中考数学 专项训 练考点33 圆中的存在性综合问题

专题33 圆中的存在性综合问题
1、如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．
（1）求证：△AED≌△CEB；
（2）求证：FG⊥AD；
（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．


（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，
在△AED和△CEB中，，
∴△AED≌△CEB（ASA）；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴∠AED＝∠CEB＝90°，
∴∠C+∠B＝90°，
∵点F是BC的中点，
∴EF＝BC＝BF，
∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，
∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴FG⊥AD；
（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：
作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：
∵AE＝1，BE＝3，
∴AB＝AE+BE＝4，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝2，
∴EH＝AH﹣AE＝1，
∴OH＝＝＝1，
∴OB＝＝＝，
即⊙O的半径为，
∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，
∴直线l是圆O的切线．

2、如图，直径为10的⊙O经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x2+kx+48＝0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2＝CD•CB时，求C点的坐标；
（3）在⊙O上是否存在点P，使S△POD＝S△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）连接AB，
∵∠BOA＝90°，
∴AB为直径，根与系数关系得OA+OB＝﹣k，OA×OB＝48；
根据勾股定理，得OA2+OB2＝100，
即（OA+OB）2﹣2OA×OB＝100，
解得：k2＝196，
∴k＝±14（正值舍去）．
则有方程x2﹣14x+48＝0，
解得：x＝6或8．
又∵OA＞OB，
∴OA＝8，OB＝6；

（2）若OC2＝CD×CB，则△OCB∽△DCO，
∴∠COD＝∠CBO，
又∵∠COD＝∠CBA，
∴∠CBO＝∠CBA，
所以点C是弧OA的中点．
连接O′C交OA于点D，根据垂径定理的推论，得O′C⊥OA，
根据垂径定理，得OD＝4，
根据勾股定理，得O′D＝3，
故CD＝2，即C（4，﹣2）；

（3）设直线BC的解析式是y＝kx+b，把B（0，6），C（4，﹣2）代入得：
，
解得：．
则直线BC的解析式是：y＝﹣2x+6，
令y＝0，
解得：x＝3，
则OD＝3，AD＝8﹣3＝5，
故S△ABD＝×5×6＝15．
若S△ABD＝S△OBD，P到x轴的距离是h，
则×3h＝15，解得：h＝10．
而⊙O′的直径是10，因而P不能在⊙O′上，
故P不存在．

3、如图，B，E是⊙O上的两个定点，A为优弧BE上的动点，过点B作BC⊥AB交射线AE于点C，过点C作CF⊥BC，点D在CF上，且∠EBD＝∠A．

（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）已知∠A＝30°．
①若BE＝3，求BD的长；
②当O，C两点间的距离最短时，判断A，B，C，D四点所组成的四边形的形状，并说明理由．
（1）证明：如图1，作直径BG，连接GE，
则∠GEB＝90°，
∴∠G+∠GBE＝90°，
∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，
∴∠EBD＝∠G，
∴∠EBD+∠GBE＝90°，
∴∠GBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD与⊙O相切；

（2）解：如图2，连接AG，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
由（1）知∠GBD＝90°，
∴∠GBD＝∠ABC，
∴∠GBA＝∠CBD，
又∵∠GAB＝∠DCB＝90°，
∴△BCD∽△BAG，
∴＝＝tan30°＝，
又∵Rt△BGE中，∠BGE＝30°，BE＝3，
∴BG＝2BE＝6，
∴BD＝6×＝2；

（3）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下，
由（2）知＝，＝，
∴＝，
∵B，E为定点，BE为定值，
∴BD为定值，D为定点，
∵∠BCD＝90°，
∴点C在以BD为直径的⊙M上运动，
∴当点C在线段OM上时，OC最小，
此时在Rt△OBM中，＝＝，
∴∠OMB＝60°，
∴MC＝MB，
∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∴∠BDC+∠ACD＝180°，
∴AC∥BD，
∴四边形ABCD为平行四边形．

4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A、B两点分别作⊙O的切线PA、PB交于一点P，连接OP
（1）求证：∠APO＝∠BPO；
（2）若∠C＝60°，AB＝6，点Q是⊙O上的一动点，求PQ的最大值．

（1）证明：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
在RT△PAO和RT△PBO中，
，
∴RT△PAO≌RT△PBO（HL），
∴∠APO＝∠BPO；
（2）解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠C＝60°，OP⊥AB，
∴△PAB为等边三角形，
延长PO交⊙O于Q，连接AQ、BQ，则此时PQ最大，
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝∠BPO＝30°
∴PQ＝2×AP＝2×AB＝2××6＝6．

