河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业3 练习
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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 已知复数，则复数的虚部为
A. 1 B. C. i D.
- 已知集合，，则
A. B. C. D.
- 设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为
A. B. C. D.
- 已知等差数列满足，则中一定为零的项是
A. B. C. D.
- 新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试合格考和选择性考试选择考其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级，某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：如图表
针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是
A. 获得A等级的人数减少了 B. 获得B等级的人数增加了倍
C. 获得D等级的人数减少了一半 D. 获得E等级的人数相同
- 执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A. B. C. D.
- 设函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是
A. B. C. D.
- 设数列的前n项和为，满足，则
A. 0 B. C. D.
- 已知抛物线C：，过其焦点F的直线与C交于A，B两点，O是坐标原点，记的面积为S，且满足，则
A. B. 1 C. D. 2
- 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为
A.
B.
C.
D.
|
- 已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
- 在中，A，B、C为其三内角，满足tanA，tanB、tanC都是整数，且，则下列结论中错误的是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知，则______．
- 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆交C的一条渐近线于点在第一象限内，若线段的中点Q在C的另一条渐近线上，则C的离心率______．
- 中国光谷武汉某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接面成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作，由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命单位：小时均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况各部件能否正常工作相互独立，那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台
- 已知正方体的棱长为2，P为体对角线上的一点，且，现有以下判断，若平画PAC，则周长的最小值是若为钝角三角形，则的取值范国为其中正确判断的序号为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
- 在中，，AD是的内角平分线，点D在线段BC上，且．
求sinB的值；
若，求的面积
- 如图，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置平面．
Ⅰ证明：；
Ⅱ若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角的余弦值．
- 已知点在椭圆C：上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为
求C的方程
设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段不含端点O，上，求的取值范围
- 武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城，其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风量区等等
为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：
现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记
4人中年龄在内的人数为，求
为了给游客提供更舒适的旅的体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投人至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光，由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量单位：万人都大于将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得如表
劳动节当日客流量X | |||
频数年 | 2 | 4 | 4 |
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．
该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量单位艘要受当日客流量单位：万人的影响，其关联关系如表
劳动节当日客流量X | |||
A型游船最多使用量 | 1 | 2 | 3 |
若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损万元记单位：万元表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投人多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大．
- 已知函数，
讨论极值点的个数
若是的一个极值点，且，证明：．
- 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为．
求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
设点，直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．
- 已知函数．
当时，求不等式的解集；
若不等式对任意的恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由，得．
则复数的虚部为1．
故选：A．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：集合，
，
故选：C．
先分别求出集合A，B，由此能求出．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为，均为单位向量，且，的夹角为，
所以在方向上的投影为：
，
故选：B．
在方向上的投影为，代入数值计算即可．
本题考查了平面向量投影的计算，属基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用通项公式即可得出．
【解答】
解：设等差数列的公差为d，，
，可得：，
，
则中一定为零的项是．
故选A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了频率分布直方图和扇形图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．
根据频率分布直方图扇形图，利用频率与样本容量的关系即可解答．
【解答】
解：由题可知：设2016年参加选择考的总人数为：a人；则：2018年参加选择考的总人数为：2a人；
2016年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：
A：、B：、C：、D：、E：；
2018年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A：、B：、C：、D：、E：；
对各个选项进行比较可得B正确．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，
由于．
故选：C．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：函数，
，
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，
由于为偶函数，
故：，
解得：，
当时，的最小值为．
故选：A．
首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换和伸缩变换的应用和性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
8.【答案】D
【解析】【分析】
直接利用函数的关系式的应用和偶函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，偶函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
【解答】
解：数列的前n项和为，满足，
则：当n为偶数时，，
所以：．
故选：D．
9.【答案】D
【解析】解：设直线AB的方程为：，将其代入抛物线C的方程得：，
设，，
则，，
又，，，
，
联立可得，
由弦长公式得，
，解得：．
故选：D．
联立直线与抛物线，根据韦达定理以及面积公式烈士可得．
本题考查了抛物线的性质，属中档题．
10.【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：
如图所示：
所以：，
故：，
所以：．
故选：C．
