第三章 函数单调性与奇偶性的综合应用练习---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

函数单调性与奇偶性的综合应用

一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是.(    )

A.  B.  C.  D.

2.     已知为定义在实数集R上的奇函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

3.     已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

4.     已知函数，则下列选项正确的是(    )

A. 为增函数 B. 对为偶函数
C. 对有最大值 D. 对有最大值

5.     已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是(    )

A.
B. 的单调递增区间为，
C. 当时，
D. 的解集为

三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

6.     已知函数为定义在R上的奇函数，且对于都有，且，则不等式的解集为__________.
7.     已知定义在R上的偶函数在区间内单调递减，且，则使不等式成立的x的取值范围是__________.

四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

8.     本小题分

已知函数是定义在R上的奇函数，且当，

当时，求函数的解析式：

若函数为R上的单调减函数，

①求a的范围；

②若对任意实数m，恒成立，求实数t的取值范围，

9.    本小题分

已知是奇函数，且

求实数的值.

判断函数在上的单调性，并加以证明.

求的最大值.

10. 本小题分
    已知函数是定义域为上的奇函数，且
    用定义证明：函数在上是增函数，
    若实数t满足，求实数t的范围．
11. 本小题分
    已知定义R上的奇函数，当时，
    求函数的解析式；
    解关于x的不等式：
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性、单调性综合，考查转化与化归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.

根据，得到，结合，令，得到函数在单调递增，分类讨论即得解.

【解答】

解：由题得：是奇函数，所以，
是偶函数，所以
将代入得：
联立，
解得：
，等价于，
即，
令，
则在单调递增，
①当时，函数的对称轴为，若在单调递增，则，得
②当时，函数的对称轴为，若在单调递增，则，得：
③当时，单调递增，满足题意.
综上可得：实数 a的取值范围

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的单调性，是较难题.
根据已知可得在内也是增函数且，分类讨论利用函数的单调性进行求解可得结果.

【解答】

解：因为为定义在实数集R上的奇函数，且在内是增函数，所以在内也是增函数，因为，所以，
当时，，所以或，所以或，
即：
当时，，所以或者，所以或，
即：

综上所述：不等式的解集是

故选：D

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

首先根据题意得到在为增函数，根据是偶函数得到，从而得到

【解答】

解：当时，恒成立，

所以在为增函数.

又因为是偶函数，所以，

即，所以，即

故选：A

4.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查了全称量词命题和存在量词命题的真假判定.根据全称量词命题和存在量词命题的真假关系，结合函数的性质，利用全称量词命题的真假得到存在量词命题的真假情况.

【解答】

解：，
对于设，且，则
，
令，，
所以
因为，所以
要使为增函数，只需恒成立，
所以，
即
而，所以矛盾，故A错误;
B选项：当时，，则有，故知为偶函数.故B选项正确.
C选项：命题“有最大值  ”的否定为命题“对没有最大值”，
当，时，在处取得最大值2，即N假，从而M真，故C选项正确.
D选项：命题“有最大值”的否定为命题“对没有最大值”，
当，时，在处取得最大值2，即N假，从而M真，故D选项正确.
故选

5.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.
根据题意，利用函数的奇偶性和单调性对各项进行判断即可.

【解答】

解：函数是定义在R上的奇函数，，故A错误；
当时，，，，故C正确；
当时，，因为时，单调递增，单调递减，所以在单调递增，又，所以在单调递增，当时，由C项分析得，因为时，单调递增，单调递增，所以在单调递增，又，所以在单调递增，所以的单调递增区间为，，故B正确；
，即x，异号，当，的解集为，当，的解集为，所以的解集为，故D错误.
故选

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，不等式的解法，体现了转化的数学思想.
通过构造函数，根据x的取值范围通过单调性和奇偶性可以得出答案.

【解答】

解：对于都有，
当时可得：；
则在上单调递增，
又函数是定义在R上的奇函数，，
故函数在R上是偶函数，
所以在单调递减，
，
当时，不等式，
所以
当时，不等式，
所以
综上所述，不等式的解集为，
故答案为：

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数单调性和奇偶性的运用，不等式求解，属于中档题.
根据不等式，可得或，结合函数单调性和奇偶性进行转化即可求解.

【解答】

解：函数为定义在R上的偶函数，
则，
不等式，等价于或，
又函数在区间内单调递减，
所以在区间内单调递增.
则不等式可化为或，
解得或，
所以使不等式成立的x的取值范围为
故答案为： 

8.【答案】解：当时，可得时，，

则时，，可得，

可得时，，

则；

①函数为R上的单调减函数，可得在也为递减函数，

即有，可得，

又在递减，可得，又经过原点，可得，

即a的范围是；

②由奇函数为R上的单调减函数，

即为，

可得，即恒成立，

设，可得的最大值为，

则，即t的取值范围是

【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性，考查不等式恒成立问题，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

应用奇函数的定义，求得时的解析式，可得所求函数的解析式；

①由题意可得在，为递减函数，考虑此时函数的对称轴与区间的关系，可得a的范围；

②由奇函数为R上的单调减函数，不等式转化为恒成立，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围．

9.【答案】解：是奇函数，

，，，

又，，；

在上为减函数，

证明如下：由知，

令，则的单调性和的单调性相反，

设，则，

，，，

，即，

在上为增函数，

则在上为减函数；

由结合计算可知在上递减，在上递增，在上递增，在上递减.

又当时，，且，

【解析】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，根据相应的定义是解决本题的关键．
根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数a，b的值；
根据函数单调性的定义即可证明函数在上的单调性；
根据函数的单调性求出函数的最大值即可．
 

10.【答案】解：函数是定义域为上的奇函数，
，，
，，
任取，，且，

，
，，
，，，，

函数在上是增函数．
，，
函数是定义域为上的奇函数，且
，
函数在上是增函数，
，
解得
故实数t的范围是 

【解析】本题考查函数单调性的证明，考查实数的取值范围的求法，考查运算求解能力，是中档题．
由函数是定义域为上的奇函数，求出，从而，利用定义法能证明函数在上是增函数；
推导出，由函数在上是增函数，列出不等式组，由此能求出实数t的范围．
 

11.【答案】解：为定义R上的奇函数，，
当时，，
故
，，
当时，单调递增且，且，故在上单调递增，
又为奇函数，故在R上单调递增，故，
即，即，
①当时，；
②当时，；
③当时，；
④当时，；
⑤当时，；
综上：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为 

【解析】本题考查了函数的性质的判断与应用，应用了分类讨论的思想方法，属于中档题．
由为定义R上的奇函数求及时的解析式即可；
结合函数的奇偶性可判断在R上单调递增，从而化不等式为，分类讨论求解集即可．