河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业4 练习
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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 如果复数i为虚数单位的实部与虚部相等，则a的值为
A. 1 B. C. 3 D.
- 若1，，，则
A. 1， B. 1，2， C. 1，2， D. 2，
- 向量，，若的夹角为钝角，则t的范围是
A. B.
C. 且 D.
- 双曲线的顶点到渐近线的距离等于
A. B. C. D.
- 有5名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有
A. 50种 B. 70种 C. 75种 D. 150种
- 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.
B.
C. 200
D. 240
|
- 下列函数中最小正周期是且图象关于直线对称的是
A. B.
C. D.
- 我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺长的木棍，每天截取一段，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度单位：尺，则处可分别填入的是
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
|
- 已知是第二象限角，且的值为
A. B. C. D.
- P为圆：上任意一点，Q为圆：上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为
A. B. C. D.
- 已知抛物线焦点为F，经过F的直线交抛物线与，，点A、B在抛物线准线上的投影分别为，，以下四个结论：，，，的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2，其中正确的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，，且的面积为，则______．
- 在三棱锥中，，，，，则直线SC与AB所成角的余弦值是______．
- 如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
每次只能移动一个金属片；
在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为；
______；
______． - 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，1，，，则该四面体的外接球的体积为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
- 设数列满足，．
求证是等比数列，并求；
求数列的前n项和．
- 为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图
根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；精确到个位
研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布约为，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占．
估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？精确到个位
从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．
说明：表示的概率．参考数据，
- 如图，矩形ABCD所在平面，，M，N分别是AB，PC的中点．
求证：平面平面PCD；
若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为，求二面角的正弦值．
- 动点满足．
求M的轨迹并给出标准方程；
已知，直线交M的轨迹于A，B两点，设且，求k的取值范围．
- 已知函数．
设是的极值点，求函数在上的最值；
若对任意，且，都有，求m的取值范围．
当时，证明．
- 以直角坐标系原点O为极点，x轴正方向为极轴，已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于0的直线．
求与的极坐标方程；
若与的一个公共点为异于点，与的一个公共点为B，求的取值范围．
- 已知a，b，c均为正实数，且，证明；
已知a，b，c均为正实数，且，证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：复数，复数的实部与虚部相等，所以，解得，
故选：D．
求出复数的代数形式，根据复数的实部与虚部相等列出方程，解方程即可得到a的值．
本题考查了复数的代数形式的乘除运算，考查计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集性质的合理运用．
根据A求出B，由此利用并集的定义能求出．
【解答】
解：1，，
，
则1，2，，
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：；
与的夹角为钝角；
，且不平行；
；
，且．
故选：C．
可先求出，根据，的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出t的范围即可．
考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，向量坐标的数量积运算，以及平行向量的坐标关系．
4.【答案】C
【解析】解：由对称性可取双曲线的顶点，渐近线，
则顶点到渐近线的距离．
故选：C．
由对称性可取双曲线的顶点，渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．
熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，
则不同的选法共有种，
故选：A．
根据组合的定义直接进行计算即可．
本题主要考查排列组合的应用，结合组合的定义是解决本题的关键．比较基础．
6.【答案】C
【解析】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，
由图知．
故选：C．
如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．
由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：C的周期，不满足条件．
当时，A，
B.，
D.
故满足条件的是B，
故选：B．
根据函数的周期性和对称性分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性和周期性的定义和公式是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，由此得出第20次剩下，
可得为？
，
，
故选：D．
由图可知第一次剩下，第二次剩下，由此得出第20次剩下，结合程序框图即可得出答案．
本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：由，得到，又是第二象限角，
所以，，
则．
故选：C．
根据诱导公式由已知的等式求出的值，然后由是第二象限角得到小于0，利用同角三角函数间的基本关系即可求出的值，进而求出的值，把所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把的值代入即可求出值．
此题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，是一道基础题．
10.【答案】B
【解析】解：【法1】设，中点，则代入，
得，
化简得：，
又表示以原点为圆心半径为5的圆，
故易知M轨迹是在以为圆心，
以为半径的圆绕原点一周所形成的图形，
即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，
即应有，
那么在内部任取一点落在M内的概率为，
故选B．
【法2】设，，，
则，
，，
得：，
所以M的轨迹是以原点为圆心，
以r，，为半径的圆环，
