2020-2021学年湖北省武汉市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知数列an中， a1=1， an+1=12an+1，则a4的值为( )
A.318B.154C.78D.158

2. 直线3x−2y−6=0在x轴、y轴上的截距之和为( )
A.7B.−1C.1D.712

3. 等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3+a8+a13是一个定值，则下列各数也为定值的有（ ）
A.a7B.a16C.S15D.S16

4. 如图所示，在棱长为1的正方体中，下列各点在正方体表面的是( )

A.1,12,−15B.25,−15,15C.15,12,12D.1,12,13

5. 已知圆C: x−32+y−22=16，过点M1,1的直线l与圆C交于A、B两点，弦长|AB|最短时直线l的方程为（ ）
A.2x−y−1=0B.2x+y−3=0C.x−2y+1=0D.x+2y−3=0

6. 等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差数列．则S4=( )
A.7B.8C.16D.15

7. 如图所示的坐标系中有矩形OACB， OA=4，OB=3，M，N分别为边OA，OB上的动点，P为MN的中点，且MN=2．则AP所在直线的斜率的最小值为( )

A.−1515B.1515C.−14D.−142−1

8. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y−4=0相切，则圆C面积的最小值为( )
A.4π5B.3π4C.6−25πD.5π4
二、多选题

已知直线l1:x−y−1=0，动直线l2:k+1x+ky+k=0k∈R，则下列结论错误的是( )
A.不存在k，使得l2的倾斜角为90∘
B.对任意的k，l1与l2都有公共点
C.对任意的k，l1与l2都不重合
D.对任意的k，l1与l2都不垂直

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2(an−a)（其中a为常数），则下列说法正确的是( )
A.数列{an}一定是等比数列B.数列{an}可能是等差数列
C.数列{Sn}可能是等比数列D.数列{Sn}可能是等差数列

圆O1:x2+y2−2x=0和圆O2:x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，则有( )
A.公共弦AB所在直线方程为x−y=0
B.线段AB中垂线方程为x+y−1=0
C.公共弦AB的长为22
D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为22+1

Sn为等差数列an的前n项和，S19<0，S20>0，则直线a1x+dy+5=0斜率取值可能为( )
A.9.2B.9C.9.4D.−10
三、填空题

已知m≠0，则过点(1, −1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为________．

数列an的通项公式为an=n−61n−63，则an取得最大值时， n=________.

若直线l:ax−by−1=0始终平分圆C:x2+y2−4x+2y+1=0的周长，则a−42+b−32的最小值是________.

我们把 Fn=22n+1(n=0,1,2,⋯) 叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设 an=lg2(Fn−1) ，n=1,2,3,⋯，Sn 表示数列 {an} 的前n项之和，则使不等式 22S1S2+23S2S3+⋯+2n+1SnSn+1<63127 成立的最大正整数n的值是________.
四、解答题

菱形ABCD中，A4,−7，C−2,3，BC边所在直线过点P−3,1．求：
(1)AD边所在直线的方程；

(2)BD所在直线方程．

已知圆C与两坐标轴交于x1,0，x2,0，0,y1，0,y2四点，且满足条件： x1+x2+y1+y2=2.
(1)求证： |OC|≥22；

(2)若圆C经过点A2,2,B−1,3，求圆C的方程．

在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn−12)．
(1)证明：数列{1Sn}为等差数列，并求an；

(2)设bn=2nSn，求数列{bn}的前n项和Tn．

已知圆C:x2+y2+2y+a=0上存在两点关于直线l:x+my+1=0对称．
(1)求实数m的值；

(2)若直线l与圆C交于A，B两点， OA→⋅OB→=−5（O为坐标原点），求圆C的方程．

为了响应习总书记说的“青山绿水就是金山银山”的号召，建设美丽乡村，提高社会和经济效益，某村镇计划用若干时间改造废弃村寨和荒地，植树造林．第一年已经植树128亩，恢复草地400亩．计划以后每年植树面积量比上一年增加50%，培植草地比上年多a亩 a∈N+.
(1)求经过n年，该村镇植树种草的总面积S(n)；