首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，进一步求出球的体积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可化为函数图象与的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可．
本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．
【解答】
解：函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，
而函数关于直线的对称图象为，
的图象与的图象有且只有四个不同的交点．
作函数的图象与的图象如下，
易知直线恒过点，
设直线AC与相切于点，
，
故，
解得，；
故．
设直线AB与相切于点，
，
故，
解得，．
故；
故，
故．
故选A．
12.【答案】A
【解析】解：中，由于，
所以B，C都是锐角，
由于tanB，tanC都是整数，
由，得，
可得A也为锐角，
这时，，，，
可得：，即，
由于：，，比较可知只可能，，，
由于：，可知，故B正确；
由于：，可知，
又，故选项C正确；
又由于，可得选项D正确；
故选：A．
由题意易得B，C都是锐角，利用诱导公式，两角和的正切函数公式可求，可得A也为锐角，由，，，可得，结合，，比较可知只可能，，，逐项分析即可得解．
本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式的应用问题，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．
13.【答案】10
【解析】解：，
则展开式的通项为，
令得，
故答案为：10．
由二项式定理及展开式通项公式得：展开式的通项为，令得，得解．
本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属简单题．
14.【答案】2
【解析】解：如图：因为Q，O分别是，的中点，所以，
为圆的直径，，
直线的方程为：与联立解得，
根据中点公式得，将其代入得：，
，．
故答案为：2．
如图：因为Q，O分别是，的中点，所以，
为圆的直径，，再根据直线的方程与联立得Q的坐标，根据中点公式得P的坐标，将其代入可得，可得离心率．
本题考查了双曲线的性质，属中档题．
15.【答案】375
【解析】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布，
得：三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为，
设超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常，超过10000小时时，元件3正常，
该部件的使用寿命超过10000小时．
则，，
事件A，B为相互独立事件，事件C为A、B同时发生的事件，
．
这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为．
故答案为：375．
先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过10000小时”当且仅当“超过10000小时时，
元件1、元件2至少有一个正常”和“超过10000小时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘，最后乘以1000得答案．
本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：对于，面，面，，正确；
对于，若平面PAC，几何体是正方体，在平面中，则，正确；
对于，建立空间直角坐标系，如图所示，设x，，，0，，2，；
，
的周长最小值为，错误；
对于，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长，
则0，，1，，1，，
0，，0，，1，，1，，0，，
，，，
，
显然不是平角，所以为钝角等价于，，
等价于，
即，
故，正确；
故答案为：．
根据空间中的垂直关系，即可判断的正误；
利用正方体的特征，判断平面PAC时对应的值即可；
建立空间直角坐标系，即可求得周长的最小值；
通过建立空间直角坐标系，求出为钝角三角形时的取值范围．
本题考查空间直角坐标系的应用，夹角与距离的关系，考查空间想象能力以及计算能力．
17.【答案】解：在中，由正弦定理可得：，即：，
在中，由正弦定理可得：，即，
两式子相除可得：，即，
可得：，即，
又，
可得：．
由，可得B是锐角，于是，
所以，
在中，由正弦定理可得：，
于是，
所以．
【解析】在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，两式相除可得，结合范围，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值．
由同角三角函数基本关系式可求cosB，利用两角和的正弦函数公式可求，在中，由正弦定理可得AB的值，可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】证明：连接BD，设AE的中点为O，
，，
四边形ABCE为平行四边形，，
，为等边三角形，
，，
又，OP，平面POB，
平面POB，又平面POB，
．
解：在平面POB内作平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，
直线PB与平面ABCE夹角为，
又，，
、Q两点重合，即平面ABCE，
以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，0，，，
0，，，
设平面PCE的一个法向量为y，，
则，即，
令得，
又平面PAE，1，为平面PAE的一个法向量，
设二面角为，
则，
易知二面角为钝角，所以．
【解析】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．
连接BD，设AE的中点为O，可证，，故而平面POB，于是；
证明，建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．
19.【答案】解：由题意可得：，，解得，．
椭圆的标准方程为：．
设，直线OM的方程为：
弦AB的中点在线段不含端点O，上，，化为：
由，，相减可得：．
，．
．
设直线AB的方程为：，代入椭圆方程可得：．
解得．
又，．
由根与系数的关系可得：，．
--．
而．
．
【解析】由题意可得：，，解得a，即可得出椭圆的标准方程．
设，直线OM的方程为：弦AB的中点在线段不含端点O，上，可得由，，相减可得：设直线AB的方程为：，代入椭圆方程可得：解得把根与系数的关系代入化简即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、不等式的解法、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20.【答案】解：年龄在内的游客人数为150，年龄在内的游客人数为100，
若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在内的人数为6人，
年龄在内的人数为4人，
．
当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则万元，
当投入2艘A型游船时，
若，则，
此时，
若，则，
此时，
此时，Y的分布列为：
Y |
| 6 |
P |
|
|
此时万元．
当投入3艘A型游船时，
若，则，此时，
若，则，
此时，
若，则，此时，
此时，Y的分布列如下表：
Y | 2 |
| 9 |
P |
|
|
|
此时，万元．
由于，
则该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．
【解析】采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在内的人数为6人，由此能求出年龄在内的人数为4人，的值．
当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则万元，当投入2艘A型游船时，求出Y的分布列，从而万元当投入3艘A型游船时，求出Y的分布列，从而万元，由此能求出该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
21.【答案】解：的定义域为R，；
若，则；
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
是唯一的极小值点，无极大值点，故此时有1个极值点；
若，令，则，；
当时，，可知当时，；当时，；
，分别是的极大值点和极小值点，故此时有2个极值点；
当时，，，此时在R上单调递增，无极值点；
当时，，同理可知，有2个极值点；
综上，当时，无极值点；当时，有1个极值点；当或时，有2个极值点
证明：若是的一个极值点，由知；
又；
；
则；
；
令，则；
；
；
又；
；
令，得；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
是唯一得极大值点，也是最大值点，即；
，即．
【解析】对求导，对于a的取值进行分类讨论，进而得出的增减性与极值点的个数；
根据题目条件和第问，确定a的范围，得到的表达式，再利用换元法令，求出函数的最大值，从而得证．
本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值，涉及转化思想，分类讨论，换元法，属难题．
22.【答案】解：由消去参数，得，即曲线C的普通方程为：，
由，得，化为直角坐标方程为：．
由知，点在直线l上，可设直线l的参数方程为为参数，
即为参数，代入并化简得，
，设A，B两点对应的参数分别为，，得，，
所以，
所以．
【解析】消去参数可得曲线C的普通方程；根据互化公式可得直线l的直角坐标方程；
根据参数t的几何意义可得．
本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．
23.【答案】解：当时，，
等价于或或，
解得或，
不等式的解集为或；
当时，由得
即，或对任意的恒成立，
又，，
或，又，，
的取值范围为：．
【解析】将代入中，去绝对值，然后分别解不等式；
由条件可得，即或对任意的恒成立，然后解出a的范围即可．
本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，属基础题．
