中考数学 专项训 练考点32 两圆相切的存在性问题（解析版）

专题32 两圆相切的存在性问题

一、以函数为背景的两圆相切的存在性问题

【知识讲解】

1、     知识内容：

（1）如果两圆的半径长分别为和，圆心距为，那么两圆的位置关系可用、和之间的数量关系表达，具体表达如下：

 两圆外离；     两圆外切；

 两圆相交；  两圆内切；

 两圆内含．

注：两圆相切包含外切和内切两种情况．

（2）设、，则A、B两点间的距离公式为：

．

2、     两圆相切本质：线段的和差；

3、     解题思路：

（1）              利用两点距离公式或者是题目中已知条件表示出圆心距及两圆半径；

（2）              根据条件列方程（可采用相似或勾股定理等其它方法）；

（3）              根据题意对所求的解进行取舍．

【例题讲解】

1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y

轴交于点C，其中点A 的坐标为（，0），点D在线段AB上，AD = AC．如果以DB为半径的⊙D与⊙C外切，求⊙C的半径．

【解析】∵抛物线经过点A（-3，0），

∴，

解得：．

∴所求抛物线的关系式为：．

∴抛物线的对称轴是直线．

当时，，即得C（0，-4）．

又由A（-3，0），得．

∴AD = AC = 5．

又由A（-3，0），得D（2，0）， ∴．

又由直线为抛物线的对称轴，得B（5，0）．

∴BD = 3．

设圆C的半径为r．

∵圆D与圆C外切，  

∴CD = BD + r．

即得：．

解得：．

∴圆C的半径长为．

【总结】本题比较基础，主要考查函数背景下的两圆外切问题，注意将位置关系转化为数量关系进行求解即可．

2、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，其中OA = AB= BC = 4，

．

（1）若点P在第四象限，且与相似，求满足条件的所有点P的坐标；

（2）在（1）的条件下，若与以OC为直径的相切，请直接写出的半径．

【解析】（1）∵tan∠BCO=，

∴∠AOC =∠BCO = 60°，

∵等腰梯形OABC，

∴AB // CO，

∴∠CBA= 120° =∠BAO = 120°．

在中，∵OA = AB = BC = 4，

∴∠OBA=∠BOA = 30°，OC = 8．

要使∽，则必为等腰三角形，存在两种情况．

如图1，当PO = PC时，则∠OPC = 120°．

 ∴∠POC =∠PCO = 30°，∴P（4，）．

如图2，当OC = CP时，则∠OCP=120°．

∴∠COP=∠CPO=30°，

∵OC = PC = 8，

∴∠PCD = 60°，

∴PD = 4，CD = 4，

∴P（12，），

综上所述，满足条件的所有点P的坐标为（4，）或（12，）；

     （2）的半径和．

 如图1，∵PD=，

∴的半径为或．

 如图2，取OC中点Q，作．

 ∵∠POC = 30°，

∴，

 ∵P（12，），

∴，

∴，

 ∴，

    ∴的半径为或．

 综上，的半径为或或或．

【总结】本题主要考查平面直角坐标系背景下的相似问题及相切问题，注意进行分类讨论，并对相应的解题方法进行归纳整理．

3、如图，线段PA = 1，点D是线段PA延长线上的点，AD = a（a > 1），点O是线段

AP延长线上的点，，以O圆心，OA为半径作扇形OAB，，点C是弧AB上的点，联结PC、DC．

（1）联结BD交弧AB于E，当a = 2时，求BE的长；

（2）当以PC为半径的和以CD为半径的相切时，求a的值；

（3）当直线DC经过点B，且满足时，求扇形OAB的半径长．

【解析】（1）过点作，垂足为．

设，则，；

∵，

即，解得：；

∴，，；

当时，可得：，，∴；

易得∽，∴，

又，∴，∴．

（2）当点与点重合时，．

当点与点不重合时，联结，

∵，∴；

即，又，

∴∽，∴，

∴；

又，∴；

∵⊙和⊙相切，是圆心距，

∴⊙和⊙相只能内切；

∴；

即；

解得：．

（3）联结、．

∵∽，∴；

∵，∴；

∵，

∴，即．

∵，，

∴；

又，

∴∽；

∴；

∴，

∴；

∴是等边三角形，

∴；

在中，，，

即，．

即扇形OAB的半径长为．

【总结】本题主要考查扇形背景下的两圆相切问题，注意将位置关系转变为数量关系进行计算，另外第（3）问中注意对所给出的条件进行分析，从而找出相似的三角形进行求解．

练习：

1、如图，在梯形ABCD中，AD // BC，∠A = 90°，AD = 6，AB = 8，，点P在射线DC上，点Q在射线AB上，且PQ⊥CD．设DP = x，若以点B为圆心、BQ为半径的与以点C为圆心、CP为半径的相切，求线段DP的长．

