中考数学 专项训练 考点63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题

专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题
1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣13x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x2+Bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x=﹣1与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）若点Q在第三象限内，且tAn∠AQD=2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵直线y=﹣13x﹣1与x轴交于A点，∴点A坐标为（﹣3，0），
又∵直线x=﹣1为对称轴，∴点C坐标为（1，0），
∴抛物线解析式为：y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3；
（2）存在；
由已知，点D坐标为（﹣1，0），点B坐标为（0，﹣1），
设点P的坐标为（A，﹣13A﹣1），
①当△AOB∽△ADP时，，∴,解得
点P坐标为（﹣1，-23）；
②当△AOB∽△APD时，
过点P作PE⊥x轴于点E，则△APE∽△PED，∴PE2=AE•ED，
∴（﹣13A﹣1）2=（A+3）（﹣A﹣1），解得A1=﹣3（舍去），A2=﹣65，
∴点P坐标为（﹣65，﹣35）；
（3）存在，CQ最小值为37-52；

如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣12）为圆心，
∵tAn∠AFD=2，∴弧AFD（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点，
则连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值，此时CE=122+32=372，
∵⊙E半径为52，∴CQ最小值为37-52.

2、如图，直线y=﹣34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣38x2+Bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为M，PQ与OQ的比值为y，求y与M的关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；
（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标．

【解析】（1）在y=﹣34x+3中，令y=0得x=4，令x=0得y=3，∴点A（4，0）、B（0，3），
把A（4，0）、B（0，3）代入y=﹣38x2+Bx+c，得：-38×42+4b+c=0c=3，解得：b=34c=3，
∴抛物线解析式为y=﹣38x2+34x+3；
（2）如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，

则△PEQ∽△OBQ，∴PQOQ=PEOB，又∵PQOQ=y、OB=3，∴y=13PE，
∵P（M，﹣38M2+34M+3）、E（M，﹣34M+3），
则PE=（﹣38M2+34M+3）﹣（﹣34M+3）=﹣38M2+32M，
∴y=13（﹣38M2+32M）=﹣18M2+12M=﹣18（M﹣2）2+12，
∵0＜M＜3，∴当M=2时，y最大值=12，∴PQ与OQ的比值的最大值为12；
（3）如图，由抛物线y=﹣38x2+34x+3易求C（﹣2，0），对称轴为直线x=1，
∵△ODC的外心为点M，∴点M在CO的垂直平分线上，
设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，

则∠ODC=12∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，
∴sin∠ODC=sin∠OMN=NOMO=1MO，
又MO=MD，∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大，此时⊙M与直线x=1相切，MD=2，
MN=OM2-ON2=3，∴点M（﹣1，﹣3），根据对称性，另一点（﹣1，3）也符合题意；
综上所述，点M的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣3）．

3、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【解析】（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得，
∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为；
（2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为
直线，故对称轴为直线
（3）∵对称轴x=1，
∴B-2A，，
①A＞0时，
当x=2时，，当x=0或x=2，∴函数与AB无交点；
②A＜0时，
当y=2时，，或当时，；
∴当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
（3）①当时，则，思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.
②当时，则.
思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即
综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.
4、如图，抛物线y＝Ax2+Bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．

【解析】（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝Ax2+Bx+6，可得A＝﹣1，B＝5，
∴y＝﹣x2+5x+6；
（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，
根据两点之间线段最短，则CM+BM＝C'M+BM＝C'B最小，
∵C（0，6），∴C'（5，6），设直线BC'的解析式为y=kx＋B
将B（﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得，解得：，∴直线BC'的解析式为y＝x+1
将x＝代入，解得y=，∴M（，）；
（3）存在5个满足条件的P点；尺规作图如下：
①若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1，此时点P有两种情况
②若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2，此时点P即为所求
③若BP=CP，则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P，如图3，此时点P有两种情况
故存在5个满足条件的P点．


5、在平面直角坐标系中，二次函数y＝Ax2+Bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+53（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝23PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝132PH-14PQ，M＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时M的最小值．
（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．

【解析】解（1）∵y＝Ax2+Bx﹣8与y轴的交点为C，令x＝0，y＝﹣8，
∴点C（0，﹣8），∴OC＝8，
∵OC＝2OA，OB＝3OA，
∴OA＝4，OB＝12，
∴A（﹣4，0）B（12，0），
将点A代入直线解析式可得0＝﹣4k+53，解得k＝512，
∴y＝512x+53，
将点A和点B代入抛物线中，易得∴y＝16x2﹣43x﹣8；
（2）设点P的坐标为（p，16p2﹣43p﹣8），﹣A＝4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝4，
∴点Q（8﹣p，16p2﹣43p﹣8），
∴PQ＝2p﹣8，
∵PK＝23PQ，
∴PK＝43p﹣163，
如图1所示，延长PK交直线AR于点M，则M（p，512P+53），