5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．
（1）求证：△BEF是直角三角形；
（2）求证：△BEF∽△BCA；
（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．

（1）证明：∵∠EFB＝∠∠EDB，∠EBF＝∠EDF，
∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴△BEF是直角三角形．

（2）证明：∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD，
∵∠EFB＝∠EDB，
∴∠EFB＝∠BCD，
∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB⊥CD，
∴∠AMC＝90°，
∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠BCD＝∠CAB，
∴∠BFE＝∠CAB，
∵∠ACB＝∠FEB＝90°，
∴△BEF∽△BCA．

（3）解：设EF交AB于J．连接AE．
∵EF与AB互相平分，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴∠EFA＝∠FEB＝90°，即EF⊥AD，
∵BD⊥AD，
∴EF∥BD，
∵AJ＝JB，
∴AF＝DF，
∴FJ＝BD＝，
∴EF＝m，
∵△ABC∽△CBM，
∴BC：MB＝AB：BC，
∴BM＝，
∵△BEJ∽△BME，
∴BE：BM＝BJ：BE，
∴BE＝，
∵△BEF∽△BCA，
∴＝，
即＝，
解得m＝2（负根已经舍弃）．

6、（1）如图，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD＝3，BD＝4，则点D到直线AB的距离是　 　
（2）如图，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E（E在B、C之间，且不与B、C重合）．探索线段AB、BE、BC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC＝90°，∠BCD为锐角．BD平分∠ABC，BD＝7，AB＝6．求⊙O的面积．

解：（1）如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．

∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DF＝DE，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵S△BDC＝•BC•DE＝•BD•DC，
∴DE＝，
∴DF＝DE＝．
故答案为；
（2）如图②中，结论：AB+BC＝2BE．

理由：作DF⊥BA于F，连接AD，DC．
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF＝DE，∠DFB＝∠DEB＝90°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠EDF＝180°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠FDA＝∠CDE，
∵∠DFA＝∠DEC＝90°，
∴△DFA≌△DEC（ASA），
∴AF＝CE，
∵BD＝BD，DF＝DE，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），
∴BF＝BE，
∴AB+BC＝BF﹣AF+BE+CE＝2BE；
（3）如图③，连接AC，延长BC至H，使CH＝AB，

∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴＝，
∴AD＝CD，
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠DCH＝∠BAD，
又∵AD＝CD，AB＝CH，
∴△ABD≌△CHD（SAS）
∴BD＝DH＝7，∠ABD＝∠DHB＝45°，
∴∠BDH＝180°﹣∠DBH﹣∠DHB＝90°，
∴BH＝＝＝14，
∵AB＝CH＝6，
∴BC＝8，
∵∠ABC＝90°，
∴AC是直径，
∵AC＝＝＝10，
∴OC＝5，
∴⊙O的面积＝25π．
7、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以OB为半径的⊙O交AB于点E，交C于点D，连接CE，且CE＝CA．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）如图2，连接AD并延长交⊙O于点F，连接EF．
①如果∠BAC＝60°，求证：EF⊥BC．
②如果∠BAC≠60°，EF⊥BC是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

证明：（1）如图1，连接EO，

∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CA＝CE，OE＝OB，
∴∠A＝∠CEA，∠B＝∠OEB，
∴∠CEA+∠OEB＝90°，
∴∠CEO＝90°，
∴CE⊥OE，且OE为半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）如图2，连接DE，

∵∠BAC＝60°，AC＝CE，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE＝AC，
∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠CFD＝∠ABC＝30°，
∵DB是直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ACD＝∠AED＝90°，
∵AD＝AD，AC＝AE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴∠CAD＝∠EAD＝∠CAB＝30°，
∵∠BEF＝∠DAE+∠DFE，
∴∠BEF＝60°，
∴∠BHE＝180°﹣∠CBE﹣∠BEF＝90°，
∴EF⊥BC；
②仍然成立，
理由如下：如图3，连接OE，DE，

∵DB是直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ACD＝∠AED＝90°，
∴点A，点C，点D，点E四点共圆，
∴∠CAD＝∠CED，
∵∠CEO＝90°＝∠BED，
∴∠CED＝∠OEB，
∴∠CAD＝∠OEB，
∵∠OEB＝∠OBE＝∠DFE，
∴∠CAD＝∠DFE，
∴AC∥EF，
∴∠ACB＝∠EHB＝90°，
∴EF⊥BC．
8、如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE＝1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G．

（1）证明∠EFG＝90°．
（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积．
（3）在点F整个运动过程中，
①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长．
②连接EG，若＝时，求⊙O的半径（请直接写出答案）．
解：（1）连结 EG．
在正方形 ABCD 中，得∠C＝90°．
∴EG 为⊙O 的直径，
∴∠EFG＝90°．

