广东省汕头市金山中学2021届高三上学期期中考试 数学(含答案)

汕头市金山中学2020-2021学年度第一学期

高三数学期中考试

第I卷（选择题共60分）

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（    ）

A．        B． C． D．

2．已知直线平面，则“”是“直线平面”的（      ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ）

A．  B．             C． D． 

4．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表，下面一粒珠（简称下珠）是，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨1粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为素数（除了和本身没有其它的约数）的概率是（     ）

A． B． C． D．

5．定义在上的奇函数满足，并且当时，，则的值为（     ）

A． B．             C．           D． 

6．已知，则（     ）

A． B． C． D．

7．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（      ）

A． B． C．  D．

8．对于函数与，若存在，使，则称，是函数与图象的一对“隐对称点” ．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）

9．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（    ）

A．关于点对称             B．关于点对称

C．关于直线对称 D．关于直线对称

10．在中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．

D．若，且，则为等边三角形

11．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为,并满足条件，，，下列结论正确的是(      )

A． B．

C．是数列中的最大值 D．数列无最大值

12．已知直三棱柱中，，， 为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为

B．无论点在上怎么运动，都有

C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且

D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°

第II卷(非选择题共90分）

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13． 的展开式中的系数为           ．

14．在中，，，为斜边上靠近点的三等分点，为边的中点，则的值为           ．

15．已知，，且，则最小值为__________．

16．已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1. 若，则该双曲线的离心率为____________.

四、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分10分）

在中，角的对边分别为，若，，.

（1）求边长；

（2）已知点为边的中点，求的长．

18．(本小题满分12分）

已知递增等比数列满足：，数列的前项和为，且，记..

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

19．(本小题满分12分）

为了解高三年级学生暑假期间的学习情况，某学校抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在暑假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间的有8人．

（1）求直方图中的值及甲班学生平均每天学习时间在区间的人数；

（2）从甲、乙两个班平均每天学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．

20．(本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，， ，，，．点为棱的中点．

 （1）证明：平面；

（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．

21．(本小题满分12分）

已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点为椭圆上的三点，若四边形为平行四边形，证明：四边形的面积为定值，并求该定值.

22．(本小题满分12分）

已知函数（为常数）．

（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；

（2）若存在两个极值点，且，求的最大值．

汕头市金山中学高三数学期中考试卷答案

13、          14、           15、         16、

12、【解析】直三棱柱中，，

选项A中，当点运动到中点时，有E为的中点，连接、，如下图示

即有面

∴直线与平面所成的角的正切值：

∵，

∴，故A正确

选项B中，连接，与交于E，并连接，如下图示

由题意知，为正方形，即有

而且为直三棱柱，有面，面

∴，又

∴面，面，故

同理可证：，又

∴面，又面，即有，故B正确

选项C中，点运动到中点时，即在△中、均为中线

∴Q为中线的交点重心

∴根据重心的性质有：，故C错误

选项D中，由于，直线与所成角即为与所成角：

结合下图分析知：点在上运动时

当在或上时，最大为45°

当在中点上时，最小为

∴不可能是30°，故D正确

故选：ABD

17．【解析】解：（1）由,,得,………1分

所以,…………3分

由正弦定理,可得.…………5分

（2）,…………6分

在中, …………8分

在中,由余弦定理得：…………9分

所以,        …………10分

18．【解析】（1），方程的两根，

，所以   …………2分

…………3分

当时，…………5分

，所以  …………6分

（2）

，…………10分

所以.…………12分

19．【解析】

（I） 由直方图知，，解得…………2分

因为甲班学习时间在区间的有8人，

所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．

所以甲班学习时间在区间的人数为（人）．…………4分

（II）乙班学习时间在区间的人数为（人）．

由⑴知甲班学习时间在区间的人数为3人，…………5分

在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3．…………6分

，，

，．        …………10分

所以随机变量的分布列为：

．…………12分

20．【解析】解：依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，

可得

由为棱的中点，得，

（1）向量，

故，，又面，面．所以．

又因为面，面，，

所以面                  ……………………5分

（2）

由点在棱上，设

故

由，得

因此，   …………7分

即…………8分

设为平面的法向量，则，即

不妨令，可得为平面的一个法向量，…………10分

取平面的法向量，则

因为二面角的平面角为锐角

所以二面角的余弦值为…………12分

 21．【解析】（1）由，得，……………………1分

将代入椭圆的方程可得，所以，……………………3分

故椭圆的方程为．……………………4分

（2）当直线的斜率不存在时，方程为：或，

从而有，

所以．……………………5分

当直线的斜率存在时，

设直线方程为：，，．

将的方程代入整理得：，

所以，，       

，        ……………………7分

由得：，……………………8分

将点坐标代入椭圆方程得：．……………………9分

点到直线的距离，

，

综上，平行四边形的面积为定值．……………………12分

22．【解析】（1）∵，，………………1分

∴．

设，，

∵是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，

∴在定义域上恒成立，即在上恒成立……2分

又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，

∴，  或，………………3分

解得.  ∴实数的取值范围为．………………4分

（2）由（1）知函数的两个极值点满足，

∴．………………5分

不妨设，

则在上是减函数，故，………………6分

∴

．………………8分

令，则，

又，即，解得，………………9分

故，  ∴．

设，则，

∴在上为增函数．       ………………11分

∴，

即．

所以的最大值为．………………12分