那么在内部任取一点落在M内的概率为，
故选B．
根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．
法1：根据中点代入法，求出满足条件轨迹方程，即可求相应的面积，
法2：利用三角换元法，求出满足条件轨迹方程，即可求相应的面积．
本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的区域及其面积是解决本题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：抛物线焦点为，准线方程为，
可设过F的直线方程为，
代入抛物线方程可得，
即有，，
；
AB的中点纵坐标为，
AB的中点到抛物线的准线的距离为，时，取得最小值2；
由，，，
可得，
即有，
综上可得正确，错误．
故选：C．
求得人品微信的焦点和准线方程，设过F的直线方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及弦长公式，以及中点坐标公式，两直线垂直的条件：斜率之积为，二次函数的最值求法，即可判断．
本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】【分析】
根据题意可得函数在时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，属于中档题．
【解答】
解：，
即函数在时是单调增函数．
则在恒成立．
，
令，
则，
时，单调递减，
时 0'/>，单调递增，
，
．
故选：D．
13.【答案】5
【解析】解：，，．
，．
是锐角三角形，，
由余弦定理得：，
解得．
故答案为：5．
利用正弦定理将边化角求出sinC，根据面积公式求出ab，代入余弦定理得出的值．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：将三棱锥放入到长方体内，
则是直线SC与AB所成角，
长方体的高，，
，，，
中，．
直线SC与AB所成角的余弦值是．
故答案为：．
将三棱锥放入到长方体内，利用余弦定理能求出直线SC与AB所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】7
【解析】解：设是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数
时，；
时，小盘柱，大盘柱，小柱从2柱柱，完成，即；
时，小盘柱，中盘柱，小柱从3柱柱，用种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成，
，
，
以此类推，，
故答案为：7；．
根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．
本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由题意，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线，
可得四面体的外接球的半径，
可得四面体的外接球的体积为．
故答案为：．
由题意，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线OD，求出半径，即可求出四面体的外接球的体积
本题考查四面体的外接球的体积，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于基础题．
17.【答案】解：数列满足，
所以：，
故：常数，
故：数列是以为首项，为公比的等比数列．
则：，
故：首项符合通项．
由于：，
故：，
，
．
【解析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
利用的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
18.【答案】解：．
设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为，
则，
，，解得．
本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是117分．
由题意可知，，，1，2，3，4．
的分布列为：
Y | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
|
|
|
|
．
【解析】根据加权平均数公式计算；
令计算的值；
根据二项分布的概率公式得出Y的分布列和数学期望．
本题考查了频率分布直方图，二项分布列与数学期望，属于中档题．
19.【答案】证明：矩形ABCD所在平面，，M，N分别是AB，PC的中点，
以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则
0，，0，，a，，，0，，a，，
，0，，a，，a，．
设平面ANB的法向量，
则，取，得a，．
设平面PCD的法向量，
则，取，得a，，
，
平面平面PCD．
解：由得，平面PCD的法向量a，，
直线PB与平面PCD所成角的正弦值为，
，解得．
设，则0，，0，，1，，，0，，1，，
1，，1，，
设平面MND的法向量，
则，取，得1，．
易得平面MCD的法向量0，．
设二面角的平面角为，
则，，
二面角的正弦值为．
【解析】本题考查运用空间向量证明面面垂直、求面面夹角、平面法向量的求法，正确建立合理的空间直角坐标系是关键，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．
以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可证明平面平面PCD．
求出平面PCD的法向量，由直线PB与平面PCD所成角的正弦值为，得到，求出平面MND的法向量和平面MCD的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值．
20.【答案】解：由动点满足，
可得动点M到点，的距离之和为常数，且，
故点M的轨迹为椭圆，且，，
则，，
则，
故椭圆的方程为．
设，，
联立方程组，消y可得，
则，
，
，
，
，
，
即
令，
，
，
在上为减函数，
，
，
，
或，
故k的范围为．
【解析】根据题意可得故点M的轨迹为椭圆，且，，即可求出标准方程，
设，，求出，，根据可得，令，可得，根据函数的单调性即可求出t的范围，则可求出k的范围．
本题考查圆锥曲线的性质和综合应用，考查向量知识的运用，函数的单调性，属于中档题．
21.【答案】解：，
是的极值点，
，解得：，
，定义域是，
，
设，则，
在递增，
又，
时，，即，
时，，即，
在递减，在递增，
在递增，
的最小值是，的最大值是；
因为对任意，且，都有，
即都有，
故函数在上单调递增；
在上恒成立，
又又因为在上单调递增，
所以只要即；
证明：当，时，，
故只需证明当时，
当时，函数在上为增函数，
且，，
故在上有唯一实数根，且，
当时，，当时，，
从而当时，取得最小值．
由，得，，
故，
综上，当时，．
【解析】求出函数的导数，根据，求出m的值，从而求出函数的单调性，求出函数的最值；
问题转化为证明，即函数在上单调递增，根据函数的单调性证出即可；
证明当时，，转化为证明当时求出当时函数的导函数，可知导函数在上为增函数，并进一步得到导函数在上有唯一零点，则当时函数取得最小值，借助于是导函数的零点，证出，从而结论得证．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题．
22.【答案】解：曲线曲线的方程为，
转换为极坐标方程为：．
的方程为，转换为极坐标方程为：
．
是一条过原点且斜率为正值的直线，
的极坐标方程为，
联立与的极坐标方程，
得，
即．
联立与的极坐标方程，
得，
即
所以：
又，
所以．
【解析】直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换．
利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
23.【答案】证明：因为a，b，c均为正实数，
，当时等号成立；
因为a，b，c均为正实数，
，
又因为，所以，，，
．
当时等号成立，即原不等式成立．
【解析】根据，利用基本不等式即可证明；
根据，利用基本不等式即可证明．
本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式，考查推理能力和运算能力，属于中档题．