（2）过点 F 作 AD 的垂线分别交 AD，BC 于点 M，N（如图 1）．

由（1）得：∠AFE＝90°，∠ADF＝45°．
∴设 MF＝MD＝a，
且 AD＝MN，
∴AM＝FN，
∵∠NFE+∠AFM＝∠AFM+∠MAF，
∴∠NFE＝∠MAF，
∴△AMF≌△FNE（AAS），
∴MF＝EN，
即 a＝3﹣a，
∴a＝1.5，
∴S△ADE＝×4×1.5＝3．

（3）①Ⅰ当EF＝CG 时（如图 2）．

∴EF＝CG．
∴EF∥CG．
∴∠BEF＝∠C＝90°．
∴BE＝EF＝1．
∴BF＝．
Ⅱ当 EF＝FG 时（如图 3）．

∵EF＝FG，
∴＝，
∴∠ECF＝∠ACE＝45°，
∴点 A，C，E 共线．
∴F 为对角线的交点．
∴BF＝BD＝2．
Ⅲ当GF＝GC时，点 F 作 AD 的垂线分别交 AD，BC 于点 M，N．

∵∠ECG＝90°，
∴EG是直径，
∴∠EFG＝90°，
∴∠ECG＝∠EFG＝90°，
∵EG＝EG，EG＝GC，
∴Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），
∴EF＝CE，
∴EF＝CE＝3，设 FN＝x．
则AM＝BN＝x．
∴EN＝x﹣1．
根据EN2+FN2＝EF2，
得：（x﹣1）2+x2＝32，
解得x＝或（舍弃），
∴BF＝NF＝，
∴综上所述，所有满足条件的 BF 长分别为，2，．

②如图4中，连接EG，作EM⊥BD于M，GN⊥BD于N．

由△EMF∽△FNG，可得＝＝＝，设FM＝x，
则GN＝DN＝2x，EM＝BM＝，FM＝，
∵BD＝4，
∴++3x＝4，
∴x＝，
∴DG＝DN＝，
∴CG＝CD﹣DG＝4﹣＝，
∴EG＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
9、如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为　 　；
（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．

（1）证明：如图1中，连接AC，OC，OA．

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝60°，
∵＝，
∴AB⊥OC，
∴∠OAD＝∠OAC＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠OAD，
∴OA∥BF，
∵AF⊥BF，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．

（2）解：∵＝，
∴∠CBD＝∠BEC，
∵∠BCD＝∠BCE，
∴△BCD∽△ECB，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝12，
∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9．
故答案为9．

（3）解：结论：＝，的值不变．
理由：如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N．

∵＝，
∴OC⊥AB，CB＝CA，
∴BH＝AH＝AB，
∵∠ABC＝30°，
∴BH＝BC，
∴AC＝AB，
∵CE∥AN，
∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，
∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N，
∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，
∵∠ACE＝∠ABN，
∴△ACE∽△ABN，
∴＝＝，
∴＝，
∴的值不变．

10、如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．
（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；
（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA＝45°，请求出EF的长？

解：（1）连接GD，EC．
∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，
∴∠GAD＝∠DAO，
∵GD＝GA，
∴∠GDA＝∠GAD，
∴∠GDA＝∠DAO，
∴GD∥OA，
∴∠BDG＝∠BOA＝90°，
∵GD为半径，
∴y轴是⊙G的切线；
∵A（2，0），B（0，），
∴OA＝2，OB＝，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝＝
设半径GD＝r，则BG＝﹣r，
∵GD∥OA，
∴△BDG∽△BOA，
∴＝，
∴r＝2（﹣r），
∴r＝，
∵AC是直径，
∴∠AEC＝∠AOB＝90°，
∴EC∥OB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EC＝2，AE＝，
∴OE＝2﹣＝，
∴C的坐标为（，2）；

（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CE、CF，
∵AC是直径，
∴AC＝2×＝
∴∠AEC＝∠AFC＝90°
∵∠FEA＝45°
∴∠FCA＝45°
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：AF＝CF＝，
设OE＝a
∴AE＝2﹣a
∵CE∥OB
∴△ACE∽△ABO
∴＝，
∴CE＝2，
∵CE2+AE2＝AC2，
∴22+（2﹣a）2＝
∴a＝或a＝（不合题意，舍去）
∴AE＝
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可得，AH＝EH＝，
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：FH2＝AF2﹣AH2＝（）2﹣（）2＝2，
∴FH＝，
∴EF＝EH+FH＝．