河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业7 练习
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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
- 若复数的实部是2，则z的虚部是
A. i B. 1 C. 2i D. 2
- 已知集合，，则
A. B. C. D.
- 函数的图象大致是
A. B.
C. D.
- 若x，y满足约束条件则的最小值是
A. B. 1 C. D. 5
- 若双曲线C：的一条渐近线的倾斜角比直线的倾斜角大，则C的离心率是
A. B. 2 C. D. 3
- 若，则
A. B. C. D.
- 如图，，，，与的夹角为，若，则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- 设函数，若，，则a的取值范围是
A. B. C. D.
- 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边．若D是AC边的中点，，，，则
A. 2 B. C. D.
- 孔明锁，也叫鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，是用6根木条制作的一件可拼可拆的、广泛流传于中国民间的智力玩具．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是其中3根木条的三视图，记这3根木条的表面积分别为，，，则
A. B. C. D.
- 记函数在区间上的零点分别为2，，，则
A. B. C. 3 D.
- 在四棱锥中，是等边三角形，底面ABCD是矩形，二面角是直二面角，，若四棱锥的外接球的表面积是，则异面直线PA，BD所成的角的余弦值是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 在的展开式中，若含项的系数是15，则______
- 张先生计划在3个不同的微信群中发放4个金额各不相等的红包，则每个群都收到红包的概率是______
- 若椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线l过与C交于M，N两点，若，，则椭圆C的离心率是______．
- 若函数在区间上的最大值是，则a的取值范围是______
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
- 记为数列的前n项和，，，．
求数列的通项公式；
记，求的前n项和．
- 如图，在三棱锥中，底面ABC是等边三角形，D为BC边的中点，平面ABC，点O在线段AD上
证明：；
若，直线PB和平面ABC所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．
- 某高科技公司投人1000万元研发某种产品，大规模投产后，每天在产品进入库房前，都需做严格的质量检验．为此，检验人员从当天生产的产品中随机抽取80件，检测一项关键的质量指标值记为，由检测结果得到如下样本频率分布直方图．
由频率分布直方图可以认为，其中样本平均数、方差同一组数据用该区间的中点值作代表可作为，的估计值．利用该正态分布，求精确到；
该公司规定：当时，产品为正品；当时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利80元；若是次品，则亏损20元．记为生产一件这种产品的利润单位：元．
求随机变量的分布列和数学期望精确到；
若该公司每天生产这种产品1000件，则多长时间可以收回研发投入的1000元？
附：，，
- 已知抛物线：的焦点为F，准线为l，A是上一点，线段FA的中点的坐标为．
求的方程；
点M为l上一点，P是上任意一点，若，试问直线MP与是否有其他的公共点？说明理由．
- 已知函数．
函数的图象与x轴相切，求实数a的值；
设是函效的极值点，若存在两个零点，证明并求a的取值范围
- 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，；以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
写出当时的普通方程及的直角坐标方程；
设曲线与交于A，B两点，若，求的值．
- 已知函数，．
求不等式的解集；
若不等式有解，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：的实部是2，
，即．
的虚部为．
故选：B．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为2求得a值，则虚部可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：，，
且，
．
故选：C．
进行交集的运算即可．
考查描述法的定义，以及交集的定义及运算．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的图象与图象变换，考查函数奇偶性的性质与三角函数值的求法，是基础题．
由奇偶性排除B，C；再由排除D，则答案可求．
【解答】
