中考数学 专项训练 考点27 与角有关的等腰三角形的存在性问题

专题27 与角有关的等腰三角形的存在性问题

【知识讲解】

有时，等腰三角形通过边来计算过于复杂，而条件中又恰好有关于角的一些条件，此时经常可以讨论角之间的关系，再利用“等角对等边”的性质从而形成等腰三角形．

【例题讲解】

1、如图1，在△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 5，∠C = 30°，点D是AC边上一动点（不与A、C重合），过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，联结EF，设AE = x，EF = y．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）以F为圆心、FC为半径的⊙F交直线AC于点G，当点G为AD中点时，求x的

值；

（3）如图2，联结BD，将△EBD沿直线BD翻折，点E落在点E′处，直线BE′与直线

AC相交于点M，当△BDM为等腰三角形时，求∠ABD的度数．

图1                                图2

【答案】（1）（）；（2）x的值为；

（3）∠ABD的度数为20°或40°或80°．

【解析】解：（1）∵，  

        ∴DE//BC，

  ∴．

  ∴（定义域为）；

 （2）作GH⊥BC于H，

  易得：，，，

  ∴，

  解得：，（舍去）．

 （3）分情况讨论，设，则，

  ① BD=BM时，

  当点M在AC边上时，

∴．

  ∴．

  又∵，

  ∴，解得：；

  当点M在CA的延长线上时，同理可得；

  ② BD=DM时，

  又∵，

  ∴．

  又∵，

  ∴，∴；

  ③ DM=BM时，

  ∵，

  ∴，不可能．

【总结】本题主要考查直角三角形的性质与圆有关的性质定理的运用，注意等腰三角形的分类讨论．