(2)若该村镇计划7年内完成植树种草至少10000亩，求a的最小值．

已知定点A(0, 1)，B(0, −1)，C(1, 0)．动点P满足：AP→⋅BP→=k|PC→|2．
(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；

(2)当k=2时，求|2AP→+BP→|的最大值和最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省武汉市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
等比数列的通项公式
数列递推式
【解析】
根据已知得到an+1−2=12an−2，即数列an−2是以−1为首项．12为公比的等比数列，进而求出数列的通项公式，然后求解即可．
【解答】
解：由题意，a1=1， an+1=12an+1，
所以an+1−2=12an−2，
所以数列an−2是以a1−2=−1为首项，12为公比的等比数列，
所以an−2=−1×12n−1=−12n−1，
所以an=2−12n−1，
所以a4=2−123=158.
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
直线的斜截式方程
【解析】
直线3x−2y−6=0化为截距式：x2+y−3=1，即可得出．
【解答】
解：直线3x−2y−6=0化为截距式：x2+y−3=1，
∴直线3x−2y−6=0在x轴、y轴上的截距之和为：2−3=−1．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
利用等差数列的通项公式化简已知的式子，得到关于a8的关系式，由已知式子为定值得到a8为定值，再利用等差数列的求和公式及等差数列的性质化简S15，也得到关于a8的关系式，进而得到S15为定值．
【解答】
解：∵a3+a8+a13=(a1+2d)+(a1+7d)+(a1+12d)
=3(a1+7d)=3a8，
且a3+a8+a13是一个定值，
∴a8为定值，
又S15=15a1+a152=15a8，
∴S15为定值．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
空间中的点的坐标
【解析】
由已知中正方体及所在的空间坐标系，可以分析出若Px,y,z在正方体表面时，横、纵、竖坐标所满足的条件，逐一分析四个答案，即可得到正确的结论．
【解答】
解：由已知中的坐标可得，若Px,y,z为正方体表面的一个点，
则0≤x≤1，0≤y≤1, 0≤z≤1，
并且x、y、z中至少有一个等于0或1，
分析四个答案中，ABC不符合上述条件，只有D符合条件．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
直线和圆的方程的应用
【解析】
根据题意，分析圆C的圆心坐标与半径，分析可得当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，弦长IABI最短，求出直线CM的斜率，由直线垂直与斜率的关系分析可得直线AB的斜率，
由直线的点斜式方程分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆C： (x−3)2+(y−2)2=16的圆心C为3,2，半径r=4，
当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，弦长|AB|最短，
此时kCM=2−13−1=12，则kAB=−2，
此时直线AB的方程为y−1=−2x−1 ，变形可得2x+y−3=0．
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
等比数列的前n项和
等差中项
【解析】
先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．
【解答】
解：∵ 4a1，2a2，a3成等差数列
∴ 4a1+a32=2a2，
∴ 即4+q22=2q.
∴ q=2.
∴ S4=a1(1−q4)1−q=1×(1−24)1−2=15.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
函数的最值及其几何意义
二次函数在闭区间上的最值
斜率的计算公式
【解析】