【解析】延长BA、CD相交于点S，

    由题意条件，易得BC=12．

∵AD // BC且BC = 12，∴AD =BC，

∴，∴SD = DC = 10，SA = AB = 8．

∵DP = x，∴SP = x+10．

由∽，得：．

∴，∴．

当与相切时，有三种情况：

（ⅰ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB上时，只有可能两圆外切，

由BQ+CP = BC，，解得：；

（ⅱ）当点P在线段DC上，且点Q在线段AB的延长线上时，两圆不可能相切；

（ⅲ）当点P在线段DC的延长线上，且点Q在线段AB的延长线上时，

此时,  CP = x-10，

若两圆外切，BQ+CP = BC，即，解得：；

若两圆内切，，即；

由，解得：；

由，解得：．

综上所述，与相切时，线段DP的长为或或22．

【总结】本题主要考查梯形背景下的两圆相切问题，本题综合性较强，要从多个角度考虑问题，首先要分析动点的位置，其次相切问题下要分为内切和外切两种情况进行讨论．

2、如图1，已知梯形ABCD中，AD // BC，∠D = 90°，BC = 5，CD = 3，cot B = 1．点P是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作射线PE，使射线PE交射线BA于点E，∠BPE = ∠CPD．

（1）如图2，当点E与点A重合时，求∠DPC的正切值；

（2）当点落在线段上时，设，，试求与之间的函数解析式，并写出的取值范围；

（3）设以BE长为半径的和以AD为直径的相切，求BP的长．

【解析】（1）过点作，垂足为点．

由题意得，．

在 Rt中，

∵，∴，．

由，可得．

易证≌．

∴，

∴．

（2）过点作，垂足为点．

在 Rt△中，，

∴．

∵，

∴．

可得，

解得：．

的取值范围为．

（3）联结，过点作，垂足为点．

在中，得．

和外切时，

，即，

将代入上式，

得分式方程，

解得：；

经检验，是方程的根且符合题意．

∴当和外切时，．

和内切时，，得．

设与的交点为，，

即，

解得；

经检验，是方程的根且符合题意．

∴当和内切时，．

综上所述：当与相切时，的长是或．

【总结】本题考查的是直角梯形、相似三角形、锐角三角比及两圆相切的相关知识，综合性较强，解答时要注意数形结合的思想和分类讨论思想的综合运用．

3、如图，在梯形ABCD中，∠ABC = 90°，AD // BC，AB = 8，BC = 18，，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3个单位的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为秒．如果的半径为6，的半径为4，在移动的过程中，试探索：为何值时与外离、外切、相交？