∴PM＝512P+53﹣（16p2﹣43p﹣8）＝﹣16p2﹣2112p+293，
∵∠PHM＝∠MH′A，∠HMP＝∠AMH′，
∴∠HPM＝∠MAH′，
∵直线解析式为y＝512x+53，，令x＝0，y＝53，∴OE＝53，
∵OA＝4，根据勾股定理得∴AE＝133，
∴cos∠EAO＝A＝A,
∴cos∠HPM＝PHPM＝PH﹣16P2﹣2112p+293＝1213，
∴PH＝﹣213p2+2113p+11613，
∵I＝132PH-14PQ，
∴I＝132（﹣213p2+2113p+11613）﹣14（2p﹣8）＝﹣（p﹣5）2+85，
∴当p＝5时，I取最大值此时点P（5，﹣212），
∴PQ＝2，PK＝43，
如图2所示，连接QK，以PQ为边向下做等边三角形PQD，连接KD，在KD取I，
使∠PID＝60°，以PI为边做等边三角形IPF，连接IQ，

∵IP＝PF，PQ＝PD，∠IPQ＝∠FPD，
∴△IPQ≌△FPD（SAS），
∴DF＝IQ，
∴IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此时M最小，
过点D作DN垂直于KP，
∵∠KPD＝∠KPQ+∠QPD＝150°，
∴∠PDN＝30°，
∵DP＝PQ＝2，
∴DN＝1，根据勾股定理得PN＝3，
在△KDN中，KN＝53，DN＝1，根据勾股定理得KD＝219，
∴M的最小值为219；
（3）设NM与x轴交于点J，
∵AM＝13，cos∠MAJ＝1213，
∴AJ＝12，根据勾股定理得MJ＝5，
∵OA＝4，
∴OJ＝8，
∴M（8，5），
当x＝8时，代入抛物线中，可得y＝﹣8，
∴N（8，﹣8），MN＝13，
在△AJN中，根据勾股定理得AN＝413，
∵点D为x轴上的动点，根据翻折，MN′＝13，所以点N′在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动，如图3所示，

①当N′落在AN的垂直平分线上时，tAn∠MNA＝128＝32，
∴tAn∠MGJ＝32，
∵MJ＝5，∴JG＝103，根据勾股定理得MG＝5133，
∵MD1为∠GMJ的角平分线，∴MGMJ=GDDJ，
∴D1J＝513﹣152，∴D1（31-5132，0），
∵MD4也为角平分线，
∴∠D1MD4＝90°，
根据射影定理得MJ2＝JD1•JD4，
∴JD4＝513+152，∴D4（31+5132，0）；
②当AN＝AN′时，
D2与点A重合，
∴D2（﹣4，0），
∵MD3为角平分线，
∴MJMN'=JD3D3N'，
∴JD3＝103，∴D3（343，0），
综上所述D1（31-5132，0），D2（﹣4，0），D3（343，0），D4（31+5132，0）．

6、如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C（1，1）的抛物线y＝Ax2+Bx+c（A＞0）顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点．
（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；
（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝OC，若∠ONA＝∠OBN且tAn∠BAM＝，求抛物线的解析式；
（3）如图3，已知以直线x＝为对称轴的抛物线y＝Ax2+Bx+c交y轴于（0，5），交直线l：y＝kx+M（k＞0）于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，求k的值．

【分析】
（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；
（2）△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即Mn＝4…①，则抛物线的表达式为：y＝A（x﹣M）（x﹣n），MH＝|yM|＝﹣A（﹣M）（﹣n）＝，AH═﹣M，tAn∠BAM＝＝A（n﹣M）＝，化简得：A（n﹣M）＝…②，将（1，1）代入y＝A（x﹣M）（x﹣n）并化简得：A（5﹣M﹣n）＝1…③，联立①②③即可求解；
（3）抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；设点D（M，n），n＝M2﹣5M+5，而点C（1，1），则k＝＝M﹣4，若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，即可求解．
【解析】
（1）线段OC过的面积＝×π×（）2＝；
（2）ON＝OC＝4，设点A、B的坐标分别为：（M，0）、（n，0），
∠ONA＝∠OBN，则△ONA∽△OBN，则OA•OB＝ON2＝4，即Mn＝4…①，
则抛物线的表达式为：y＝A（x﹣M）（x﹣n），
过点M作MH⊥AB交AB于点H，函数的对称轴为：x＝（M+n），
则MH＝|yM|＝﹣A（﹣M）（﹣n）＝，AH＝xM﹣xA＝﹣M
tAn∠BAM＝＝A（n﹣M）＝，化简得：A（n﹣M）＝…②，
将（1，1）代入y＝A（x﹣M）（x﹣n）并化简得：A（5﹣M﹣n）＝1…③，
联立①②③并解得：M＝，n＝，A＝2，
则抛物线的表达式为y＝A（x﹣M）（x﹣n）＝A（x2﹣Mx﹣nx+Mn）＝2x2﹣9x+8；
（3）由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+5；
设点D（M，n），n＝M2﹣5M+5，而点C（1，1），则k＝＝M﹣4，
若在x轴上有且仅有一点P，使∠CPD＝90°，则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，