【解答】
解：设M(m，0)，N(0，n),
则P(m2，n2)，m2+n2=4，
kAP=n2m2−4=nm−8，
则kAP2=n2(m−8)2=4−m2(m−8)2
=−(m−8)2−16(m−8)−60(m−8)2
=−60(m−8)2−16m−8−1，
令t=1m−8，
∵ m∈(0,2)，
∴ t∈(−18,−16)，
令f(t)=−60t2−16t−1，
当t=−215时，f(t)max=115，
此时kAP的最小值为：−1515.
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ ∠AOB=90∘，
∴ 点O在圆C上．
设直线2x+y−4=0与圆C相切于点D，
则点C与点O的距离等于它到直线2x+y−4=0的距离，
当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|．
又|OD|=|2×0+0−4|5=45，
∴ 圆C的最小半径为25，
∴ 圆C面积的最小值为π252=45π．
故选A.
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
直线的倾斜角
【解析】
通过两直线的位置关系判断以及直线系方程的应用，即可求解.
【解答】
解：A，当k=0时，l2的倾斜角为90∘，故A错误，符合题意；
B，l2的方程整理为kx+y+1+x=0 ，
由此可知直线l2必过定点0,−1，又点0,−1也在l1上，故B正确，不符合题意；
C，当k=−12时，两直线重合，故C错误，符合题意；
D，∵ 1⋅k+1+−1k≠0，∴ 两直线不垂直，故D正确，不符合题意.
故选AC.
【答案】
B,D
【考点】
等比关系的确定
等差关系的确定
【解析】
结合已知可得an＝2an−1，n>1，然后结合a是否为0可进行判定是否满足等差或等比．
【解答】
解：Sn=2(an−a)，Sn−1=2(an−1−a)，n∈N，n≥2，
两式相减：an=2an−2an−1，an=2an−1，n≥2，
若a=0，令n=1，a1=2(a1−0)，a1=0，则an=0，此时是等差数列，不是等比数列，
若a≠0，令n=1，a1=2(a1−a)，a1=2a，则an=2an−1，n≥2，此时不是等差数列，
所以数列{an}不一定是等比数列，可能是等差数列，所以A错误，B正确.
又Sn=2(an−a)=2(Sn−Sn−1−a)，n≥2，n∈N∗，得Sn=2Sn−1+2a，
要使{Sn}为等比数列，必有a=0，已求得此时a1=2(a1−0)，即a1=0，
则an=0，Sn=0，
此时{Sn}是一个所有项为0的常数列，
所以{Sn}不可能为等比数列，
所以C错误D正确.
故选BD.
【答案】
A,B,D
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
垂径定理
点到直线的距离公式
【解析】
两圆的方程作差即可求出公共弦的直线方程，即可判断选项A；求出两圆圆心坐标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断选项B，求出圆心O1到直线AB的距离d，d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项CD．
【解答】
解：∵圆O1：x2+y2−2x=0和圆O2：x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，
∴圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为x−y=0，故A正确；
∵O11,0，O2−1,2，O1O2所在直线斜率为−1，
∴线段AB的中垂线的方程为y−0=−x−1，即x+y−1=0，故B正确；
圆O1：x2+y2−2x=0的圆心为O11,0，半径r1=1，
圆心O11,0到直线x−y=0的距离d=12=22．
∴P到直线AB距离的最大值为22+1，
圆O1与圆O2公共弦AB的长为21−12=2，故C错误，D正确．
故选ABD．
【答案】
A,C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
根据S19<0，S20>0，代入等差数列求和公式得到a1，d的不等关系，进而求出−a1d的范围即可得到答案.
【解答】
解：由S19<0，S20>0，a20>0，
所以a1<0，d>0，
S19=19(a1+a19)2=19(a1+a1+18d)2=19a1+171d<0，
所以−a1d>17119=9.
又S20=20(a1+a20)2=20(a1+a1+19d)2=20a1+190d>0，
所以−a1d<19020=9.5.
