河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业6 练习
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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 复数是虚数单位，则z的模为
A. 0 B. 1 C. D. 2
- 已知全集，集合0，1，2，，，则
A. 0， B. 0，1，
C. D.
- 命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是
A. B.
C. D.
- 已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比
A. B. 1 C. 士1 D. 2
- 过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P、Q两点，F是椭圆的一个焦点，则周长的最小值是
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
- 把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有
A. 18种 B. 9种 C. 6种 D. 3种
- 已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为，则此圆锥的体积为
A. B. C. D.
- 执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x值的个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
|
- 设，，，则
A. B. C. D.
- 已知F是双曲线E：的左焦点，过点F且倾斜角为的直线与曲线E的两条渐近线依次交于A，B两点，若A是线段FB的中点，且C是线段AB的中点，则直线OC的斜率为
A. B. C. D.
- 函数e是自然对数的底数，存在唯一的零点，则实数a的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 在中，，则______．
- 已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为______．
- 已知各项都为正数的数列，其前n项和为，若，则______．
- A，B为单位圆圆心为上的点，O到弦AB的距离为，C是劣弧包含端点上一动点，若，则的取值范围为______．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
- 已知函数，，是函数的零点，且的最小值为．
Ⅰ求的值；
Ⅱ设，，若，，求的值．
- 某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布单位：．
Ⅰ求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率约为多少？
Ⅱ该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于485g，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．
附：，则，，．
- 如图，直三棱柱中，，，D为的中点．
Ⅰ若E为上的一点，且DE与直线CD垂直，求的值；
Ⅱ在Ⅰ的条件下，设异面直线与CD所成的角为，求直线DE与平面成角的正弦值．
- 已知抛物线C：，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，，与交于点M．
Ⅰ求p的值；
Ⅱ若，求面积的最小值．
- 已知是函数的极值点．
Ⅰ求实数a的值；
Ⅱ求证：函数存在唯一的极小值点，且参考数据：，其中e为自然对数的底数
- 在平面直角坐标系xOy中，直线过原点且倾斜角为以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为在平面直角坐标系xOy中，曲线与曲线关于直线对称．
Ⅰ求曲线的极坐标方程；
Ⅱ若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于O，A两点，直线与曲线相交于O，B两点，当变化时，求面积的最大值．
- 已知函数．
Ⅰ当时，求不等式的解集；
Ⅱ当不等式的解集为R时，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，
．
故选：C．
由已知直接利用复数模的计算公式求解．
本题考查复数模的求法，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：；
0，．
故选：A．
进行交集、补集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．
3.【答案】B
【解析】解：特称命题的否定是全称命题，
，的否定为：，，
故选：B．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，为正弦函数，在上不是单调函数，不符合题意；
对于B，，为偶函数，不符合题意；
对于C，，是奇函数但在上单调递减，不符合题意；
对于D，，既是奇函数又在上单调递增，符合题意；
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，等比数列中，，
则，
变形可得：，
进而可得：，解可得，
故选：C．
根据题意，分析可得，变形可得：，进而可得，解可得q的值，即可得答案．
本题考查等比数列的前n项的性质以及应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆定义的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．
由题意画出图形，然后利用椭圆的对称性把的周长转化为椭圆上的点到两焦点的距离之和及过原点的线段的长度问题，则答案可求．
【解答】
解：如图，
由椭圆的定义知
由椭圆的对称性知，
有，而的最小值是2b，
，
，，
的周长的最小值为
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入剩下的三个盒子中，
则2号小球有3种选择，3号小球还剩2种选择，4号小球只有1种选择，
根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有种，
故选：A．
先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解．
本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积的计算，属于基础题．
根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．
【解答】
解：圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为，
圆锥的底面半径为3，高为．
圆锥的体积为：
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，该框图的含义是：
当 时，得到函数；当时，得到函数，
因此，若输出的结果为1时，
若，得到，解得，
若，得到，解得，舍去，
因此，可输入的实数x的值可能为，，共有2个．
故选：B．
根据程序框图的含义，得到分段函数，由此解出关于x的方程，即可得到可输入的实数x值的个数．
本题主要考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：，；
；
又，；
；
；
．
故选：B．
根据换底公式即可得出，从而得出，容易得出，从而得出，这样即可得出a，b，c的大小关系．
考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线渐近线的位置关系，考查中点坐标公式与斜率公式，属于中档题．
设，表示出A点坐标，代入渐近线方程得出，求出C点坐标，根据斜率公式求出的值，即可得出OC的斜率．
【解答】
解：，设，
则，
把A点坐标代入方程可得，
整理可得，
，，
，故，
又直线BF的斜率为，
，
．
故选D．
12.【答案】A
【解析】解：函数e是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：
函数 与函数只有唯一一个交点，
，，
函数 与函数唯一交点为，
又，且，，
在R上恒小于零，即在R上为单调递减函数，
又 是最小正周期为2，最大值为a的正弦函数，
可得函数 与函数的大致图象如图：
要使函数 与函数只有唯一一个交点，则，
，，
，解得，
又，
实数a的范围为
故选：A．
