2022-2023学年新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年新疆巴音郭楞蒙古自治州第一中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知圆，则其圆心坐标和半径分别是（    ）

A．，2 B．，2

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据圆的标准方程求得圆心和半径.

【详解】依题意可知，圆的圆心为，半径.

故选：D

2．在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系为（    ）

A．相交但不垂直 B．垂直

C．平行 D．重合

【答案】C

【分析】根据两直线的位置关系确定正确答案.

【详解】直线，即；

直线，即.

由于，所以两直线平行.

故选：C

3．已知点A、B是直线与坐标轴的交点，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】先求得两点的坐标，进而求得.

【详解】由，

令，得，设；

令，得，设.

所以.

故选：A

4．若直线与直线垂直，则a的值为（     ）

A．-3 B．1 C．3 D．5

【答案】C

【分析】根据两直线垂直列方程，化简求得的值.

【详解】由于两条直线垂直，

所以，

解得.

故选：C

5．已知，且，则m =（    ）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

【答案】A

【分析】由向量坐标的乘法运算即可求得.

【详解】因为且

所以解得.

故选：A

6．直线与直线的交点坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将两直线方程联立，解方程组即可求解.

【详解】联立方程组，解得：，

所以直线与直线的交点坐标是，

故选：.

7．已知圆与直线相切，则（    ）

A． B．-1

C．或 D．-1或3

【答案】D

【分析】圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径

【详解】由已知得，，由与直线相切得，解得或3.

故选：D

8．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．外切 C．相交 D．内切

【答案】D

【分析】分别将两圆化成标准方程，求出圆心距并和两半径差与和相比较即可求解.

【详解】因为圆可化为：，

圆心坐标为，半径；

圆可化为：，

圆心坐标为，半径；

圆心距，因为，

所以圆与圆内切，

故选：.

9．已知，，则取最小值时的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的坐标运算先求出，再根据向量模的计算公式和二次函数的性质即可求解.

【详解】因为，，

所以，

则，

由二次函数的图象和性质可知：当时，取最小值，

故选：.

10．如图，在正四面体ABCD中，，则BC与平面ACD所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取AD中点为E，说明为BC与平面ACD所成角，后由余弦定理得答案.

【详解】如图，取AD中点为E，连接BE，CE.因几何体为正四面体，则为正三角形，则，

又，BE平面BEC，CE平面BEC，则AD平面BEC.

又做，因平面BEC，则，

又，CE平面ACD，AD平面ACD，则BF平面ACD.

即为BC与平面ACD所成角.又因，几何体为正四面体，

为正三角形，则，则在中，由余弦定理有：

.

故选：B

11．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱AB的中点，则点A到平面EB1C的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等体积法求得正确答案.

【详解】由于是的中点，所以到平面的距离等于到平面的距离，设这个距离为，

，

所以，

由于，

所以，.

故选：C

12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点E、F分别是D1C和A1C1上的点，，则EF与平面AA1D1D的位置关系是（    ）

A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定

【答案】B

【分析】结合线面平行、面面平行的知识确定正确答案.

【详解】，由于，

所以是的三等分点，

设是棱上靠近的三等分点，

则，

由于平面，平面，所以平面，

同理可证得平面，

由于平面，

所以平面平面，

由于平面，

所以平面.

故选：B

二、填空题

13．直线过点和点，则该直线的斜率为______；

【答案】

【分析】根据两点求斜率的方法求得正确答案.

【详解】直线的斜率为.

故答案为：

14．求直线和直线间的距离为______；

【答案】3

【分析】根据两平行线间的距离公式即可求得.

【详解】由两平行线间的距离公式可得.

故答案为：3

15．求点（2,）到直线的距离为______

【答案】

【分析】由点到直线的距离公式即可求得.

【详解】由点到直线的距离公式可得.

