中考数学 专项训练 考点26 与圆有关的等腰三角形的存在性问题
展开专题26 与圆有关的等腰三角形的存在性问题
【知识讲解】
1、 与圆有关知识内容：
在模块一的基础上，加入了与圆有关的要求。相关点主要有：
（1）同圆内半径相等，提供了全等三角形的边或角相等条件；
（2）切线与过切点的半径垂直，提供了可使用的直角三角形
2、 解题思路：
与模块一类似；
（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；
（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）；
（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．
【例题讲解】
1、如图，在中，∠ACB = 90°，AC = 8，tan B =，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点．
（1）当点E在BC的延长线上时，设PA＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）以点Q为圆心，QB为半径的⊙Q和⊙P相切时，求⊙P的半径；
（3）射线PQ与⊙P相交于点M，联结PC、MC，当△PMC是等腰三角形时，求AP的长．
【答案】（1），（）；（2）⊙P的半径为或；
（3）AP的长为或或5或8．
【解析】解：（1）∵AP = PD，∴，
∴，∴PE = PB =，
∵，∴，
∴（）；
（2）可以求出，，PA = x，．
∴外切时，，解得：，
内切时，，解得：，
综上所述，⊙P的半径为或；
（3），，，
分情况讨论：
① PM = PC时，解得：（此时E与C重合）；
② PM = MC时，解得：或；
③ PC = MC时，解得：或（舍）．
综上所述，AP的长为或或5或8．
【总结】本题一方面考查了两圆相切的分类讨论，另一方面考查了等腰三角形的分类讨论，注意方法的归纳总结．
2、如图，已知在中，，AB = 5，，P是BC边上的一点，，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．
（1）求AD的长；
（2）设CP = x，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）过点C作，垂足为F，联结PF、QF，如果是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．
【答案】（1）；（2）（）；
（3）CP的长为2或．
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
，∴．
∵，∴．
∵90°，∴90°．
∵=90°，∴．
∵，∴，∴．
（2）作，垂足为点H．
∵=90°，∴=90°，=90°，
∴，∴．
∵，∴，∴，
即，定义域为．
（3）解法一：在Rt△PBE中，90°，，，
∴，，
∴，．
∴，
．
如果，那么，解得：．
如果，那么，
解得：（不合题意，舍去），．
综上所述，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或．
解法二：在Rt△PBE中，90°，，，
∴，，
∴，．
如果，那么，
∴，，
∴，∴．
如果，那么，
∴，
解得：，∴．
综上所述，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或．
【总结】本题主要一方面考查与圆有关的知识点，另一方面考查锐角三角比的运用以及等腰三角形的分类讨论，注意此题只需分两种情况讨论即可．