则点H（，），则HP＝HC，即（﹣1）2+（﹣1）2＝（）2，
化简得：3M2﹣18M+19＝0，解得：M＝3+（不合题意的值已舍去），
k＝M﹣4＝．
【小结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、解直角三角形、三角形相似等，综合性很强，数据处理技巧多，难度大．
7、如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．
（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．
（2）如图2，将△BOC沿BC边所在直线翻折，得到△BOC′，点M为直线BO′上一动点，将△AOC绕点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到△A′OC′，当直线A′C′，直线BO′，直线OM围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积．

【解析】（1）如图1，

当x＝0时，y＝3．
当y＝0时，．
∴，，
∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且
设D（A，），则E（）
∴DE＝A﹣
∴当A＝﹣时，DE最大．此时D（）
∵AP平分∠CAB，∴∠PAB＝∠CAB＝30°，
∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，
∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，
∵PQ⊥BC，∴PQB＝60°，∴AQ＝PQ，
∴＝，
将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则．
当Q运动到Q′时，有＝DM，
过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似，
DN＝Dy＝，AN＝
∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝
∴Q′M＝，∴DM＝DQ′+Q′M＝
＝DM＝．
（2）第一种情况：如图2，

NH＝r＝，QH＝＝，OQ＝2r＝3，
QN＝QH﹣NH＝，QB＝3，QP＝，PN＝PQ﹣QN＝6，S1＝18．
第二种情况，如图3，

QH＝，HN＝r＝，QB＝3+3，QP＝，PN＝PQ﹣QH﹣HN＝3，
第三种情况，如图4，

ON＝，OM＝，MQ＝OM﹣r＝，
第四种情况，如图5，

OB＝，OM＝，ON＝，MN＝OM﹣0N＝，．
第五种情况，如图6，

MN＝BN＝OBsin15°＝，ON＝OBcos15°＝，
OM＝ON+MN＝，HM＝OM﹣r＝，
；
第六种情况，如图7，

OM＝，ON＝，MN＝OM﹣ON＝，
；
综上所述，围成的三角形面积为：；．

8、如图，抛物线y＝﹣12x2+Bx+c与x轴交于A、B（A左B右），与y轴交于C，直线y＝﹣x+5经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为M，点P到直线BC的距离为d，求d与M的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB＝180°，求d的值．

【解析】（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B、C，∴B（5，0），C（0，5），
把B、C坐标代入y＝﹣12x2+Bx+c得到：c=5-252+5b+c=0 ，解得b=32c=5，
∴二次函数的解析式为y＝﹣12x2+32x+5；
（2）如图1中，作PE⊥BC于E，作PF∥AB交BC于F．

∵P（M，﹣12M2+32M+5），∵PF∥AB，∴点F的纵坐标为﹣12M2+32M+5，
则有﹣12M2+32M+5＝﹣x+5，∴x＝12M2﹣32M，
∴PF＝12M2﹣32M﹣M＝12M2﹣52M，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠EFP＝∠OBC＝45°，∵PE⊥EF，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴d＝PE＝22PF＝24M2﹣524M（﹣2＜M＜0）；
（3）如图2中，取BC的中点H，连接PH．

∵∠PCB+∠POB＝180°，∴O、B、C、P四点共圆，
∴∠CPB＝∠COB＝90°，∴PH＝12BC＝522，又∵P（M，﹣12M2+32M+5），H（52，52），
∴（M﹣52）2+（﹣12M2+32M+5﹣52）2＝252，
整理得：M（M﹣5）（M2﹣M﹣2）＝0，解得M＝0或5或﹣1或2，
∵P在第二象限，∴M＝﹣1，∴d＝24M2﹣524M＝322．

9、在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线：满足且，则称直线：是图形与的“隔离直线”，如图，直线：是函数的图像与正方形的一条“隔离直线”.
（1）在直线①，②，③，④中，是图函数的图像与正方形的“隔离直线”的为 .
（2）如图，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，⊙O的半径为，是否存在与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；
（3）正方形的一边在轴上，其它三边都在轴的左侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图像与正方形的“隔离直线”，请直接写出的取值范围.
【解析】(1)根据的“隔离直线”的定义可知，是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；直线也是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；而与不满足图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”的条件；故答案为：①④；
(2)存在，理由如下：
连接，过点作轴于点，如图，

在Rt△DGO中，，
∵⊙O的半径为，∴点D在⊙O上．
过点D作DH⊥OD交y轴于点H，∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．
设直线OD的解析式为，
将点D(2，1)的坐标代入得，解得：，
∵DH⊥OD，∴设直线DH的解析式为，
将点D(2，1)的坐标代入得，解得：，
∴直线DH的解析式为，∴“隔离直线”的表达式为；
(3)如图：

由题意点F的坐标为()，
当直线经过点F时，，∴，∴直线，即图中直线EF，
∵正方形A1B1C1D1的中心M(1，t)，过点作⊥y轴于点G，
∵点是正方形的中心，且，
∴B1C1，，∴正方形A1B1C1D1的边长为2，
当时，，
∴点C1的坐标是()，此时直线EF是)图象与正方形A1B1C1D1“隔离直线”，
∴点的坐标是(-1，2)，此时；当直线与只有一个交点时，
，消去y得到，
由，可得，解得：，同理，此时点M的坐标为：()，∴，
根据图象可知:当或时，直线是函数)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”．