故答案为：

16．赵州桥又名安济桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名.赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是40米，拱顶离水面5米;当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为______米；

【答案】

【分析】先求得圆的半径，然后利用勾股定理求得跨度.

【详解】设圆的半径为，则，解得，

，

所以，当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为米.

故答案为：

三、解答题

17．（1）直线过点和点，求该直线的方程；

（2）直线过点，且倾斜角的正弦值是，求该直线的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）根据过两点的斜率公式求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解；

（2）根据同角三角函数的基本关系求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解.

【详解】（1）过点（2，0）和点的斜率为，

故直线的方程为，即.

（2）设直线的倾斜角为，则，

所以.

所以.

所以直线的方程为

，即或.

18．已知向量，，求：

(1)；

(2)若，则的值；

(3)若，则的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1)根据空间向量的坐标运算即可求解；

(2)根据向量平行的条件列出方程，解之即可求解；

(3)根据向量垂直的充要条件，列出方程，解之即可求解.

【详解】（1）因为，，

所以.

（2）因为，，

所以，，

又因为，所以，

解得：.

（3）因为，，

且，所以，

解得：

19．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，M是棱CC1上的一点，且C1M=3MC，

(1)求证：平面；

(2)求二面角A1-DM-B的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.

（2）利用向量法求得二面角A1-DM-B的余弦值.

【详解】（1）如图，以A1点为坐标原点建立空间直角坐标系，由题意知：

A1（0，0，0），C（2，2，4），B（0，2，4），M（2，2，3），D（2，0，4），

，平面BMD中，

设平面的法向量为，

则，

则平面BMD的法向量可设为，

，

.

（2）由（1）可知平面A1DM中，

设平面的法向量为，

则，

则平面的法向量可设为，

设二面角A1-DM-B为，由图可知为锐角.

.

20．已知三角形ABC的三个顶点为，，，

(1)求三角形ABC外接圆的方程；

(2)若圆与圆相交于点P、Q，求|PQ|.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆的一般方程，分别代入三个顶点，列出方程组，解方程组，可得所求的圆方程.

（2）将圆与圆的方程相减，得到公共弦方程，再利用勾股定理，可求出弦长.

【详解】（1）解：设三角形ABC外接圆的方程为，且，分别代入三个顶点为，，，

可得方程组：解得：，满足，

则：圆的方程为.

（2）解：先将圆方程化为：，

列出方程组，，

再将圆与圆的方程相减，即，得公共弦的直线方程为：，又因为圆的圆心坐标，且半径为，则圆心到公共弦的直线的距离为，故公共弦

21．已知动点M到点A（6，0）的距离等于M到点的距离的3倍，

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)若直线与轨迹C没有交点，求k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设出点坐标，根据已知条件列方程，化简求得动点的轨迹的方程.

（2）联立直线与轨迹的方程，结合判别式列不等式来求得的取值范围.

【详解】（1）设点M的坐标（x，y），由题意得：|MA|=3|MB|，

即：,

整理得：,

故轨迹C是以（0，0）点为圆心，2为半径的圆，其方程为：.

（2）由题意可联立方程组，消去y，

得方程：，

因为直线与圆C没有交点，所以，

即：，解得：.

22．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，点M、N分别是AA1、A1C1的中点，点P在棱A1B1上，且A1P=3PB1，Q为BP的中点，

(1)求证：；

(2)求MN与BP所成角的余弦值；

(3)求NQ的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）以A1点为坐标原点建立空间直角坐标系，写出所需点坐标，证明即可；

（2）求出，根据求解；

（3）根据空间中两点间的距离公式直接求解即可.

【详解】（1）如图，以A1点为坐标原点建立空间直角坐标系，

由题意知：A1（0，0，0），B（0，2，2），C（2，2，2），B1（0，2，0），M（0，0，1），N（1，1，0），，，

则，

所以，

故.

（2）,

设MN与BP所成角为，

故.

（3）因为N（1，1，0），，

所以.