【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题57 二项式定理（含解析）
展开考点57 二项式定理
1．(2-x)(1+2x)5展开式中,含x2项的系数为( )
A.30 B.70
C.90 D.-150
2．(1－3x)7的展开式的第4项的系数为( )
A．－27C B．－81C
C．27C D．81C
3．设n为正整数,展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为( )
A.16 B.10 C.4 D.2
4．(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2的系数为( )
A．－30 B．120
C．240 D．420
5．设a=sin xdx,则的展开式中常数项是( )
A.160 B.-160
C.-20 D.20
6．(x＋y＋z)4的展开式的项数为( )
A．10 B．15
C．20 D．21
7．(x2+3y-y2)7展开式中x12y2的系数为( )
A.7 B.-7 C.42 D.-42
8．1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010除以88的余数是( )
A.-1 B.1
C.-87 D.87
9．5的展开式中常数项为( )
A．－30 B．30
C．－25 D．25
10．在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中的常数项为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
11．(x-y)(x+2y+z)6的展开式中,含x2y3z2的项的系数为( )
A.-30 B.120
C.240 D.420
12．若a0x2 016+a1x2 015(1-x)+a2x2 014(1-x)2+…+a2 016(1-x)2 016=1,则a0+a1+a2+…+a2 016的值为( )
A.1 B.0
C.22 016 D.22 015
13．在二项式5的展开式中，若常数项为－10，则a＝________.
14．(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为 .
15．若(x－1)5＝a5(x＋1)5＋a4(x＋1)4＋a3(x＋1)3＋a2(x＋1)2＋a1(x＋1)＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.
16．5的展开式中x2的系数是________．
17．在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= .
18．若n(n≥4，n∈N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n＝________.
19．二项式6的展开式中，含x2项的系数是________．
20．10展开式中的常数项为180，则a＝________.
21．设4的展开式中x2的系数为m，则直线y＝x与曲线y＝x2所围成的图形的面积为________．
22．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的常数项．
23．已知n.
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
考点57 二项式定理
1．(2-x)(1+2x)5展开式中,含x2项的系数为( )
A.30 B.70
C.90 D.-150
【答案】B
【解析】∵展开式的通项公式为Tr+1=·,∴展开式中,含x2项的系数为2××22-×2=70,故选B.
2．(1－3x)7的展开式的第4项的系数为( )
A．－27C B．－81C
C．27C D．81C
【答案】A
【解析】(1－3x)7的展开式的第4项为T3＋1＝C×17－3×(－3x)3＝－27Cx3，其系数为－27C，选A.
3．设n为正整数,展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为( )
A.16 B.10 C.4 D.2
【答案】B
【解析】∵展开式的通项公式为=·=(-1)k,令=0,得k=,∴n可取10.
4．(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2的系数为( )
A．－30 B．120
C．240 D．420
【答案】B
【解析】 [(x＋2y)＋z]6的展开式中含z2的项为C(x＋2y)4z2，(x＋2y)4的展开式中xy3项的系数为C×23，x2y2项的系数为C×22，∴(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中x2y3z2的系数为CC×23－CC×22＝480－360＝120，故选B.
5．设a=sin xdx,则的展开式中常数项是( )
A.160 B.-160
C.-20 D.20
【答案】B
【解析】由题意得a=sin xdx=(-cos x)=2.∴二项式为,
其展开式的通项为Tr+1=·=(-1)r·26-r·x3-r,
令r=3,则得常数项为T4=-23·=-160.故选B.
6．(x＋y＋z)4的展开式的项数为( )
A．10 B．15
C．20 D．21
【答案】B
【解析】(x＋y＋z)4＝[(x＋y)＋z]4＝C(x＋y)4＋C(x＋y)3z＋C(x＋y)2z2＋C(x＋y)z3＋Cz4，运用二项式定理展开共有5＋4＋3＋2＋1＝15项，选B.
7．(x2+3y-y2)7展开式中x12y2的系数为( )
A.7 B.-7 C.42 D.-42
【答案】B
【解析】将(x2+3y-y2)7看作7个因式相乘,要得到x12y2项,需要7个因式中有6个因式取x2,1个因式取-y2,故x12y2的系数为×(-1)=-7.
8．1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010除以88的余数是( )
A.-1 B.1
C.-87 D.87
【答案】B
【解析】1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+889+…+88+1.∵前10项均能被88整除,
∴余数是1.
9．5的展开式中常数项为( )
A．－30 B．30
C．－25 D．25
【答案】C
【解析】5＝x25－3x5＋5，5的展开式的通项Tr＋1＝C(－1)rr，易知当r＝4或r＝2时原式有常数项，令r＝4，T5＝C(－1)44，令r＝2，T3＝C(－1)22，故所求常数项为C－3×C＝5－30＝－25，故选C.
