专题14 解析几何（分层训练）-【教育机构专用】2020-2021学年高三数学寒假辅导讲义（全国通用）

专题14 解析几何

A组 基础巩固

1．已知椭圆的一个焦点为，且在椭圆E上．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知垂直于x轴的直线交E于A、B两点，垂直于y轴的直线交E于C、D两点，与的交点为P，且，间：是否存在两定点M，N，使得为定值？若存在，求出M，N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（2）存在，两定点，

【解析】

（1）由题意得，，椭圆的两焦点为和，

因为点在椭圆C上，

所以根据椭圆定义可得：，

所以，所以，

所以椭圆E的标准方程为．

（2）设，

则，

消去，得，

所以点P在双曲线上，

因为T的两个焦点为，实轴长为，

所以存在两定点，

使得为定值．

2．已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.

（1）求的方程；

（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，证明：为定值.

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）解：将代入，得，

所以的面积为.

因为，所以，

故的方程为.

（2）证明：由题意设直线的方程为，

由，得.

设，，则，

所以.

因为线段的中点的横坐标为，纵坐标为，

所以线段的垂直平分线的方程为，

令，得，所以的横坐标为，

所以，

故为定值.

3．已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．

（1）求的值；

（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．

【答案】（1）；（2）点在定直线上．

【解析】

（1）依题意设直线的方程为，

由已知得：圆的圆心，半径，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离，

即，解得或（舍去）．

所以；

（2）依题意设，由（1）知抛物线方程为，

所以，所以，设，则以为切点的切线的斜率为，

所以切线的方程为．

令，，即交轴于点坐标为，

所以， ，

，

．

设点坐标为，则，

所以点在定直线上．

4．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

【答案】（1）＋＝1（2）∪

【解析】

（1）由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1，①

又点P在椭圆C上，所以＋＝1，②

由①②可解得a2＝4，b2＝3，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

（2）设直线l的方程为y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2＋3）x2＋16kx＋4＝0，

因为Δ＝16（12k2－3）＞0，所以k2＞，则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，所以x1x2＋（kx1＋2）（kx2＋2）＞0，

所以（1＋k2）x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＞0，即（1＋k2）·＋2k·＋4＞0，

解得k2＜.又k2＞，所以＜k2＜，解得－＜k＜－或＜k＜.

所以直线l的斜率k的取值范围为∪。

的范围就是．

B组 能力提升

5．（福建省厦门双十中学2021届高三期中）已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且的周长是6.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点，，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在；.

【解析】（1）由椭圆的定义知的周长为，所以，

又因为椭圆的离心率，

所以，联立解得，，

所以，

所求椭圆方程为.

（2）若存在满足条件的点.

当直线的斜率存在时，设，联立，

消得.

设，，则，x，

∵

，

∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时，.

当直线与轴垂直时，若，也有.

故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值0.

6．（福建省福州市福清西山学校2021届高三模拟）已知O为坐标原点，椭圆C：，点D，M，N为C上的动点，O，M，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为，().

（1）证明：；

（2）当直线DM过点时，求的最小值；

（3）若，证明：为定值.

【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析.

【解析】（1）由题意知，点三点共线，且在椭圆上，

可得关于原点对称，设，，则，

由点和在曲线上，可得，

即

可得.

（2）由题意，直线DM过点，设的方程为，即

联立方程组，整理得，

可得，

则，且

所以

所以

令，则，

又由，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

（3）由（1）知，又由，可得或，

不妨设，，设直线，

联立方程组，整理得，

则，所以，

所以.

7．（福建省莆田第二十五中学2021届高三期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线与椭圆C交于A，B两个不同的点，M为AB中点，，当△AOB（点O为坐标原点）的面积S最大时，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

由题意知： ，，，

解得：， ，，

所以椭圆C的标准方程为；

（2）设 ，将代入椭圆的方程得：，即，

，即，

，，

，

坐标原点到直线的距离为： ，

，

当且仅当，即时等号成立，

此时，

，

因为M为AB中点，所以，

所以

，

，由，

得，即，

，得，

，即.

8．（广东省惠州中学2021届高三期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的焦点弦的弦长为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线，互相垂直，直线过且与椭圆交于点，两点，直线过且与椭圆交于，两点.求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

分析：（1）根据周长确定，由通径确定，求得，因而确定椭圆的方程．

（2）分析得直线、直线的斜率存在时，根据过焦点可设出AB直线方程为，因而直线的方程为.联立椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程.由韦达定理求得和，进而.

     当AB斜率不存在时，求得，，所以．

     当直线的斜率为时，求得，，所以．

即可判断．

详解：（1）将代入，得，所以.

因为的周长为，所以，，

将代入，可得，

所以椭圆的方程为.

（2）（i）当直线、直线的斜率存在且不为时，

设直线的方程为，则直线的方程为.

由消去得.

由韦达定理得，，

所以， .

同理可得.

.

（ii）当直线的斜率不存在时，，，.

（iii）当直线的斜率为时，，，.

综上，.