中考数学 专 项训练考点25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题(能力)

专题25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题

1、已知：如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90º， BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF//AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．

（1）求线段CF的长；

（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM·cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．

【答案】（1）CF的长为5；  （2）（）；

    （3）线段FM的长为或或．

【解析】（1）作AG⊥BC于点G，∴∠BGA = 90°，

∵∠BCD = 90°，AD∥BC，∴AG = DC = 6，

∵tan∠ABC = = 2，∴BG = 3，

∵BC = 11∴GC = 8，∴AD = GC = 8，∴AE = 3ED

∴AE = 6，ED = 2

∵AD∥BC，AB∥EF，∴BF = AE = 6，∴CF = BC-BF = 5．

（2）过点M作PQ⊥CD，分别交AB、CD、AG于点P、Q、H，作MR⊥BC于点R，

易得GH = CQ = MR．

∵MFcos∠EFC = x，∴FR = x．∵tan∠ABC = 2，∴GH = MR = CQ = 2x．

∴BG = 3，由BF = 6，得：GF = 3，

∴HM=3 + x，MQ = CF-FR = 5-x，AH = AG-GH = 6-2x．

    ∵∠AMQ=∠AHM+∠MAH，且∠AMN=∠AHM=90°， ∴∠MAH=∠NMQ，

    ∴∽，∴，即，

    ∴，定义域：；

（3）①∠AMN = 90°

1）当点M在线段EF上时，

∵∽，且AM = MN，

∴AH=MQ

∴6-2x = 5-x，

∴x = 1

∴FM =

2)当点M在FE的延长线上时

同上可得AH = MQ

∴2x-6 = 5-x

∴

∴

②∠ANM = 90°

过点N作PQ⊥CD，分别交AB、AG于点P、H，

作MR⊥BC于交BC延长线于交直线PN于点Q，

∵AN = MN，易得≌

∴AH = NQ，HN = MQ = 8

令PH = a，则AH = 2a，DN = 2a，CN = 6-2a

∴FR = 5 + 2a，MR = 8 +（6-2a）= 14-2a

由MR = 2FR得a =，

∴FR=，MR=，∴FM =，

综上所述，线段FM的长为或或．

【总结】本题综合性较强，考查的知识点也较多，包含了锐角三角比、相似等知识点的综合运用，并且本题考查的是等腰直角三角形的分类讨论，注意相关性质的运用．

2、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．

（1）当圆C经过点A时，求CP的长；

（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；

（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．

【答案】（1）CP的长为5；（2）；

    （3）圆C的半径长为．

【解析】解：（1）作AH⊥BC于H．

 ∴BH = 4，AH = 3，∴CH = 4．

 ∴，∴CP = AC = 5；

 （2）∵AP//CG，∴APCE为平行四边形，

    又∵CE = CP， ∴APCE为菱形．

 设CP = x，则AP = CP，∴．

 即，解得：，∴；

 （3）设，则．

 ∵，∴，．

 分情况讨论

①     AE = AG，解得：；

②     AE = GE，解得：，此时E在F点右边，舍去；

③     AG = GE，解得：或，均不可能，舍去．

 当AE = 3时，．

【总结】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用，注意第（3）小问中对求出的值的取舍．