河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业13 练习

河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业13

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设复数z满足，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

3. 为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：
   
   根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是

A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果
D. 药物A、B对该疾病均没有预防效果

4. 等差数列的前n项和为，若，是方程的两根，则

A. 21 B. 24 C. 25 D. 26

5. 已知定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为

A. 10 B.  C. 4 D. 与m的取值有关

6. 在梯形ABCD中，，，点P在线段BC上，且，则

A.  B.  C.  D.

7. 中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面左上方缀着的五颗黄色五角星，四颗小五角星环拱于大星之右，象征中国共产党领导下的革命人民大团结和人民对党的衷心拥护．五角星可通过正五边形连接对角线得到，且它具有一些优美的特征，如现在正五边形内随机取一点，则此点取自正五边形内部的概率为

A.  B.  C.  D.

8. 的展开式中，含项的系数为  

A.  B.  C.  D. 18

9. 一个几何体的三视图如图所示，其轴截面的面积为6，其中正视图与侧视图均为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积为

A.  B.  C.  D.

10. 已知抛物线C：的焦点为F，过F作倾斜角为锐角的直线l交抛物线C于A、B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的方程为

A.  B.
C.  D.

11. 已知正方体的棱长为1，E是棱的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点F的轨迹所形成的区域面积是    

A.  B.  C.  D.

12. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形．若，记椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知实数x，y满足，则目标函数的最大值为______．
14. 已知等比数列的前n项积为，若，，则当取最大值时，n的值为______．
15. 习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师不同姓到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为______．
16. 设直线与曲线有公共点，则整数k的最大值是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
    求外接圆的面积；
    求边c的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 在五边形AEBCD中，，，，，如图将沿AB折起，使平面平面ABCD，线段AB的中点为如图．
    求证：平面平面DOE；
    求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小．

19. 已知平面上一动点P到定点的距离与它到直线l：的距离之比为．
    求点P的轨迹方程；
    点O是坐标原点，A，B两点在点P的轨迹上，F是点C关于原点的对称点，若，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF快递收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过不足1kg，按1kg计算需再收5元．某县SF分代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：

对近60天，每天揽件数量统计如表：

以上数据已做近似处理，将频率视为概率．
计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在之间的概率；
估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；
根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用．目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元．代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？






 

21. 已知函数．
    Ⅰ当时，讨论函数的极值点的个数；
    Ⅱ若有两个极值点，，证明：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
    求C和l的直角坐标方程；
    过点作l的垂线交C于A，B两点，点A在x轴上方，求．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数，．
    若关于x的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；
    若，若，，使得成立，求实数k的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：由，
得，
则．
故选：C．
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
2.【答案】A
 

【解析】解：，，则．
故选：A．
求出A，B不等式的解集确定出A，B，找出A与B的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3.【答案】B
 

【解析】解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：
药物A的预防效果优于药物B的预防效果．
故选：B．
观察等高条形图，能够求出结果．
本题考查等高条形图的应用，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
4.【答案】D
 

【解析】解：由韦达定理可得：，，
故选：D．
可得，结合为等差数列，即可求得结论．
本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
5.【答案】A
 

【解析】【分析】
本题考查函数的导数的应用，函数的奇偶性的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
利用函数的奇偶性求出m，然后利用函数的导数，利用偶函数推出结果即可．
【解答】
解：由是定义在上的奇函数，
可知，，
则时，，，
由奇函数的导函数为偶函数，
知，
故选：A．
6.【答案】B
 

【解析】解：，，
，
由可得，，
故选：B．
由，有，结合已知即可求解
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，属于基础试题
7.【答案】D
 

【解析】【分析】
本题考查了几何概型求概率，考查转化思想，是中档题．
根据题意知正五边形正五边形，利用面积比等于相似比的平方求出对应的概率．
【解答】
解：根据题意知，正五边形正五边形，
又，
，
在正五边形内随机取一点，设此点取自正五边形内部为事件M，
．
故选：D．
8.【答案】A
 

