中考数学 专项训练 考点31 面积的存在性问题（解析版）

专题31 面积的存在性问题

一、固定面积的存在性问题

【知识讲解】

1、     知识内容：

固定面积的存在性问题最为简单，在待求图形中，往往只有一个是变量，此时只需通过方程将其解出即可．

2、     解题思路：

（1）              根据题目条件，求出相应的固定面积；

（2）              找到待求图形合适的底和高；

（3）              列出方程，解出相应变量；

根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．

【例题讲解】

1、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B在y轴的正半轴上，且

，抛物线经过A、B两点．

    （1）求b、c的值；

    （2）过点B作CB⊥OB，交这个抛物线于点C，以点C为圆心，CB为半径的圆记作

     ⊙C，以点A为圆心，r为半径的圆记作⊙A．若⊙C与⊙A外切，求r的值；

    （3）若点D在这个抛物线上，的面积是面积的8倍，求点D的坐标．

【解析】（1）∵A点坐标为（8，0），，

 ∴OB = 6，∴B点坐标为（0，6）．

 将A、B两点坐标代入解析式，

 解得：，；

 （2）∵CB⊥OB，∴C点坐标为（5，6）．

 ∴⊙C的半径为5，．

 ∴；

  （3）设D点横坐标为d，由题意可得，．

 ∴．

    又∵， ∴．

 ∴D点坐标为或．

【总结】本题是二次函数的综合型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，利用外切间的数量关系确定圆的半径，在第（3）问中，要注意分类讨论．

2、如图，二次函数的图像过点A（，0）、B（0，6），对称轴为直线，顶点

为C，点B关于直线的对称点为D．

（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；

（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求AE的长；

    （3）在二次函数的图像上是否存在点P，能够使？如果存在，请求出点

    P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵二次函数过（，0）对称轴为，

 ∴二次函数过点（2，0）．

 设二次函数为，将B（0，6）代入，

 解得二次函数解析式为：．

 （2）顶点C的坐标为（，8），点D的坐标为（，6），

连接BD，则．

 ∵AB的解析式为，  ∴设E点为（e-6，e）．

 ∴．

 ∴e = 4． ∴E点坐标为（，4）．∴AE长为．

 （3）分情况讨论．

 ①若P在抛物线AC段上，由题意，则有PC // AB．

 ∴PC解析式为，可解得P点坐标为（，6）．

 ②若P不在抛物线AC段上，设PC与AB交于M．

 由题意，得CM = AM．设M点坐标为（m，m+6），

 ∴．

 解得：，  ∴M点坐标为．

    ∴直线CP解析式为：．

 ∴，解得：（C点，舍）或．

 综上所述，P点坐标为（，6）或（，）．

【总结】本题综合性较强，主要考查二次函数背景下的面积问题，解题时注意利用相关性质进行解题．

练习：

1、抛物线与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为（1，）．

    （1）求A、B两点的坐标；

（2）设直线AM与y轴交于点C，求的面积；

    （3）在抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB = S△BCM，如存在，求出点P的坐标；如

    果不存在，请说明理由．

【解析】（1）将顶点（1，）代入顶点式，

 可得，抛物线解析式为：．

 ∴A、B两点的坐标分别为（，0）和（3，0）．

 （2）∵直线AM的解析式为，

 ∴C点坐标为（0，）．

 ∴．

 （3）分情况讨论．

 ①P在直线BM右侧时，此时P不存在；

 ②P在直线BM左侧时，

 ∵S△PMB=S△BCM ，

 ∴CP // BM．

 ∵BM所在直线为，

 ∴CP直线为．

 由，解得：或．

∴P点坐标为或．

【总结】本题是二次函数的综合型，主要利用了待顶点式求二次函数解析式，并且求出几何图形的面积，在第（3）问中，要注意分类讨论．

2、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴交于点A

 （，0）和点B（3，0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C（5，6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在x轴上，且和相似，求点E的坐标；