10．在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中的常数项为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
【答案】B
【解析】在二项式n的展开式中，令x＝1得各项系数之和为4n，∴A＝4n，该二项展开式的二项式系数之和为2n，∴B＝2n，∴4n＋2n＝72，解得n＝3，∴n＝3的展开式的通项Tr＋1＝C()3－rr＝3rCx，令＝0得r＝1，故展开式的常数项为T2＝3C＝9，故选B.
11．(x-y)(x+2y+z)6的展开式中,含x2y3z2的项的系数为( )
A.-30 B.120
C.240 D.420
【答案】B
【解析】由(x-y)(x+2y+z)6=(x-y)[(x+2y)+z]6,得含z2的项为(x-y)(x+2y)4z2=z2[x(x+2y)4-y(x+2y)4],
∵x(x+2y)4-y(x+2y)4中含x2y3的项为xx(2y)3-yx2(2y)2=8x2y3,
∴含x2y3z2的项的系数为×8=15×8=120,故选B.
12．若a0x2 016+a1x2 015(1-x)+a2x2 014(1-x)2+…+a2 016(1-x)2 016=1,则a0+a1+a2+…+a2 016的值为( )
A.1 B.0
C.22 016 D.22 015
【答案】C
【解析】1=[x+(1-x)]2 016=x2 016+x2 015(1-x)+…+(1-x)2 016,
∴a0+a1+…+a2 016=++…+=22 016,故选C.
13．在二项式5的展开式中，若常数项为－10，则a＝________.
【答案】－2
【解析】5的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r×r＝Ca5－rx10－，令10－＝0，得r＝4，所以Ca5－4＝－10，解得a＝－2.
14．(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为 .
【答案】-6
【解析】∵展开式中x2项为13(2x)0·12(-x)2+12(2x)1·13(-x)1+11(2x)2·14(-x)0,
∴所求系数为·+·2··(-1)+·22·=6-24+12=-6.
15．若(x－1)5＝a5(x＋1)5＋a4(x＋1)4＋a3(x＋1)3＋a2(x＋1)2＋a1(x＋1)＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.
【答案】31
【解析】令x＝－1可得a0＝－32.令x＝0可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－1＋32＝31.
16．5的展开式中x2的系数是________．
【答案】120
【解析】在5的展开式中，含x2的项为2C4,23C2，所以在这几项的展开式中x2的系数和为2CC＋23CC＝40＋80＝120.
17．在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= .
【答案】120
【解析】∵(1+x)6展开式的通项公式为=xr,(1+y)4展开式的通项公式为=yh,
∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为xryh.
∴f(m,n)=.
∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=+++=20+60+36+4=120.
18．若n(n≥4，n∈N*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n＝________.
【答案】8
【解析】n的展开式的通项Tr＋1＝Cxn－rr＝C2－rxn－2r，则前三项的系数分别为1，，，由其依次成等差数列，得n＝1＋，解得n＝8或n＝1(舍去)，故n＝8.
19．二项式6的展开式中，含x2项的系数是________．
【答案】60
【解析】由二项展开式的通项公式得Tr＋1＝Cx6－r·r＝Cx6－2r(－2)r，令6－2r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C(－2)2＝60.
20．10展开式中的常数项为180，则a＝________.
【答案】±2
【解析】10展开式的通项为C()10－r·r＝arCx5－r，令5－r＝0，得r＝2，又a2C＝180，故a＝±2.
21．设4的展开式中x2的系数为m，则直线y＝x与曲线y＝x2所围成的图形的面积为________．
【答案】
【解析】4的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr－4·x2r＝Cx3r－4，令3r－4＝2，得r＝2，则m＝C＝6.又直线y＝2x与曲线y＝x2的交点坐标为(0,0)和(2,4)，则它们所围成的图形的面积S＝0(2x－x2)dx＝＝.,
22．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的常数项．
【答案】(1) 8 (2) 8
【解析】(1)由题意得C＋C＋C＋…＋C＝256，
∴2n＝256，解得n＝8.
(2)该二项展开式中的第r＋1项为
Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，
令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.
23．已知n.
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
【答案】(1) 3 432 (2) 16 896x10
【解析】(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C4·23＝，
T5的系数为C3·24＝70，
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
∴T8的系数为C7·27＝3 432.
(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设第r＋1项的系数最大，
∵12＝12(1＋4x)12，
∴
∴9.4≤r≤10.4，又r∈N*，∴r＝10.
∴展开式中系数最大的项为第11项，T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.
