2020-2021学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题

2020-2021学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题 

2020年11月4日

说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷18道题，共100分，Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共25题，合计150分，考试时间120分钟

Ⅰ卷（共18题，满分100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）

一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分）

1．设全集，集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递增的函数为（    ）．

A． B． C． D．

3．已知命题，，则是（    ）．

A．，  B．，

C．，  D．，

4．不等式的解集为（    ）．

A．  B．

C．  D．

5．函数的零点所在的区间是（    ）．

A．  B．

C．  D．

6．若，则下列不等关系一定成立的是（    ）．

A．  B．

C．  D．

7．函数的图象大致是（    ）．

A． B．

C． D．

8．“”是“”的（    ）．

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

9．关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（    ）．

A．  B．

C．  D．

10．若关于的不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是（    ）．

A．  B．

C．  D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置）

11．函数的定义域为______．

12．若函数是偶函数，则______．

13．奇函数的定义域为，在第一象限的图象为圆心在原点，半径为1的圆弧，如图所示，则不等式的解集为______．

14．已知函数，如果对，，使得成立，请给出一个满足上述条件的函数，则的解析式为______．

15．设函数

①若，使得成立，则实数的取值范围是______．

②若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）

16．已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

17．经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期．该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题．

具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货量（单位）的函数关系为，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费，某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨每吨存储费为120元年，每次订货费为2500元．

（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；

（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？

18．已知函数

（Ⅰ）判断函数在上的单调性，并用函数单调性定义证明；

（Ⅱ）关于的方程有6个不同的实数根．则：

（1）______．

（2）求，满足的条件．（直接写出答案）

Ⅱ卷（共7道题，满分50分）

一、选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）

19．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）．

A．  B．

C．  D．

20．若指数函数的图象和函数图象相交，则（    ）．

A．  B．

C． D．

21．已知函数对于给定的存在，使得，则的最大值为（    ）．

A．  B．

C．  D．

二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分，请把结果填在答题纸上的相应位置）

22．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______．

23．自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．

在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数…）

（1）如果为单调函数．写出满足条件的一-组值：______，______．

（2）如果的最小值为2，则的最小值为______．

24．设集合是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论：

①存在的两个不同子集，，使得任意都满足且；

②任取的两个不同子集，，对任意都有；

③设，，对任意，都有

其中正确结论的序号为______．

三、解答题（本小题14分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）

25．已知集合为非空数集，定义：

，

（Ⅰ）若集合，直接写出小强数学集合，

（Ⅱ）若集合，，且，求证：

（Ⅲ）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值．

人大附中2020-2021学年度第一学期高一年级数学期中练习

参考答案和评分标准2020.11.4

阅卷须知：

1．评分参考中所注分数，表示考生正确做了该步应得的该步骤分数．

2．其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分．

第Ⅰ卷（共17题，满分100分）

一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

注：

11题和13题如果未写成区间或者集合形式．

三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）

16．解：（1）由题可得：

则

（2）因为，则，

所以：或

即：或

所以的取值范围为

【注：的取值范围写成不等式】

17．解：

（1）有题意可得：

，．

将代入，得．

因此，该化工厂年存储成本费为68000元．

（2）因为，

所以，

当且仅当，且时，等号成立．

因此，每次订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60000元．

18．解：

（Ⅰ）证明：

任取，，且，

则

因为，所以，，．

所以．即．

所以是上的减函数．

【注：没有“任取”或者“”，体现任意性词语和符号】

（Ⅱ）（1）

（2），

Ⅱ卷（共7道题，满分50分)

一、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）

二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）

三、解答题

25．解：

（1）根据题意，由，则，；

（2）由于集合，，且，

所以中也只包含四个元素，

即，

剩下的，

所以；

（3）设满足题意，其中，

则，

，

，

，

，，

中最小的元素为0，最大的元素为，

，

，

，

实际上当时满足题意，

证明如下：

设，，

则，，

依题意有，即，

故的最小值为674，于是当时，中元素最多，

即时满足题意，

综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347．