【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题58 随机事件的概率与古典概型（含解析）

考点58 随机事件的概率与古典概型
1．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　)
A．两个任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件 D．对立事件
2．小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是(　　)
A. B．
C． D．
3．做抛掷两颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子正面朝上的点数，y表示第二颗骰子正面朝上的点数，则x＋y＞10的概率是(　　)
A. B．
C． D．
4．某校食堂使用除面值外，大小、手感完全一样的餐票，某同学口袋中有2张一元餐票，3张两元餐票，1张五元餐票，他从口袋中随机摸出2张餐票，则这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为(　　)
A. B．
C． D．
5．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为(　　)
A. B．
C． D．
6．一袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从袋中一次性随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为(　　)
A. B．
C． D．
7．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为(　　)
A. B．
C. D．
8．从集合A＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率为(　　)
A. B．
C． D．
9．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同，分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b＞0的概率是(　　)
A. B．
C． D．
10．有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次．事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率是(　　)
A. B．
C． D．
11．如图，在A，B两点间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条且使每条网线通过最大信息量，则选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为6的概率是(　　)

A. B．
C． D．
12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)
A. B．
C． D．
13．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是(　　)
A. B．
C． D．
14．记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角为α，则α∈的概率为(　　)
A. B．
C． D．
15．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是________．
16．在三行三列的方阵中有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是(　　)
A. B．
C． D．
17．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”的概率为________．
18．为了庆祝五四青年节，某书店制作了3种不同的精美卡片，每本书中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现某人购买了5本书，则其获奖的概率为________．
19．同时掷两枚质地均匀的骰子．
(1)向上的点数相同的概率为________；
(2)向上的点数之和小于5的概率为________．
20．高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的，则这个班的男生人数为________．
21．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．

现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．
22．从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，求抽出的书是同一学科的概率．
23．(2018郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．
(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；
(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？

















考点58 随机事件的概率与古典概型
1．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　)
A．两个任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件 D．对立事件
【答案】B
【解析】因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．
2．小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是(　　)
A. B．
C． D．
【答案】B
【解析】语文、数学只有一科的两本书相邻，有2AAA＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有AAA＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A＝120种摆放方法．故所求概率为1－＝.故选B.
3．做抛掷两颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子正面朝上的点数，y表示第二颗骰子正面朝上的点数，则x＋y＞10的概率是(　　)
A. B．
C． D．
【答案】D
【解析】(x，y)的所有基本事件共有6×6＝36(个)，事件“x＋y＞10”包含(5,6)，(6,5)，(6,6)，共3个基本事件．根据古典概型的概率计算公式可知，x＋y＞10的概率是.故选D.
4．某校食堂使用除面值外，大小、手感完全一样的餐票，某同学口袋中有2张一元餐票，3张两元餐票，1张五元餐票，他从口袋中随机摸出2张餐票，则这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为(　　)
A. B．
C． D．
【答案】B
【解析】该同学从口袋中随机摸出2张餐票，总的基本事件数是C＝15，若这2张餐票的面值之和不少于4元，则这2张餐票为2张两元的或1张两元的、1张五元的或1张一元的、1张五元的，包含的基本事件数为C＋CC＋CC＝8，根据古典概型的概率计算公式可知，这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为.
5．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为(　　)
A. B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝.
6．一袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从袋中一次性随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为(　　)
A. B．
C． D．
【答案】D
【解析】从袋中一次性随机摸出2只球的所有可能情况有C＝6(种)，设“这2只球颜色不同”为事件N，这2只球颜色可能为1白1红，1白1黄，1红1黄，事件N包含的情况CC＋CC＋CC＝5(种)，故这2只球颜色不同的概率P(N)＝.
7．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为(　　)
A. B．
C. D．
【答案】D
【解析】设2个红球分别为a，b,3个白球分别为A，B，C，从中随机抽取2个，则有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P＝＝.
8．从集合A＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率为(　　)
A. B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可知，总的基本事件(k，b)共有4×3＝12个，直线y＝kx＋b不经过第四象限，则k＞0，b＞0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率P＝＝.故选B.
9．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同，分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b＞0的概率是(　　)
A. B．
C． D．
【答案】D
【解析】设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36个．a·b＞0，即x－2y＞0，满足x－2y＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率P＝＝.故选D.
10．有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次．事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率是(　　)
A. B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，这10件产品中有2件次品，8件正品，每次抽取1件，抽检后不放回，共抽2次，共有A＝90种情况，其中事件“抽到1件正品，1件次品”包含的情况有ACC＝32种情况，根据古典概型的概率计算公式知，事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率P＝＝.
11．如图，在A，B两点间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条且使每条网线通过最大信息量，则选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为6的概率是(　　)