解：函数为奇函数，图象关于原点中心对称，可排除B，C；
又，故排除D，选A．
故选：A．
4.【答案】B
【解析】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；
目标函数的几何意义是区域内的点
到原点距离的平方，
所以原点到图中BC的距离即为所求，
计算，
所以目标函数的最小值为1；
故选：B．
由约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．
本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域是解答的前提，利用目标函数求最值是关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查两角和的正切公式，考查化简运算能力，属于中档题．
求得双曲线的渐近线方程，运用两角和的正切公式可得一条渐近线的斜率，再由离心率公式，计算可得所求值．
【解答】
解：双曲线C：的渐近线方程为，
直线的倾斜角设为，可得，
双曲线的一条渐近线的斜率为，
则，．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】解：由，得，
，
．
故选：A．
由已知分别求得，，再由诱导公式及倍角公式求解．
本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题由可得，结合向量的数量积的性质，代入即可求解．
【解答】
解：，，，与的夹角为，
，
若，
则
，
．
故选B．
8.【答案】D
【解析】解：分析题意，可知：
为对数的底数，
只能取和两个范围．
又由题意，，
而当时，在时单调递减趋向．
不满足题意，舍去．
只有的情况合适．
当时，函数在时的表达式在上单调递增，
且在时取最小值
由题意，，，
必须有，即：．
而在上，
．
是递减的一次函数．
此时在x趋向于1时，趋向于最小值．
，解得：
综上所述，可得：．
故选：D．
本题先根据a为对数的底数确定a只能取和两个范围，再根据题意舍去，留下的情况，在考虑函数在时的表达式在时取最小值得出然后根据得出x趋向于1，趋向于最小值，最终得出a的取值范围．
本题主要考查含参数分段函数的参数取值范围问题，还考查了一次函数和对数函数的性质，本题属中档题．
9.【答案】B
【解析】解：；
又，．
在中，设，由余弦定理得，
，
解得，或舍负；
在中，由余弦定理得
，
解得舍负．
故选：B．
根据题意由和差公式分析可得，求出A值；其次再运用余弦定理公式可计算求出a值．
本题考查了正弦定理以及余弦定理得应用，关键是求出A的值，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：由题意可知几何体是正四棱柱去掉部分棱柱的几何体，
由题意可知；
；
，这3根木条的表面积分别为，，，满足．
故选：A．
判断三视图对应几何体的形状，然后就是几何体的表面积即可．
本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：由得，
设，，
则关于对称，也关于对称，作出图象如下：
由图象可知两个图象有7个交点，其中6个交点两两关于对称，第7个交点横坐标为；
设6个交点的横坐标从小到大为a，b，c，d，e，f，则对应两点的横坐标a，f满足，即；
．
故选：D．
分别判断出两个函数关于对称，作出函数图象，由图象可知有7个交点，结合点的对称性进行求解即可．
本题考查了函数与方程的应用，根据条件判断函数关于对称，以及利用数形结合确定交点的个数，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】解：设O为四棱锥的外接球的球心，
取AB的中点G，取AC，BD的交点为E，作，
连接OB，
令，，
由四棱锥的外接球的表面积是，
所以，
则，
解得，
即，
建立如图所示的空间直角坐标系可得：
0，，，，0，，
所以，，
设，夹角为，
则，
即异面直线PA，BD所成的角的余弦值是，
故选：C．
先利用已知条件求出边长AD的长度，再建立空间直角坐标系求异面直线PA，BD所成角的余弦值即可得解．
本题考查了四棱锥的外接球及异面直线所成角的求法，属综合性较强的题型．
13.【答案】1
【解析】解： ，
故它的展开式中，若含项的系数是，
则，
故答案为：1．
把按照二项式定理展开，可得的展开式中含项的系数，再根据系数为15，求出a的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：张先生计划在3个不同的微信群中发放4个金额各不相等的红包，
基本事件总数，
每个群都收到红包包含的基本事件个数，
则每个群都收到红包的概率．
故答案为：．
基本事件总数，每个群都收到红包包含的基本事件个数，由此能求出每个群都收到红包的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图，
由，可知M在椭圆的短轴的一个端点上，不妨设为，
又，则，
直线l的方程为，
联立，得，即，
，
，，即，解得．
故答案为：．
由题意画出图形，写出直线l的方程，与椭圆方程联立求得N点坐标，结合向量等式求解．
本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：，令，则，当或时，，函数开口向上，即，有最大值，
