中考数学 专项训练 考点26 与圆有关的等腰三角形的存在性问题(能力)
展开专题26 与圆有关的等腰三角形的存在性问题
1、如图，在中，∠C = 90°，BC = 3，AB = 5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→A→B的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．
（1）当t =____秒时，点P与点Q相遇；
（2）在点P从点B到点C运动的过程中，当t为何值时，为等腰三角形？
【答案】（1）7；（2）．
【解析】解：（1）Q到B点需要，
此时P点行了4.5个单位，
两点相距个单位，
再过，即一共过7秒后，P与Q相遇．
（2）P在B到C的过程中，Q从CA边到了AB边，需要分情况讨论
①Q在AC边上，即时，
∵，∴只可能CP = CQ．
∴，解得：；
②Q在AB边且未到B点时，即时，
a) CQ = PQ，作QH⊥AC于H．
∴， ∴，解得：；
b) PC = CQ，
∵，在时，，∴不可能；
c) PC=PQ，
∵，∴不可能．
综上所述，当时，为等腰三角形．
【总结】本题主要考查动点背景下的等腰三角形的分类讨论问题．
2、在⊙O中，OC⊥弦AB，垂足为C，点D在⊙O上．
（1）如图1，已知OA = 5，AB = 6，如果OD//AB，CD与半径OB相交于点E，求DE
的长；
（2）已知OA = 5，AB = 6（如图2），如果射线OD与AB的延长线相交于点F，且
是等腰三角形，求AF的长；
（3）如果OD // AB，CD⊥OB，垂足为E，求sin∠ODC的值．
图1 图2
【答案】 （1）；（2）AF的长为或；（3）．
【解析】解：（1）∵OC⊥AB，∴AC = CB = 3，∴OC = 4．
∵OD//BC，∴OD⊥OC，，∴，∴；
（2）∵OD = 5，OC = 4，是等腰三角形，∴CD = 4或CD = 5．
①当CD = 5时，，∵OC⊥CF，
∴，∴D为OF中点，
∴，∴；
②当CD = 4时，作CH⊥OD于H，作DI⊥OC于I，
∴，∴，
∴，∴，
∴．
（3）∵OC⊥CB，CE⊥OB，∴，∴．
设BC=x，可得，即，解得：（负的舍去）．
∴．
【总结】本题综合性较强，主要考查了垂径定理及相似三角形的性质，锐角三角比的综合运用，解题时注意分析．