因为直线a1x+dy+5=0的斜率为−a1d，
所以直线a1x+dy+5=0斜率取值范围为9,9.5.
所以AC符合题意.
故选AC.
三、填空题
【答案】
−13
【考点】
直线的斜率
【解析】
由题意可得a=m，代入方程并同除以m可得x+3y+2=0，即可得斜率．
【解答】
解：把点的坐标代入方程可得：a−3m+2a=0，解得a=m，
故直线的方程可化为：mx+3my+2m=0，因为m≠0，
上式两边同除以m可得：x+3y+2=0，可得斜率为−13，
故答案为：−13.
【答案】
8
【考点】
等比数列的通项公式
数列递推式
等差数列的通项公式
【解析】
根据an=n−61n−63=n−63+63−61n−63=1+63−61n−63，结合反比例函数性质即可求解.
【解答】
解：由题意an=n−61n−63=n−63+63−61n−63=1+63−61n−63，
设fx=63−61x−63，则fx图象为gx=63−61x图象向右平移63个单位得到，
故当x从右边趋近于63时，fx→+∞，
又n∈N∗，
所以当n=8时，an取得最大值.
故答案为：8.
【答案】
20
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
圆的标准方程
【解析】
首先利用圆心在直线上，得到2a+b−1=0，再利用(a−4)2+(b−3)2的几何意义确定最小值即可.
【解答】
解：由题意可知，圆心在直线l上，则2a+b−1=0，
又(a−4)2+(b−3)2表示2a+b−1=0上的点a,b与点4,3的距离的平方，
由4,3到直线2a+b−1=0的距离d=2×4+3−15=25，
所以(a−4)2+(b−3)2最小值为d2=20.
故答案为：20.
【答案】
5
【考点】
数列的求和
数列与不等式的综合
数列的函数特性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ Fn=22n+1(n=0, 1, 2, ⋯)，
∴ an=lg2(Fn−1)=2n，
∴ Sn=2×(1−2n)1−2=2n+1−2.
又2n+1SnSn+1=2n+1(2n+1−2)(2n+2−2)=12n+1−2−12n+2−2，
∴ 22S1S2+23S2S3+⋯+2n+1SnSn+1
=122−2−123−2+123−2−124−2+⋯+12n+1−2−12n+2−2
=12−12n+2−2，
∵ 12−12n+2−2<63127，
∴ 12n+2−2>1254，即2n+2<256，即n<6，
∴ n=5.
故答案为：5.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意可知，直线PC的斜率即是BC的斜率.
kBC=kCP=3−1−2+3=2，
∵AD//BC，
∴kAD=2，
∴直线AD方程为y+7=2(x−4)，
即2x−y−15=0．
(2)kAC=3+7−2−4=−53，
∵菱形对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，
∴kBD=35，
而AC中点(1,−2)，也是BD的中点，
∴直线BD的方程为y+2=35(x−1)，
即3x−5y−13=0．
【考点】
直线的一般式方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意可知，直线PC的斜率即是BC的斜率.
kBC=kCP=3−1−2+3=2，
∵AD//BC，
∴kAD=2，
∴直线AD方程为y+7=2(x−4)，
即2x−y−15=0．
(2)kAC=3+7−2−4=−53，
∵菱形对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，
∴kBD=35，
而AC中点(1,−2)，也是BD的中点，
∴直线BD的方程为y+2=35(x−1)，
即3x−5y−13=0．
【答案】
(1)证明：设圆心为a,b，
则a=x1+x22，b=y1+y22,
由x1+x2+y1+y2=2得a+b=1，
所以圆C的轨迹方程为x+y−1=0，
原点到该直线的最短距离为|0+0−1|1+1=22,
即证|OC|≥22．
(2)解：由AC=BC和(1)可得a+b=1，a−22+b−22=a+12+b−32，
即a+b=1，3a−b+1=0，
解得a=0，b=1，
r=0−22+1−22=5，
所求的圆C方程为： x2+y−12=5 ．
【考点】
点到直线的距离公式
圆的综合应用
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：设圆心为a,b，
则a=x1+x22，b=y1+y22,
由x1+x2+y1+y2=2得a+b=1，