A. B．
C． D．
【答案】A
【解析】设这6条网线从上到下分别是a，b，c，d，e，f，任取3条有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20个不同的取法，选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为6的取法有：(a，b，f)，(a，c，e)，(a，d，e)，(b，c，e)，(b，d，e)，共5个不同的取法，所以选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为6的概率是.
12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)
A. B．
C． D．
【答案】D
【解析】对函数f(x)求导可得f ′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)＞0，即a＞b.又(a，b)的取法共有9种，其中满足a＞b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P＝＝.
13．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是(　　)
A. B．
C． D．
【答案】C
【解析】由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24(个)．当b＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.
14．记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角为α，则α∈的概率为(　　)
A. B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈，即n＜m的(m，n)可根据n的具体取值进行分类计数：第一类，当n＝1时，m有5个不同的取值；第二类，当n＝2时，m有4个不同的取值；第三类，当n＝3时，m有3个不同的取值；第四类，当n＝4时，m有2个不同的取值；第五类，当n＝5时，m有1个取值．因此满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为＝.
15．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是________．
【答案】
【解析】所有两位数共有90个，其中2的倍数有45个，3的倍数有30个，6的倍数有15个，所以能被2或3整除的共有45＋30－15＝60(个)，所以所求概率是＝.
16．在三行三列的方阵中有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是(　　)
A. B．
C． D．
【答案】D
【解析】从9个数中任取3个数共有C＝84种不同的取法．若3个数中有2个数位于同行或同列，则有＝72种不同的取法，若3个数均位于同行或同列，则有6种不同的取法．设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取法共有72＋6＝78(种)，根据古典概型的概率计算公式得P(M)＝＝.故选D.
17．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”的概率为________．
【答案】
【解析】因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
18．为了庆祝五四青年节，某书店制作了3种不同的精美卡片，每本书中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现某人购买了5本书，则其获奖的概率为________．
【答案】
【解析】“获奖”即每种卡片至少一张，而5＝1＋1＋3＝1＋2＋2，有3种卡片，购买5本书，基本事件总数为35，故所求概率为＝.
19．同时掷两枚质地均匀的骰子．
(1)向上的点数相同的概率为________；
(2)向上的点数之和小于5的概率为________．
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)同时掷两枚骰子共有36种情况，其中向上点数相同的有6种情况，其概率为＝；
(2)向上点数之和小于5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种情况，其概率为＝.
20．高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的，则这个班的男生人数为________．
【答案】33
【解析】由题意可设该班的男生人数为x，则女生人数为63－x，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是，“选出的标兵是男生”的概率是，故＝×，解得x＝33，故这个班的男生人数为33.
21．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．

现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．
【答案】　
【解析】“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P＝＝.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是
P＝1－＝.
22．从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，求抽出的书是同一学科的概率．
【解析】从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法，其中抽出的书是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于＝.
23．(2018郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．
(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；
(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？
【解析】用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．
(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P(A)＝＝.
(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个．
则P(B)＝＝，所以P(C)＝1－P(B)＝.
因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平．