北京市怀柔一中2020-2021学年度高二年级上学期期中考试数学试题

怀柔一中高二年级2020—2021学年度第一学期数学学科期中检测试题

一､选择题(满分50分)

1. 直线的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知直线，，的斜率分别是，，，如图所示，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 椭圆长轴的长等于（    ）

A.  B.  C. 2 D. 4

4. 两条平行线与之间的距离为（    ）

A.  B. 1 C. 2 D.

5. 已知直线与互相垂直，则（    ）

A.  B.  C. 3 D. 1

6. 两圆：和圆：的位置关系是（    ）

A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含

7. 直线：，：，若，则（    ）

A. -3 B. 2 C. -3或2 D. 3或-2

8. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

9. 已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么（    ）

A. m∥l，且l与圆相交

B m⊥l，且l与圆相切

C. m∥l，且l与圆相离

D. m⊥l，且l与圆相离

10. 与圆相切且在轴､轴上截距相等的直线共有（    ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

二､填空题(满分30分)

11. 已知直线经过两点，，则直线的斜率为________.

12. 已知两个不同的平面，的法向量分别是和，则平面，的位置关系是________.

13. 圆心为，且与轴相切的圆的方程是________.

14. 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且该椭圆上一点到点，的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为________.

15. 已知方程表示圆，则实数取值范围是________.

16. 已知点，，直线：上存在点，满足，则实数取值范围是________.

三､解答题(满分70分)

17. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.

（1）求的长；

（2）求异面直线与所成的角的余弦值；

（3）求直线与平面所成的角的正弦值.

18. 已知圆：.

（1）写出该圆的圆心坐标和半径；

（2）倾斜角为的直线与圆相切，求切线的方程；

（3）过点作直线，被圆截下的弦长为，求直线的方程.

19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求点到平面距离.

20. 已知椭圆：.

（1）求椭圆的离心率.

（2）已知点是椭圆的左顶点，过点作斜率为1的直线，求直线与椭圆的另一个交点的坐标.

（3）已知点，是椭圆上的动点，求的最大值及相应点的坐标.

怀柔一中高二年级2020—2021学年度第一学期数学学科期中检测试题

一､选择题(满分50分)

1. 直线的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

直线的斜率为0，求出倾斜角即可.

【详解】由题意，的斜率为0，倾斜角为.

故选：A.

2. 已知直线，，的斜率分别是，，，如图所示，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据直线的倾斜角和斜率的关系，即可求解.

【详解】设直线，，的倾斜角分别为，

根据直线的倾斜角概念，可得，

再由直线的斜率与倾斜角关系，可得，

故

故选：C.

3. 椭圆的长轴的长等于（    ）

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据椭圆的方程，可求出长轴的长.

【详解】椭圆中，，所以长轴的长.

故选：D.

4. 两条平行线与之间的距离为（    ）

A.  B. 1 C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据两平行线间的距离公式，即可求解.

【详解】由题意，两条平行线：与：

根据两平行线间的距离公式，可得.

故选：A.

5. 已知直线与互相垂直，则（    ）

A.  B.  C. 3 D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】

分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为即可得解

【详解】直线的斜率为，直线的斜率为3，由题意，

，解得.

故选：D

【点睛】两直线垂直得到斜率乘积为是解题关键.属于基础题.

6. 两圆：和圆：的位置关系是（    ）

A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内含

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出两圆的圆心和半径，进而求出圆心距，根据圆心距满足，可判断出两圆的位置关系.

【详解】圆的标准方程是，圆心是，半径是，

圆的标准方程是，圆心是，半径是，

所以两个圆心的距离是，

所以，即，

所以圆与圆相交.

故选：B.

7. 直线：，：，若，则（    ）

A. -3 B. 2 C. -3或2 D. 3或-2

【答案】A

【解析】

【分析】

由直线平行得出，解出即可.

【详解】，

，解得.

故选：A.

【点睛】易错点睛：已知直线平行求参数问题时，有两个地方容易出错，（1）需要考查两条直线或的系数有无同时为0的可能；（2）注意求出的参数是否可能使两直线重合.

8. 设点是直线上动点，为原点，则的最小值是（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用点到直线的距离公式直接求出原点到直线的距离，即为的最小值.

【详解】原点到直线的距离为，

故最小值为.

故选：B.

9. 已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么（    ）

A. m∥l，且l与圆相交

B. m⊥l，且l与圆相切

C. m∥l，且l与圆相离

D. m⊥l，且l与圆相离

【答案】C

【解析】

【分析】

求出直线m的斜率，可判断两直线的位置关系，求出圆心到直线l的距离，可判断直线l与圆的位置关系．

【详解】∵点P(a，b)（ab≠0)在圆内，

∴a2＋b2＜r2.

圆x2＋y2＝r2的圆心为O(0,0），

故由题意得OP⊥m.

又kOP＝，∴km＝－，

∵直线l的斜率为kl＝－＝km，圆心O到直线l的距离d＝，

∴m∥l，且l与圆相离，

故选：C.

【点睛】本题考查直线间的位置关系，直线与圆的位置关系．

两条直线的斜率（存在斜率时）相等，且不重合，则平行，斜率不相等，则相交；

圆心到直线的距离为d，圆半径为r，则：相离，相切，相交．

10. 与圆相切且在轴､轴上截距相等的直线共有（    ）

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

【答案】C

【解析】

【分析】

先求得圆的圆心和半径，然后分直线在轴､轴上的截距为0和不为0，两种情况根据 直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解.