所以圆C的轨迹方程为x+y−1=0，
原点到该直线的最短距离为|0+0−1|1+1=22,
即证|OC|≥22．
(2)解：由AC=BC和(1)可得a+b=1，a−22+b−22=a+12+b−32，
即a+b=1，3a−b+1=0，
解得a=0，b=1，
r=0−22+1−22=5，
所求的圆C方程为： x2+y−12=5 ．
【答案】
(1)证明：数列中{an}，a1=1，
当n≥2时，其前n项和Sn满足S​n2=an(Sn−12)．
可得S​n2=(Sn−Sn−1)(Sn−12)，
化为2SnSn−1=Sn−1−Sn，
由SnSn−1≠0可得1Sn−1Sn−1=2，
可得{1Sn}为首项为1，公差为2的等差数列；
可得1Sn=1+2(n−1)=2n−1，
即Sn=12n−1，
n≥2时，
an=Sn−Sn−1
=12n−1−12n−3
=−2(2n−1)(2n−3)，
∴ an=1,n=1.−2(2n−1)(2n−3),n≥2.
(2)解：bn=2nSn=(2n−1)⋅2n，
前n项和Tn=1×2+3×4+5×8+⋯+(2n−1)⋅2n，
2Tn=1×4+3×8+5×16+⋯+(2n−1)⋅2n+1，
相减可得−Tn=2+2(4+8+...+2n)−(2n−1)⋅2n+1
=2+2⋅4(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n+1，
故Tn=6+(2n−3)⋅2n+1．
【考点】
数列递推式
等差关系的确定
数列的求和
【解析】
（1）由数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）求得bn=2nSn=(2n−1)⋅2n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】
(1)证明：数列中{an}，a1=1，
当n≥2时，其前n项和Sn满足S​n2=an(Sn−12)．
可得S​n2=(Sn−Sn−1)(Sn−12)，
化为2SnSn−1=Sn−1−Sn，
由SnSn−1≠0可得1Sn−1Sn−1=2，
可得{1Sn}为首项为1，公差为2的等差数列；
可得1Sn=1+2(n−1)=2n−1，
即Sn=12n−1，
n≥2时，
an=Sn−Sn−1
=12n−1−12n−3
=−2(2n−1)(2n−3)，
∴ an=1,n=1.−2(2n−1)(2n−3),n≥2.
(2)解：bn=2nSn=(2n−1)⋅2n，
前n项和Tn=1×2+3×4+5×8+⋯+(2n−1)⋅2n，
2Tn=1×4+3×8+5×16+⋯+(2n−1)⋅2n+1，
相减可得−Tn=2+2(4+8+...+2n)−(2n−1)⋅2n+1
=2+2⋅4(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n+1，
故Tn=6+(2n−3)⋅2n+1．
【答案】
解：(1)圆C的方程为x2+y+12=1−a，圆心C0,−1．
∵ 圆C上存在两点关于直线l: x+my+1=0对称，
∴ 直线l:x+my+1=0过圆心C．
∴ −m+1=0，
解得m=1 ．
(2)联立x2+y2+2y+a=0，x+y+1=0，
消去x，得2y2+4y+a+1=0．
设Ax1,y1，Bx2,y2，
Δ=16−8a+1>0，
∴ a<1.
由y1+y2=−2， y1y2=a+12，
得x1x2=−y1−1−y2−1=a+12−1．
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=a+1−1=a=−5，
∴ 圆C的方程为x2+y2+2x−5=0 ．
【考点】
直线与圆相交的性质
直线和圆的方程的应用
平面向量数量积
【解析】
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【解答】
解：(1)圆C的方程为x2+y+12=1−a，圆心C0,−1．
∵ 圆C上存在两点关于直线l: x+my+1=0对称，
∴ 直线l:x+my+1=0过圆心C．
∴ −m+1=0，
解得m=1 ．
(2)联立x2+y2+2y+a=0，x+y+1=0，
消去x，得2y2+4y+a+1=0．
设Ax1,y1，Bx2,y2，
Δ=16−8a+1>0，
∴ a<1.
由y1+y2=−2， y1y2=a+12，
得x1x2=−y1−1−y2−1=a+12−1．
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=a+1−1=a=−5，
∴ 圆C的方程为x2+y2+2x−5=0 ．
【答案】
解：(1)设an，bn分别为第n年植树，培植草地的数量，