，则，
故答案为：
利用二倍角公式将转化为cosx的一元二次函数，再换元cosx求出范围．
本题考查了二次函数的性质、三角函数恒等变换、三角函数图象，是基础题．
17.【答案】解：为数列的前n项和，，，当时
得，即常数，
当时，数列的奇数项和偶数项各为公差为2的等差数列，
则．
由于，所以．
所以．
【解析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式．
利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
18.【答案】解：证明：过O作于E，于F，连接PE，PF．
平面ABC，OE，OF，AB，平面ABC，
，，，，
底面ABC是等边三角形，D为BC边的中点，
是的角平分线，，
≌，
，
，，，OE，平面POE，
平面POE，
又平面POE，，
同理可得：，
≌，
．
解：，直线PB和平面ABC所成的角的正弦值为，
，．
连接OB，则，
又，是AD的中点，
过点O作，交AB于G，则，
以O为原点，OG为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
0，，，，，
，，，
设平面PAB的法向量y，，
则，取，得，
设平面PBC的法向量y，，
则，取，得，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的平面角的余弦值为．
【解析】本题考查两角相等的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
过O作于E，于F，连接PE，PF，根据三角形相似可得出结论．
以O为原点，OE为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．
19.【答案】解：取每个区间中点值为区间代表计算平均数为：
，
方差为：
；
所以，，
所以．
依题意生产一件这种产品的利润的所有可能的取值分别为，80，
由知，，
，
所以随机变量的期望为，
所以生产该产品一天的平均利润为万元，
所以收回研发投入需要的时间为天．
【解析】根据题意计算平均数和方差即可，借助正态分布知识即可得到；
计算产品是正品的频率以及200件产品中是正品的件数，和次品的件数，即可得到随机变量的分布列和数学期望；
由题意计算生产一件产品的平均利润值，即可得到一天的平均利润，进而得到收回成本的时间．
本题考查了频率分布直方图与平均数和方差的计算问题，考查了正态分布及其应用，是中档题．
20.【答案】解：设A点坐标为，，
由中点坐标公式，解得，
所以抛物线：；
直线MP与没有其他的公共点，
理由如下：由可知焦点，准线l：，
当直线PM的斜率时，设，，
若，则，即，
则不存在P点，使得；
当直线PM的斜率存在且时，设，，
若，则，则，整理得，
解得，则直线PM的斜率，
由，求导，则，则
由抛物线在P点处切线斜率，
所以直线PM与抛物线相切于点P，
所以直线MP与没有有其他的公共点．
【解析】根据中点坐标公式及抛物线的焦点弦公式即可求得p的值，求得抛物线方程；
分类讨论，当直线PM的斜率存在时，根据向量数量积的坐标运算，求得M点坐标，利用斜率公式即可求得直线PM的斜率，利用导数的几何意义，即可判断直线PM与抛物线相切．
本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式，导数的几何意义，考查分类讨论思想，属于中档题．
21.【答案】解：，，
，
函数的图象与x轴相切，设切点为，
，
，
解得，，
由函数；
得；
设，则；
显然 当时，，则 ，所以在单调递增；
当时，，则，所以在单调递减；
所以；
且当时，，当时，；
要使得存在两个零点，则 时无零点，时有一个零点；
由可得；
设，
易知函数在为增函数，
且当时，；
由函数的零点存在性定理有，一定存在，使得； 即，
所以在上单调递减，在上单调递增；
故当是函数的极值点，且存在两个零点时，且a的取值范围．
【解析】利用取极值导数为0，求参数a，再检验单调性；
分离参数得；讨论方程的根的个数，即分析函数，的图象，讨论单调性即可；再由的单调性分析极值的位置．
本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，考查了学生基本计算能力以及转化与化归思想，属于难题．
22.【答案】解：当时，的参数方程为，两式作差得，；
由，得，即．
的普通方程为，的直角坐标方程为；
把代入，
得．
则，，
，
即，
，或．
【解析】把代入，消去t即可得到的普通方程，把两边同时乘以，即可得到的直角坐标方程；
把曲线的参数方程为代入的直角坐标方程，再由参数t的几何意义求解．
本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程化为普通方程，考查直线参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题．
23.【答案】解：或或，
解得：，
故不等式的解集为
不等式有解有解，
令，则，
，时，，
故．
【解析】分3段去绝对值解不等式，在相并可得；
不等式有解有解，令，则，再把变成分段函数，根据单调性求出最小值可得．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．