【详解】圆的方程，可化为：，

所以其圆心是，半径为，

当直线在轴､轴上的截距为0时，设直线方程为：，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，

所以，

解得，

当直线在轴､轴上的截距不为0时，设直线方程为：，

因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，

所以，

解得或（舍去）

所以在轴､轴上截距相等的直线共有3条，

故选：C

二､填空题(满分30分)

11. 已知直线经过两点，，则直线的斜率为________.

【答案】3

【解析】

【分析】

直接利用斜率公式求解.

【详解】因为直线经过两点，，

所以,

所以直线的斜率为3

故答案为：3

12. 已知两个不同的平面，的法向量分别是和，则平面，的位置关系是________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题可得，则得，即.

【详解】，，

，，

.

故答案为：.

13. 圆心为，且与轴相切的圆的方程是________.

【答案】

【解析】

【分析】

求出圆心到到轴的距离后可得圆的方程.

【详解】与轴相切的圆,圆心到轴的距离就是圆的半径，

所以,

圆的方程为：

故答案为：

【点睛】当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径.

14. 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且该椭圆上一点到点，的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为________.

【答案】

【解析】

【分析】

由，可求出，由焦点坐标可得到的值，进而结合，可求出，即可得到椭圆的方程.

【详解】设椭圆的方程为，

因为，所以，即，

又，所以，

所以椭圆方程为.

故答案为：.

15. 已知方程表示圆，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

先将方程转化为，再根据方程表示圆求解.

【详解】方程可化为：

，

因为方程表示圆，

所以 ，

解得 ，

故答案为：

16. 已知点，，直线：上存在点，满足，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

由，可知点在以为直径的圆上，可求出该圆的方程，又点在直线上，只需圆与直线有公共点即可，即可列出关系式，求出的取值范围.

【详解】因为，所以点在以为直径圆上，

该圆的圆心为，半径为2，圆的方程为，

又因为点在直线上，所以点在直线和圆的交点处，

若点存，则，即，解得.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是根据，得出点在以为直径的圆上，结合点在直线上，只需圆与直线有公共点即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.

三､解答题(满分70分)

17. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.

（1）求的长；

（2）求异面直线与所成的角的余弦值；

（3）求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）以，，的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，结合向量的坐标运算，即可求解；

（2）由（1）中的坐标系，得到，，结合向量的夹角公式，即可求解；

（3）由（1）中的坐标系，求得和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）以，，的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，可得，

所以的长为.

（2）由（1）的坐标系，可得，，，，

所以，，

设异面直线与所成的角为，

所以，

即异面直线与所成的角的余弦值.

（3）由（1）中的坐标系，可得，，，，

则，，

设平面的法向量为，

由，得，令，得，

又由，

设直线与平面所成的角为，可得.

即直线与平面所成的角的正弦值.

【点睛】求解直线与平面所成角的方法：

1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；

2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；

3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.

18. 已知圆：.

（1）写出该圆的圆心坐标和半径；

（2）倾斜角为的直线与圆相切，求切线的方程；

（3）过点作直线，被圆截下的弦长为，求直线的方程.

【答案】（1）圆心，半径为2；（2），；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据圆的标准方程直接写出圆心坐标和半径；

（2）设直线的方程利用圆心到直线的距离等于半径得解；

（3）设点斜式方程，求得圆心到直线的距离，利用勾股定理得解.

【详解】（1）圆心，半径为2.

（2）设方程：，

即，

因为与圆的相切，所以，，，

切线方程：，.

（3）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，

：被圆：截得弦长为，不合题意.

所以直线的斜率存在，可设直线：，

圆心到直线的距离，又，

，，，

直线方程：.

【点睛】利用圆心到直线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法.属于基础题.

19. 如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由面面垂直的性质推导出平面，进而可证得；

（2）取的中点，连接、，证明出平面，，然后以点为坐标原点，、、的正方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；

（3）利用空间向量法可计算出点到平面的距离.

【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，

平面，，所以平面，

平面，所以；

（2）取的中点，因为，所以，

因为平面平面，平面平面，，平面，

平面，

，，

以、、的正方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，

、、、，，，

设平面的法向量为，

由，得，令，得，

因为平面的一个法向量为，则.

因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为；

（3）设点到平面的距离为，，，

平面的法向量为，所以.

【点睛】求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量、的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点.

20. 已知椭圆：.

（1）求椭圆的离心率.

（2）已知点是椭圆的左顶点，过点作斜率为1的直线，求直线与椭圆的另一个交点的坐标.

（3）已知点，是椭圆上的动点，求的最大值及相应点的坐标.

【答案】（1）；（2）；（3）取最大值，此时点的坐标是.

【解析】

【分析】

（1）由方程直接求出，即可求出离心率；

（2）可得直线方程为，联立直线与椭圆方程即可求出交点坐标；

（3）设，利用距离公式与椭圆的有界性即可求出.

【详解】（1）因为，，

所以，，，

所以椭圆的离心率.

（2），直线的方程为：，

联立方程组，消去整理得：，

解得，，

所以点的坐标为.

（3）设，因为是椭圆上的动点，所以，

，因为，

所以

，

因为，

所以当时，取最大值，此时点的坐标是.

【点睛】关键点睛：本题考查直线与椭圆的交点坐标，可直接联立方程求解，第三问求椭圆上的点到定点的距离最值，解题的关键是正确表示距离，利用椭圆的有界性求解.