新教材）2020-2021学年下学期高二期中备考金卷B卷

（新教材）2020-2021学年下学期高二期中备考金卷

数学（B）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．物体的运动位移方程是（的单位：；的单位：），则物体在的速度是（    ）

A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s

2．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．或

3．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知直线与曲线相切，则（    ）

A．1 B． C．0 D．

5．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三位同学对选取的礼物都满意，则选法有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

6．二项式的展开式中，含项的系数为（    ）

A．1140 B．1330 C．190 D．210

7．点P在函数的图象上，若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，

则实数a的值为（    ）

A． B．3 C．4 D．5

8．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．在的展开式中，有下列四个命题，其中为真命题的是（    ）

A．非常数项系数的绝对值的和是1 B．系数最大的项是第1009项

C．偶数项的系数和是 D．当时，除以2018的余数为1

10．已知函数，则（    ）

A．过点有且只有一条直线与曲线相切

B．当时，

C．若方程有两个不同的实数根，则的最大值为1

D．若，，则

11．下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值

可以是（    ）

A．0 B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．设函数可导，若，则__________．

14．若函数在上不单调，则实数a的取值范围是______．

15．用这六个数字组成无重复数字的自然数．（1）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字及个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如等都是“凸数”，则“凸数”有_____个；（2）在组成的五位数中，恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有_____个．

16．已知函数在的值域为，则实数的取值范围为________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．

（1）求项数；

（2）求展开式中的二项式系数最大的项；

（3）求展开式中所有系数的绝对值的和．

18．（12分）现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学．

（1）若本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？

（2）若本书都不相同，共有多少种分法？

（3）若本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？

19．（12分）（1）计算：；

（2）已知，求的值（用数字作答）．

20．（12分）已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设函数（为的导函数），若方程在上有且仅有两个实根，求实数的取值范围．