【解析】过点D作于点（如图1）．

∠ABC＝90°，AD // BC，

．

，

当与外切时，，此时．

故当与外切时，四边形为等腰梯形或平行四边形．

当四边形为等腰梯形时（如图2），

过点Q作于点，

则，所以．

，，．

，

．

当四边形为平行四边形时（如图3），

过点Q作于点，

同理，得：，

，

．

当或时，与外离；

当或时，与外切；

当时，与相交．

【总结】本题主要考查梯形背景下的两元位置关系的讨论，综合性较强，主要从外切的关系入手，求出相应的值，再进行讨论，同时注意动点所处的问题的讨论．

二、以几何为背景的两圆相切的存在性问题

【知识讲解】

1、     知识内容：

   （1）如果两圆的半径长分别为和，圆心距为，那么两圆的位置关系可用、和之间的数量关系表达，具体表达如下：

 两圆外离；     

两圆外切；

 两圆相交；  

两圆内切；

 两圆内含．

注：两圆相切包含外切和内切两种情况．

2、     两圆相切本质：线段的和差；

3、     解题思路：

（1）        根据动点的运动方式表示出相关线段的长度；

（2）        利用几何图形的相关性质表示出线段间的关系；

（3）        根据相似的性质或者是勾股定理或者是两圆相切的关系等列出有关未知数的方程；

（4）        求出方程的解，并根据题意进行取舍．

【例题讲解】

1、如图，已知：在中，射线AM // BC，P是边BC上一动点，∠APD =∠B，PD

交射线AM于点D，联结CD．AB = 4，BC = 6，∠B = 60°．

（1）求证：；

（2）如果以AD为半径的与以BP为半径的相切，求线段BP的长度．

【解析】（1）∵AM // BC，∴∠PAD =∠APB．

    ∵∠APD =∠B，∴∽．

    ∴．∴．

    （2）过点A作AH⊥BC，垂足为点H．

    ∵∠B = 60°，AB = 4，∴BH = 2，．

设BP = x，那么．

    ∴．

    ∴．

（i）当与外切时，．即．

    整理，得：，

    ∵，∴此方程无实数解．

（ii）当与内切时，．即．

当时，解得x = 2；

    当，此方程无解．

综上所述，如果两圆相切，那么BP = 2．

【总结】本题比较基础，主要考查几何背景下的两圆相切问题，注意将位置关系转化为相应的数量关系，并进行分类讨论．

2、如图，在中，AB = AC = 10，BC = 12，点E、F分别在边BC、AC上（点F

不与点A、C重合），EF // AB．把沿直线EF翻折，点C与点D重合，设FC = x．

（1）求∠B的余切值；

（2）当点D在的外部时，DE、DF分别交AB于M、N，若MN = y，求y关于x

的函数关系式并写出定义域；

（3）（直接写出结果即可）以点E为圆心，BE为半径的与边AC，

有公共点时，求x的取值范围；

②一个公共点时，求x的取值范围；

个公共点时，求x的取值范围．

【解析】（1）如图1，作垂足为．

∵，， ∴．

∴，

∴ ．

（2）∵EF // AB， ∴，

∴，∴．

∵，EF // AB，

∴，，

∴，∴，

∴．

∵EF // MN，∴=．

∴．

（3）①当或时，与边没有公共点；

②当或时，与边有一个公共点；

③时，与边有两个公共点．

【总结】本题主要考查几何图形背景下的锐角三角比及相似的综合，第（3）问中，主要从临界点区分即可，由于是圆与边的交点个数，因此要从多个角度考虑．

练习：

1、如图，已知在直角梯形ABCD中，AD // BC，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．

（1）求证：∠BCD = ∠BDC；

（2）如图，若以P为圆心、PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，

求DP的长．

【解析】（1）过点D作DG⊥BC，垂足为G．

∵在Rt中，∠ABC = 90º，AB = 4，AD = 3，

∴BD=5．

在Rt中，∠DGC = 90º，=，

∵AD // BC，∴AB = DG = 4，AD = BG = 3，

∴DC = ，∴CG = 2，

∴BC = 3 + 2 = 5，∴BD = BC，

∴∠BCD =∠BDC．．

（2）设DP =，则RP=PB =．

∵∠BCD =∠BDC，∴．

在Rt中，∠PHD = 90º，=，

∴PH=，∴DH=，∴RH = HD =．

∵与外切，∴．

∴，解得：．

即．

【总结】本题主要考查直角梯形背景下的锐角三角比与两圆相切的综合运用，由于本题强调的是外切，因此只要考虑一种情况即可．

2、如图，中，∠ACB = 90°，AC = 4厘米，BC = 3厘米，为的内切圆．

（1）求的半径；

（2）动点P从点B沿BA向点A以每秒1厘米的速度匀速运动，以P为圆心，PB为半径作圆．设点P运动的时间为t秒，若与相切，求t的值．

【解析】解：（1）如图1，设与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，

连接OD、OE、OF，则AD = AF，BD = BE，CE = CF．

为的内切圆，

 ，，即．

 ，

四边形是矩形．

 ，

四边形是正方形．

 设的半径为，则．

 在中，∠ACB= 90°，AC = 4，BC = 3，

 ．

 ，

 ，解得：．

 即的半径为1．

 （2）如图2，过点作，垂足为．

 ，

 PG //AC．

 ∽，

 ．

 ，

 ．

 若与相切，则可分为两种情况，与外切和与内切．

 当与外切时，如图3．

 连接，则，过点作，垂足为．

 ，

 四边形是矩形，

 ，，

  ．

 在中，由勾股定理，得：，

 解得：．

 当与外切时，如图4．

 连接，则，

过点作，垂足为．

 ，

 四边形是矩形，

 ，，

  ．

 在中，由勾股定理，得：，

 解得：．

综上所述，与相切时，或．

【总结】本题综合性较强，考查的知识点也比较多，解题时注意利用相应的性质，同时综合运用数形结合思想及分类讨论思想．