湖北省荆门市龙泉中学2021届高三11月月考 （期中）数学（含答案） 试卷
展开荆门市龙泉中学2021届高三年级11月月考
数学考试试题
本试卷共2页，全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．在复平面内，复数z＝（i为虚数单位）对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，B=，则集合的子集的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．已知a＝log42，b＝20.3，c＝cos1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
4．已知p：A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，q：B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4＞0}，若p是q成立的充分不必要条件，求m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞） B．（﹣3，5）
C．[﹣3，5] D．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）
5．已知，则＝（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
6．已知x，y∈（0，+∞），，则xy的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．若f（x）为定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．（﹣∞，﹣3） C． D．
8．设二次函数f（x）满足下列条件：①；②当x∈（0，2）时，恒成立．若f（x）在区间[m﹣1，m]上恒有，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知向量，则（ ）
A．若 ，则 k＝0 B．若 ，则k＝1
C．若 ，则 k＜1 D．若 ，则
10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于直线对称
B．函数f（x）的图象关于点对称
C．函数f（x）在区间上单调递增
D．y＝1与 图象的所有交点的横坐标之和为
11．下列结论不正确的是（ ）
A．当x＞0时，
B．当x＞0时，的最小值是2
C．当时，的最小值是
D．设x＞0，y＞0，且x+y＝2，则的最小值是
12．已知函数f（x）＝lnx﹣mx有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则（ ）
A．0＜x1＜1 B．x2＞e C． D．x2﹣x1的值随m的增大而减小
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的定义域为 ．
14．已知向量，满足，且，则向量与的夹角为 ．
15．若函数（e为自然对数的底数）在区间（1，2）上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
16．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足，则A＝ ；若O是△ABC外接圆的圆心，且，则实数m＝ ．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在①；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若____．
（1）求；
（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知向量，，且．
（1）求的值；
（2）若，求△ABC的面积S．
19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等边三角形，D，E分别为AC，A1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥BF．
（1）证明：平面BEF⊥平面BDF；
（2）若AB＝4，C1F＝2FC，求二面角D﹣BE﹣F的余弦值．
20．某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见表：
阶梯 | 年用气量（立方米） | 价格（元/立方米） |
第一阶梯 | 不超过228的部分 | 3.25 |
第二阶梯 | 超过228而不超过348的部分 | 3.83 |
第三阶梯 | 超过348的部分 | 4.70 |
从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如表：
居民用气编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年用气量（立方米） | 95 | 106 | 112 | 161 | 210 | 227 | 256 | 313 | 325 | 457 |
（1）求一户居民年用气费y（元）关于年用气量x（立方米）的函数关系式；
（2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；
（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P（k），求P（k）取最大值时的k值．
21．已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，ΔF1PF2面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线，交椭圆于M（x1，y1），交椭圆于N（x2，y2），且x1≠x2，证明直线MN过定点，并求出该定点坐标．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣mx2，，m∈R，F（x）＝f（x）+g（x）．
（1）讨论函数f（x）的单调区间及极值；
（2）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值.
龙泉中学2021届高三年级11月月考
数学参考答案
一．选择题（共8小题）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | D | B | D | A | B | A | D | C |
二．多选题（共4小题）
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | AD | BCD | BC | BCD |
三．填空题（共4小题）
13．（﹣，1）∪（1，2]． 14．． 15．（﹣e4，﹣e2）∪（e2，e4）． 16．，．
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）选择条件①：设等差数列{an}的公差为d，
则解得
∴，n∈N*；
选择条件②：∵4Sn＝n2+3n，
∴当n≥2时，4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝n2+3n﹣（n﹣1）2+3（n﹣1）＝2n+2
即（n≥2），
当n＝1时，，也适合上式，
∴，n∈N*；
选择条件③：设等差数列{an}的公差为d，
则，
解得a1＝1，，或a1＝0，d＝0，不合题意，舍去，
∴，n∈N*； …………………………5分
（2）由（1）可知，bn＝＝＝，
∴
＝＝． …………………………10分
18．解：（1）由可得b（cosA﹣2cosC）+（a﹣2c）cosB＝0
根据正弦定理可得，sinBcosA﹣2sinBcosC+sinAcosB﹣2sinCcosB＝0
∴（sinBcosA+sinAcosB）﹣2（sinBcosC+sinCcosB）＝0
∴sin（A+B）﹣2sin（B+C）＝0
∵A+B+C＝π
∴sinC﹣2sinA＝0
∴…………………………6分
（2）∵
由（1）可知c＝2a＝4，
∴b＝3
∴cosA＝＝，sinA＝＝
∴△ABC的面积S＝＝＝……………………12分
19．解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，从而有AA1⊥BD，
∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
又AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面ACC1A1，从而有BD⊥EF，
又∵EF⊥BF，BD∩BF＝B，
∴EF⊥平面BDF，
又∵EF在平面BEF内，
∴平面BEF⊥平面BDF； …………………………6分
（2）由（1）可知，EF⊥平面BDF，从而有EF⊥DF，
设CF＝m，则有m2+4+4m2+4＝9m2，即4m2＝8，得，
以D为坐标原点，DB，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面BEF的一个法向量为，
则，可取，
∵DC⊥平面BDE，
∴平面BDE的一个法向量为，
∴，
∴二面角D﹣BE﹣F的余弦值为． …………………………12分
20．解：（1）由题意，y＝；…………………3分
（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，
设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0，1，2，3．
P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，
P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝．
故ξ的分布列是：
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
∴E（ξ）＝； ………………………8分
（3）由题知，P（k）＝（k＝0，1，2，…，10）．
由，解得，k∈N*．
∴当k＝6时，概率P（k）最大，故k＝6． …………………………12分
21．解：（1）设a2﹣b2＝c2，则，
设P（x，y），则，
∵．解得．
所以椭圆C的方程为． …………………………4分
（2）证明：设MN方程为x＝ny+m，（n≠0），联立，
得（n2+4）y2+2nmy+m2﹣4＝0，∴，
因为关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为0，
即，即，
得2ny1y2+m（y1+y2）﹣4（y1+y2）＝0，即．
解得：m＝1．直线MN方程为：x＝ny+1，
所以直线MN过定点B（1，0）． …………………………12分
22．解：（1）定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣2mx＝，
①当m≤0时f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，无极值，
②当m＞0时令f′（x）＞0，∴0＜x＜，
令f′（x）＜0，∴x＞，
所以函数f（x）在（0，）上为增函数，在（，+∞）为减函数，
所以当x＝时，有极大值，极大值为﹣（ln2m+1），无极小值………………5分
（2）：由F（x）≤mx﹣1恒成立知m≥恒成立，
令h（x）＝，
则h′（x）＝，
令φ（x）＝2lnx+x，因为φ（）＝﹣ln4＜0，φ（1）＝1＞0，则φ（x）为增函数．
故存在x0∈（，1），使φ（x0）＝0，即2lnx0+x0＝0，
当0＜x＜x0时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，当x0＜x时，h′（x）＜0，h（x）为减函数．
所以h（x）max＝h（x0）＝＝，
而x0∈（，1），所以∈（1，2），
所以整数m的最小值为2． …………………………12分
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