21．（12分）已知函数，，，．

（1）讨论函数的单调区间及极值；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．

22．（12分）已知函数（其中为自然对数的底数）．

（1）求函数的最小值；

（2）求证：．

（新教材）2020-2021学年下学期高二期中备考金卷

数学（B）答案

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】由物体运动速度为位移对时间的导数，即，

∴时，，故选C．

2．【答案】D

【解析】设所求点为，

因为，所以，

因为切线的倾斜角为，所以切线斜率为，

即，所以，

则当时，；

当时，，

所以所求点的坐标为或，故选D．

3．【答案】B

【解析】，

令，解得或；令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以的两个极值点为，故排除选项A和选项D，

当时，，，所以恒为正，排除选项C，

即只有选项B符合要求，故选B．

4．【答案】B

【解析】设切点坐标为，求导得，则，得，

又，得，故选B．

5．【答案】A

【解析】①若甲同学选择牛，则乙同学有种选择，丙同学有种选择，选法种数为，

②若甲同学选择马，则乙同学有种选择，丙同学有种选择，选法种数为，

综上，总共有种选法，故选A．

6．【答案】A

【解析】根据二项式定理得的展开式中，

含项的系数为

，

故选A．

7．【答案】D

【解析】过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，

因为，于是，所以，，∴，

于是当点P到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，

∴，解得或，

又当时，函数的图象与直线不相交（如图），

从而只有一个点到直线距离为，所以不满足；

当时，函数的图象与直线相交，满足条件，

故选D．

8．【答案】C

【解析】因为在区间内任取两个实数，且，

若不等式恒成立，

即在区间内任取两个实数，且，

若不等式恒成立，

它表示函数在上任意两点间连线的斜率大于，

也即在上任意两点间连线的斜率大于，

所以在恒成立，变形得，

时，，即，当且仅当时等号成立．

所以，的最小值为，故选C．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．【答案】BD

【解析】对于A中，由的展开式中，常数项为1，

令，得所有项系数的绝对值的和为，

所以展开式中非常数项系数的绝对值的和为，所以A是假命题；

对于B中，展开式的通项公式为，

所以系数最大的项是第1009项，所以B是真命题；

对于C中，令，得，易知展开式中奇数项系数为正，偶数项系数为负，

故展开式中偶数项的系数和是，所以C是假命题；

对于D中，当时，，

展开式中不含2018的项是1，所以当时，除以2018的余数为1，

所以D是真命题，

故选BD．

10．【答案】BCD

【解析】当时，，，

设切点为，则，解得，

故当时，过点且与曲线相切的直线方程为；

当时，，，

设切点为，由，解得，

故当时，过点且与曲线相切的直线方程为，选项A不正确；

当时，曲线的一条切线方程为，所以，选项B正确；

作出函数的大致图象，如图所示，

结合图象可知，若方程有两个不同的实数根，则的最大值为1，选项C正确；

由图易知，，且，即，所以，得，

由，得，得，

所以，．

令，，则，

由，得，所以在上单调递减，

所以，所以，所以，选项D正确，

故选BCD．

11．【答案】AC

【解析】构造函数，则，

当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减，

所以当时，取得最大值．

A选项，，

由可得，故A正确；

B选项，，

由，可得，故B错误；

由可推导出，

即，即，则，即，

所以，故C正确；

D选项，因为，

所以，所以，故D错误，

故选AC．

12．【答案】CD

【解析】，，

由已知得，过点作曲线的三条切线，情况如下：

①点在曲线上，故此时，切点为，把点代入函数可得，

利用切线公式得，

所以，此时切线为轴，但此时切线只有一条，不符合题意；

②点不在曲线上，故此时切点在曲线上，设切点为，故切线经过，

切线方程为，

又因为切点在曲线上，所以，

又因为切线的斜率为，联立方程得，

化简得，

令，即有三个解，即与有三个交点，

令，可得两极值点为，；

对于，在和时，单调递增；在时，单调递减，

所以，当时，因为，，

所以，当时，满足与有三个交点，

而，故选CD．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】3

【解析】因为，所以，即，

故．

14．【答案】

【解析】因为函数在上不单调，

所以函数在上存在变号零点，

由可得，，

于是，解得，

故答案为．

15．【答案】，

【解析】（1）将这些“凸数”分为三类，且百位不能为：

（i）若十位数字为，则只有“”，种情况；

（ii）若十位数字为，则共有；

（iii）若十位数字为，则共有（个），

所以，共有个符合题意的“凸数”．

（2）将符合题意的五位数分为三类：

（i）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（个）；

（ii）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（个）；

（iii）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（个），

所以，共有个符合题意的五位数．

故答案为，．

16．【答案】

【解析】由解析式知：，

∴在、上，，即单调递增；

在上，，即单调递减，

∴有极大值，极小值，

由题意知，，即有，解得，

故答案为．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）二项式展开式的通项为，

因为前三项系数的绝对值成等差数列，所以，

化简得，解得，（，舍去）．

（2）由（1）知，二项式的展开项共9项，故二项式系数最大的项为第项，

即．

（3）展开式中所有系数的绝对值的和为．

18．【答案】（1）种；（2）种；（3）150种．

【解析】（1）根据题意，若本书完全相同，将本书排成一排，中间有个空位可用，

在个空位中任选个，插入挡板，有种情况，

即有种不同的分法．

（2）根据题意，若本书都不相同，每本书可以分给人中任意1人，都有3种分法，

则5本不同的书有种．

（3）根据题意，分2步进行分析：

①将本书分成组，

若分成1、1、3的三组，有种分组方法；

若分成1、2、2的三组，有种分组方法，

则有种分组方法；

②将分好的三组全排列，对应名学生，有种情况，

则有种分法．

19．【答案】（1）；（2）．

【解析】

．

（2）由，可得，

即，

可得，

整理可得，解得或，

因为，可得，

所以

．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知，

所以，

又，所以切线方程为，即．

（2）由（1），定义域为，，

所以当时，，递减；时，，递增，

所以时，取得极小值也是最小值，

，时，，

所以方程在上有且仅有两个实根，则实数的取值范围是．

21．【答案】（1）见解析；（2）2．

【解析】（1）由，

得的定义域为，且．

①当时，恒成立，∴在上是减函数，无极值；

②当时，令，得；令，得，

所以函数在上为增函数，在为减函数，

且当时，有极小值，无极大值．

（2）恒成立，即恒成立，

令，则，

令，

显然是增函数，且，，

，使，即，

且当时，；时，，

，在上是增函数，在上是减函数，

∴当时，有最大值，

，．

所以整数的最小值为2．

22．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为，所以，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以．

（2）证明：要证，

只需证明对于恒成立，

令，则，

当时，令，则，

在上单调递增，即在上为增函数，

又因为，，

所以存在使得，

由，得，

即，即，即，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，

令，则，

所以在上单调递增，所以，

所以，所以，

即．