【解析】【分析】
把所给的二项式变形，按照二项式定理展开，求出含项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
【解答】
解：
，
故含项的系数为，
故选：A．
9.【答案】B
 

【解析】解：该几何体为一个圆台，上下底面圆的半径分别为1，2，
设其高为h，由轴截面的面积为6，得，

设圆台外接球的半径为R，由题意得，，解得，
外接球的表面积为，
故选：B．
判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解外接球的半径，然后推出结果．
本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
10.【答案】A
 

【解析】解：抛物线C：的焦点为，设直线l的方程为，点，为，线段AB的中点，
由，得，，
又因为弦AB的中点M到抛物线的准线的距离为5，所以，
则然．，，所以直线方程：．
故选：A．
求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程，AB坐标，通过联立方程组，转化求解直线的斜率，然后得到直线方程．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线方程的求法，考查计算能力．
11.【答案】C
 

【解析】【分析】
本题考查动点F的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
分别取棱、BC、AB、、的中点M、N、G、Q、P，推导出平面平面，从而动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，由此能求出动点F的轨迹所形成的区域面积．
【解答】
解：如图，分别取棱、BC、AB、、的中点M、N、G、Q、P，
则，，，
易得：平面平面，
点F在正方体内部或正方体的表面上，若平面，
动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，
正方体的棱长为1，
，，
到PN的距离，
动点F的轨迹所形成的区域面积：
．
故选C．
12.【答案】A
 

【解析】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，，，，
由于是以为底边的等腰三角形．若，
即有，，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
即有，，，
再由三角形的两边之和大于第三边，可得，
可得，即有．
由离心率公式可得，
由于，则有．
则 的取值范围为．
故选：A．
设椭圆和双曲线的半焦距为c，，，，由条件可得，，再由椭圆和双曲线的定义可得，，，运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．
13.【答案】2
 

【解析】解：作出可行域如图，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的纵截距最大，此时z最大，z的最大值为．

故答案为：2．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过数形结合即可的得到结论．
本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．
14.【答案】4
 

【解析】解：设等比数列的公比为q，由已如可得，，
，
当取最大值时，可得n为偶数，函数在R上递减，
，，，则，
当，且n为偶数时，，
故当时，取最大值．
故答案为：4．
运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，求得前n项积，讨论n为偶数，结合指数函数的单调性，计算即可得到所求最大值时n的值．
本题考查等比数列的通项公式和等差数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
15.【答案】360
 

【解析】解：方法1：分4种情况讨论：
，甲校安排1名教师，分配方案种数有；
，甲校安排2名教师，分配方案种数有；
，甲校安排3名教师，分配方案种数有；
，甲校安排4名教师，分配方案种数有；
共有种分配方案．
方法2：6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2．
对于第一种分组情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有种分配方案，
其余5名分成一人组和四人组有种，共种分配方案；
李老师分配到四人组且该组不去甲校有种分配方案，
则第一种情况共有种分配方案；
对于第二种分组情况，李老师分配到一人组有种分配方案，
李老师分配到三人组有种分配方案，
李老师分配到两人组有种分配方案，
自责第二种情况共有种分配方案；
对于第三种分组情况，共有种分配方案；
综上所述，共有种分配方案．
故答案为：360．
方法1：根据题意，按甲校安排的人数分4种情况讨论，求出每种情况下安排方案的数目，由加法原理计算可得答案；
方法2：6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，据此分3种情况讨论，求出每种情况下安排方案的数目，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应，属于基础题．
16.【答案】1
 

【解析】解：设直线与曲线有公共点，
则，
当，时等号成立．
设，则，
所以在上是增函数，在上是减函数，
所以，，又，
所以，当时等号成立，
则，等号不能同时成立，
所以整数k的最大值是1．
设直线与曲线有公共点，则，当，时等号成立，再设，通过求导、判断单调性可求得最大值．
本题考查了三角函数的最值，属难题．
17.【答案】解：设外接圆的半径为R，由，有，，外接圆的面积为
由及余弦定理，得，
整理得，即，，当且仅当时取等号，
由正弦定理得，边c的最大值为．
 

