．
由，，可得，
，
因为，，，即，所以，
则，当且仅当时，，符合题意，
故的最大值为，故选A．
11．【答案】A
【解析】设，则，焦距，
圆，即，
所以圆是以为圆心，半径为的圆，
，
可得是直角三角形，且是圆的直径，所以，
即，解得，
因为，所以，所以，
所以，故选A．
12．【答案】C
【解析】由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，
即有解，
令，则，
则当时，；当时，，
故时，取得极大值，也即为最大值，
当趋近于时，趋近于，所以满足条件．故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】6000
【解析】设甲，乙，丙3个车间的产品件数分别为，，，
所以，解得，
所以这批产品中乙车间生产的产品件数是6000，故答案为6000．
14．【答案】
【解析】∵，∴，
又，∴，本题正确结果．
15．【答案】
【解析】当时，令，得，即，该方程至多两个根；
当时，令，得，该方程至多两个根，
由于函数恰有个不同的零点，则函数在区间和上均有两个零点．
由题意知，直线与函数在区间上的图象有两个交点，如下图所示：
由图象可知，，解得；
函数在区间上也有两个零点，
令，解得，，
由题意可得，解得，
综上所述，实数的取值范围是，故答案为．
16．【答案】
【解析】设，，，，
则．
故答案为．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由及正弦定理得，
∵，∴，
∵是锐角三角形，∴．
（2）∵，面积为，∴，即．①
∵，∴由余弦定理得，即．②
由②变形得，
③将①代入③得，故．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由余弦定理得，
∴，∴，，
，∴．
又平面底面，平面底面，底面，
∴平面，
又平面，∴．
（2）设到平面的距离为，取中点，连结，
∵是等边三角形，∴．
又平面底面，平面底面，平面，
∴底面，且，
由（1）知平面，又平面，∴．
∴，即，解得．
19．【答案】（1）列联表见解析；（2）140人．
【解析】（1）由题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；
被调查的女性人数应为，其中有人的休闲方式是运动，则列联表如下：
| 运动 | 非运动 | 总计 |
男性 | |||
女性 | |||
总计 |
（2）由表中数据，得，
要使在犯错误的概率不超过0．05的前提下，认为“性别与休闲方式有关”，
则，
所以，解得，
又且，所以，
即本次被调查的人数至少有140人．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知，，则，∴，
∴椭圆的方程为．
（2）设，，
联立，得，
∴，解得，
，，
∴，
又点到直线的距离为，
∵，解得，
∴．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），
当时，对恒成立，则在上单调递增，
由，与题设矛盾；
当时，由，得；由，得，
在单调递减，在单调递增．
对成立，
令（），
（），
由，得；由，得．
在单调递增，在单调递减，
，
只有适合题意，
综上，a的取值范围是．
（2）由（1）可知，时，，则，
，
令，则，
，
由，知，则，
．
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，
曲线的直角坐标方程为．
联立，解得或，
所以与交点的直角坐标为和．
（2）曲线的极坐标方程为，其中，
因此得到极坐标为，的极坐标为．
所以，
当时，取得最大值，最大值为．
23．【答案】（1）或；（2）或．
【解析】（1）不等式可化为．
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即，
综上所述：不等式的解集为或．
（2）由不等式可得，
∵，∴，
即，解得或，
故实数的取值范围是或．