（3）若直角坐标平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F

的坐标．

【解析】（1）设抛物线的解析式为，

 将点C（5，6）代入，得，

 ∴抛物线解析式为；

（2）∵抛物线的解析式为，

 ∴抛物线的顶点D的坐标为（，），

 作轴于点M，作轴于点N，

 ∵点C（5，6），∴点M的坐标为（5，0）

   ∴CM = 6，AM = 5 + 1 = 6，∴CM = AM；

   ∵轴，∴∠CMA = 90°

    在中，∠CAM + ∠ACM = 180°－90°= 90°，

∴∠CAM =∠ACM = 45°，

同理可求得，∠NAD =∠NDA = 45°；

∴∠CAB =∠DAB = 45°；

 ①当点E在点A右侧

∵和相似，且∠CAE =∠DAE = 45°，

∴ ，∴ ；

∴，∴ 点E（，0）．

②当点E在点A左侧

∵和相似，且∠CAE =∠DAE = 135°，

∴，∴，

∴，∴ 点E（，0）．

  综上所述，点E（，0）或点E（，0）；

（3）由（2）得：∠CAB=∠DAB = 45°，∴∠DAC = 90°，

①当PD // AC时，∠ADP =∠CAD = 90°．

    ∵点A（，0）、点B（3，0）、点D（1，），

 ∴，，AB = 3 + 1 = 4；

 ∴，∴；

 ∴B和点A、C、D构成直角梯形

 又

∴B和点A、C、D构成面积16的直角梯形，满足题意；

②当CP // AD时，∠PCA =∠CAD = 90°

∵，∴；

 作轴于点H，

 在等腰直角三角形CPH中，可求得CH = PH =，

 ∴点P坐标为；

③当AP // CD时，不合题意，∴舍去；

综上所述，点P坐标为或（3，0）．

【总结】本题综合性较强，主要考查函数背景下的相似问题，及直角梯形的存在性问题，注意对面积的要求，然后进行分类讨论．

二、有关面积比的存在性问题

【知识讲解】

1、     知识内容：

  有些问题是关于两个未知面积比的，此类问题的难度稍大．一般都需要先通过公共边或公共高，将面积比转化为线段之比，从而进一步列出方程解决问题．

2、     解题思路：

（1）              根据题目条件，用函数表示出相关面积；

（2）              利用面积比的条件列出方程并求解；

（3）              根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．

【例题讲解】

1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y

轴正半轴交于点B，它的对称轴与x轴交于点C，且，AC = 3．

（1）求此抛物线的表达式；

    （2）如果点D在此抛物线上，DF⊥OA，垂足为F，DF与线段AB相交于点G，

    且，求点D的坐标．

【解析】（1）∵，

 ∴对称轴为x=1，C点坐标为（1，0）．

 ∴OC=1，OA=4，A点坐标为（4，0）．

 ∵，  

∴．

 ∴．   

∴OB = 2，

即B点坐标为（0，2）．

 将A、B坐标代入解析式可得：

抛物线的解析式为：．

 （2）设D点横坐标为a，

    据题意有，且F、G的横坐标均为a．

 ∵直线AB的解析式为：，

 ∴D点为，

    F点为（a,0），G点为．

 ∴．  

∴．

 解得：a = 3或a = 4（舍） ，

 ∴D点坐标为．

【总结】本题主要考查二次函数背景下的面积问题，注意将面积比转化为线段比．

2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（a，3）（其中a > 4），射线OA

与反比例函数的图像交于点P，点B、C分别在函数的图像上，且AB // x轴，AC // y轴．

（1）当点P的横坐标为6时，求直线AO的表达式；

（2）联结BO，当AB = BO时，求点A的坐标；

    （3）联结BP、CP，试猜想的值是否随a的变化而变化？如果不变，求出

    的值；如果变化，请说明理由．

【解析】（1）将P点横坐标6代入反比例函数解析式，解得P点坐标为（6，2）．

 ∴直线OA的表达式为：．

 （2）∵AB // x轴，

 ∴B点纵坐标为3．

 ∴B点坐标为（4，3）．

 ∴．

 ∴AB=5．

 ∴A点坐标为（9，3）．

 （3）∵A点坐标为(a，3)，

 ∴C点横坐标为a，AO解析式为．

 ∴C点坐标为，P点坐标为．

 ∴，

   ．

 ∴，不随a的变化而变化．

【总结】本题主要考查反比例函数背景下的面积比问题，此题也可以将面积比利用同底等高或同高等底转化为线段比．

练习：

1、如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛

物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC : S△ACD = 5 : 4的点P的坐标；

    （3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的

    坐标．

【解析】（1）由题意，与两坐标轴分别相交于点A（3，0）、

    B（0，），

 将此两点坐标代入抛物线解析式，

 解得抛物线的解析式为：．

    （2）∵抛物线顶点D的坐标为（1，），C点坐标为（，0），

 ∴．

 由题意，，

 设P点的纵坐标为p，

 ∴，解得．

 ∵抛物线最低点（顶点）纵坐标为，

∴p = 5．

 ∴P点坐标为（4，5）或（，5）；

 （3）①AM平行等于BD时，M为（2，1）或（4，）；

 ②BM平行等于AD时，M为（2，1）（重复，舍）或（，）．

 综上，M点的坐标为（2，1）、（4，）、（，）．

【总结】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了平行四边形的存在性以及面积比的相关问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

2、如图，已知抛物线的顶点A在第四象限，过点A作AB⊥y轴

于点B，C是线段AB上一点（不与A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D，并交抛物线于点P．

（1）若点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，求点P的坐标；

（2）若直线AP交y轴负半轴于点E，且AC = CP，求四边形OEPD的面积S关于t

的函数解析式，并写出定义域；

（3）在（2）的条件下，当的面积等于2S时 ，求t的值．

【解析】（1）

    ∴A（t，）

    ∵点C的横坐标为1，且是线段AB的中点， ∴t =2 ．

∴，

    ∴P（1，-1）；

    （2）据题意，设C（x，）（0< x < t），P（x，）

     AC = t -x，PC =．

   ∵AC = PC，∴ t -x = ．

∵x < t   ∴ t - x =1，即x = t -1．

∴AC = PC = 1．

∵DC // y轴  ∴  ∴EB = t．

∴OE = 2 - t．

∴（1< t < 2）；

   （3）．

  ∵， ∴ ，

解得：，（不合题意）．

∴ ．

【总结】本题主要考查了二次函数背景下的面积存在性问题，解题时注意点的位置，从而对所求出的坐标进行取舍．