函数e是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于函数 与函数只有唯一一个交点，由，，可得函数 与函数唯一交点为，的单调，根据单调性得到与的大致图象，从图形上可得要使函数 与函数只有唯一一个交点，则，即可解得实数a的取值范围．
本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于中档题．
利用正弦定理化简已知的等式，再利用余弦定理表示出cosA，将化简后的式子整理后代入求出cosA的值值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．
【解答】
解：由正弦定理化简，
得：，即，
，
又为三角形的内角，
则．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，为中档题．
根据题意，由偶函数的性质结合函数的单调性可得，进而可得，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意：当时，
即，
变形可得：，
解可得或，
即不等式的解集为；
故答案是．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的通项公式的求法，关键是得出数列为单调递增的等差数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
时，，解得，当时，，推导出，从而，进而数列是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出结果．
【解答】
解：各项都为正数的数列，其前n项和为，
，
时，，
解得，
当时，，
，得：，
，
数列各项都为正数，
，
数列是首项为1，公差为2的等差数列，
，且验证时也成立，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：如图以圆心O为坐标原点建立直角坐标系，设A，B两点在x 轴上方且线段AB 与 y轴垂直，
，B为单位圆圆心为上的点，O到弦AB的距离为，
点，点，
，，即，，
，
又是劣弧包含端点上一动点，设点C坐标为，
，
，
，解得：，
故的取值范围为
以圆心O为坐标原点建立直角坐标系，设A，B两点在x 轴上方且线段AB 与y 轴垂直，分别表示出A，B两点的坐标，求出、向量，即可表示出向量，由于C是劣弧包含端点上一动点，可知向量横纵坐标的范围，即可求出的取值范围．
本题主要考查了向量的综合问题以及圆的基本性质，解题的关键是建立直角坐标系，表示出各点坐标，属于中档难度题．
17.【答案】解：Ⅰ，
的最小值为．
，即，得．
Ⅱ由Ⅰ知：，
，，
则，
又，，，，
．
【解析】Ⅰ利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得；
Ⅱ根据解析式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结果．
本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型．
18.【答案】解：Ⅰ设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为Xg，由题意可知
由于，
所以根据正态分布的对称性与“原则”可知：
；
Ⅱ检测员的判断是合理的．
因为如果生产线不出现异常的话，由Ⅰ可知，随机抽取两包检查，质量都小于485g的概率约为：
，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的．
【解析】Ⅰ由正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布单位：，要求得正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率，化为的形式，然后求解即可；
Ⅱ由Ⅰ可知正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g的概率为，可求得随机抽取两包检查，质量都小于485g的概率几乎为零，即可判定检测员的判断是合理的．
本题主要考查了正态分布中 原则，考查基本分析应用的能力，属于基础题．
19.【答案】Ⅰ证明：取AB中点M，连接CM，DM，有，
因为，所以，
又因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面平面，
又因为平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，，平面CMD，平面CMD，
所以平面CMD，又因为平面CMD，
所以，
因为，
所以，
连接交于点O，因为为正方形，
所以，又因为平面，平面，
所以，
又因为D为的中点，
所以E为的中点，
所以．
Ⅱ如图以M为坐标原点，分别以MA，MO，MC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设，由Ⅰ可知，
所以，
所以，
所以0，，2a，，2a，，a，，，
所以2a，，0，，，
设平面的法向量为y，，则，
即，令可得．
所以 ．
所以直线DE与平面所成角的正弦值为．
【解析】Ⅰ取AB中点M，连接CM，MD，证明平面CMD，即可说明，由底面为正方形，可求得；
Ⅱ以M为坐标原点建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面的法向量为，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解．
本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ由题意知，抛物线焦点为，准线方程为，
焦点到准线的距离为2，即；
Ⅱ抛物线的方程为，即，所以，
设，，：，：，
由于，所以，即，
设直线l方程为，与抛物线方程联立，得，
，，，所以，
即l：，
联立方程得，即，
M点到直线l的距离，
，
所以．
当时，面积取得最小值4．
【解析】Ⅰ根据抛物线的性质即可得到结果；
Ⅱ由直线垂直可构造出斜率关系，得到，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得m；联立两切线方程，可用k表示出M，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值．
本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值．
21.【答案】解：Ⅰ由已知的定义域为且
，
所以，即；
此时，
设 ，则 ，
则 时为减函数．
又，
所以当时 为增函数， 时 为减函数．所的极大值点，符合题意．
Ⅱ证明：由Ⅰ知当时 为增函数， 时 为减函数．
当时，，为增函数，
，；
所以存在，使得；
当 时，，为减函数；
当 时，，为增函数，
所以当时 为增函数，
时 为减函数， 时，，为增函数；
所以函数存在唯一的极小值点．
又；
所以，且满足；
所以 ；
故函数存在唯一的极小值点，且．
【解析】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题．
Ⅰ根，求得实数a的值，通过导数验证函数单调，可知极值点，满足题意；
Ⅱ由Ⅰ 函数的极小点值位于，此时的零点位于，且为的极小点值点，代入，，化简即可得关于的二次函数，求解二次函数在区间上的值域即可证明结论．
22.【答案】解：Ⅰ由题可知，的直角坐标方程为：，
设曲线上任意一点关于直线对称点为，
，
又，即，
曲线的极坐标方程为：；
Ⅱ直线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：．
设，
，解得，
，解得．
．
，．
当，即时，，
取得最大值为：．
【解析】Ⅰ将化为直角坐标方程，根据对称关系用上的点表示出上点的坐标，代入方程得到的直角坐标方程，再化为极坐标方程；
Ⅱ利用和的极坐标方程与，的极坐标方程，把A，B坐标用表示，将所求面积表示为与有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值．
本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题．求解面积的关键是能够明确极坐标中的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解．
23.【答案】解：Ⅰ时，
当时，，即，此时，
当时，，得，，
当时，，无解，
综上，的解集为．
Ⅱ，
即的最小值为，
要使的解集为R，
恒成立，即或，
得或，
即实数a的取值范围是．
【解析】Ⅰ根据x的范围得到分段函数的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；
Ⅱ由绝对值三角不等式得到的最小值，则最小值大于1，得到不等式，解不等式求得结果．
本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型．