依题意，{an}是首项为128，公比为1+50%=32的等比数列，
{bn}是首项为400，公差为a的等差数列，
{an}的前n项和Rn=128×[1−(32)n]1−32=256[(32)n−1].
{bn}的前n项和Tn=400n+n(n−1)2a.
所以经过n年，该村镇植树种草的总面积S(n)：S(n)=Rn+Tn=256[(32)n−1]+400n+n(n−1)2a.
(2)若该村镇计划7年内完成植树种草至少10000亩，
所以S(7)≥10000，
所以256[(32)7−1]+400×7+7×62a≥10000，
即21a≥3082，
所以a≥1461621
又 a∈N+，
所以a的最小值为147．
【考点】
等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
其他不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设an，bn分别为第n年植树，培植草地的数量，
依题意，{an}是首项为128，公比为1+50%=32的等比数列，
{bn}是首项为400，公差为a的等差数列，
{an}的前n项和Rn=128×[1−(32)n]1−32=256[(32)n−1].
{bn}的前n项和Tn=400n+n(n−1)2a.
所以经过n年，该村镇植树种草的总面积S(n)：S(n)=Rn+Tn=256[(32)n−1]+400n+n(n−1)2a.
(2)若该村镇计划7年内完成植树种草至少10000亩，
所以S(7)≥10000，
所以256[(32)7−1]+400×7+7×62a≥10000，
即21a≥3082，
所以a≥1461621
又 a∈N+，
所以a的最小值为147．
【答案】
解：(1)设动点的坐标为P(x, y)，
则AP→=(x, y−1)，BP→=(x, y+1)，PC→=(1−x, −y)，
∵ AP→⋅BP→=k|PC→|2，
∴ x2+y2−1=k[(1−x)2+y2]，
即(1−k)x2+(1−k)y2+2kx−k−1=0．
若k=1，则方程为x=1，表示过点(1, 0)且平行于y轴的直线．
若k≠1，则方程化为：(x+k1−k)2+y2=(11−k)2，
表示以(−k1−k, 0)为圆心，以1|1−k|为半径的圆．
(2)当k=2时，方程化为(x−2)2+y2=1．
∵ 2AP→+BP→=2(x, y−1)+(x, y+1)=(3x, 3y−1)，
∴ |2AP→+BP→|=9x2+9y2−6y+1．
又x2+y2=4x−3，
∴ |2AP→+BP→|=36x−6y−26，
∵ (x−2)2+y2=1，
∴ 令t=36x−6y−26.
则直线l：36x−6y−26−t=0与圆C:x−22+y2=1有公共点P，
所以|36×2−6×0−26−t|362+(−6)2≤1，
即|t−46|≤637，
可得46−637≤t≤46+637,
46−637=37−32，46+637=37+32．
|2AP→+BP→|的最大值为46+637=3+37，
最小值为46−637=37−3.
【考点】
轨迹方程
向量的模
点到直线的距离公式
【解析】
（1）设动点的坐标为P(x, y)，得到AP→，BP→，PC→的坐标表示，然后根据AP→⋅BP→=k|PC→|2．可得答案．
（2）当k=2时确定方程，然后求出向量2AP→+BP→的模的表达式，最后根据所求方程的参数方程求最值．
【解答】
解：(1)设动点的坐标为P(x, y)，
则AP→=(x, y−1)，BP→=(x, y+1)，PC→=(1−x, −y)，
∵ AP→⋅BP→=k|PC→|2，
∴ x2+y2−1=k[(1−x)2+y2]，
即(1−k)x2+(1−k)y2+2kx−k−1=0．
若k=1，则方程为x=1，表示过点(1, 0)且平行于y轴的直线．
若k≠1，则方程化为：(x+k1−k)2+y2=(11−k)2，
表示以(−k1−k, 0)为圆心，以1|1−k|为半径的圆．
(2)当k=2时，方程化为(x−2)2+y2=1．
∵ 2AP→+BP→=2(x, y−1)+(x, y+1)=(3x, 3y−1)，
∴ |2AP→+BP→|=9x2+9y2−6y+1．
又x2+y2=4x−3，
∴ |2AP→+BP→|=36x−6y−26，
∵ (x−2)2+y2=1，
∴ 令t=36x−6y−26.
则直线l：36x−6y−26−t=0与圆C:x−22+y2=1有公共点P，
所以|36×2−6×0−26−t|362+(−6)2≤1，
即|t−46|≤637，
可得46−637≤t≤46+637,
46−637=37−32，46+637=37+32．
|2AP→+BP→|的最大值为46+637=3+37，
最小值为46−637=37−3.