【解析】通过三角形的外接圆的半径，利用正弦定理求解半径，然后求解面积．
利用余弦定理以及基本不等式转化求解即可．
本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．
18.【答案】解：证明：，O是线段AB的中点，则．
又，则四边形OBCD为平行四边形，
又，则，
因为，，则，
，平面EOD，平面EOD，
则平面EOD．
又平面ABE，故平面平面EOD；
解：平面平面ABCD，平面平面，
，平面ABE，可得平面ABCD，
同理可得平面易知OB，OD，OE两两垂直，
以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

为等腰直角三角形，且，
则，取，
则0，，0，，0，，1，，1，，0，，
，，
设平面ECD的法向量为y，，
则有，即
取，得平面ECD的一个法向量1，，
因平面ABE，则平面ABE的一个法向量为，
设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为，
则，
故平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为．
 

【解析】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
证明，，得到平面然后证明平面平面EOD；
易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，求出平面ECD的法向量，平面ECD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面ECD与平面ABE所成的二面角．
19.【答案】解：设，则，化简得，
点P的轨迹方程；，
由F是点C关于原点的对称点，所以点F的坐标为，
，设A：，B：，
，，
，
又，
得：，化简得：
，．
，
所以的取值范围是
 

【解析】设出P的坐标，利用已知条件转化求解即可．
由F是点C关于原点的对称点，求出点F的坐标，通过，设A：，B：，
得到，通过椭圆方程，转化求解即可．
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查发现问题解决问题的能力，是难题．
20.【答案】解：样本中包裹件数在之间的天数为36，频率，
故可估计概率为，
显然未来5天中，包裹件数在之间的天数服从二项分布，即，
故所求概率为．
样本中快递费用及包裹件数如下表：

故样本中每件快递收取的费用的平均值为，
故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为15元．
代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：
根据题意及，搅件数每增加1，代办点快递收入增加元，
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如下：

故代办点平均每日利润的期望值为元；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如下：

则代办点平均每日利润的期望值为元，
故代办点不应将前台工作人员裁员1人
 

【解析】样本中包裹件数在之间的天数为36，频率，可估计概率为，显然未来5天中，包裹件数在之间的天数服从二项分布，即，即可得出．
样本中快递费用及包裹件数可得列表，可得样本中每件快递收取的费用的平均值．
代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：根据题意及，搅件数每增加1，代办点快递收入增加元，若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如表，可得代办点平均每日利润的期望值．若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如表．即可得出．
本题考查了用频率估计概率、随机变量的数学期望、二项分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ由，
得：，，
时，即时，，
在是减函数，无极值点．
当时，，令，得，，
当和，时，，
在取得极小值，在取得极大值，所以有两个极值点．
综上可知：当时，无极值点；
当时，有两个极值点．
Ⅱ证明：由知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，
且，是方程的两根，
，，


，
设，，
，
时，是减函数，，
，
．
 

【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值的个数；
Ⅱ根据，是方程的两根，得到两根之和和两根之积，求出，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论数思想，是一道综合题．
22.【答案】在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，
的轨迹方程是，
直线的极坐标方程为，即，
直线的直角坐标方程是，即；
由上解之l的斜率是，故其倾斜角是，所以其垂线的倾斜角是
故直线l的垂线的方程可设为，将其代入整理得
，，
由题意，点A在x轴上方，故可令，，
．
 

【解析】根据变换公式及极坐标与直角坐标下方程转换的公式即可得到相应的方程；
由题意，可求出直线l的倾斜角，然后求出其垂线的倾斜角，设出直线l的垂线的参数方程，然后将参数方程代入C的方程，求出与的值，再由，即可得出答案．
本题考查曲线、射线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23.【答案】解：由有，
，
整理得：，
由题意，，
解得，
因，则，
当时，．

不等式等价于或或

即，或，或，
从而可得，
故不等式的解集为
因为，
，，
则，
，，
使得成立，
则，
解得，或，
故实数k的取值范围为
 

【解析】直接利用分类讨论思想对绝对值不等式的解法进行应用．
对函数的恒成立问题的应用，求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的恒成立问题的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．