中考数学 专项训练 考点06 对角互补模型在三角形中应用

专题06 对角互补模型在三角形中应用

【专题说明】

对角互补模型证明全等三角形，其辅助线的添加非常灵活，尤其是很多全等证明的题目经常和旋转综合考察，作为初二数学中的压轴题型。我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，希望各位同学能从中收益。

【知识总结】

一、双等边类型

         [来源:Z.xx.k.Com]

△BCD≌△ACE   △ABD≌△ACE    △BOE∽△COF

二、双等腰直角类型

△BCD≌△ACE  △BCE≌△DCF   △ABD∽△ACE

【类型】一、全等型­—60º和120º

如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.

则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.

证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.

由角平分线性质可得CF＝CG，在四边形OFCG中，∠FCG＝60º，

∵∠FCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG＝60º，∴∠FCD＝∠GCE，∴△CDF≌△CEG（ASA），

∴CD＝CE，结论①成立；

在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60º，∴OF＝OG＝OC，

又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝OC＝OC，结论②成立；

，结论③成立.

【类型】二、全等型—90º

如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.

则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.

证明：如图，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N.

∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），[来源:学科网]

在正方形MONC中，由题意可得∠MCN＝360º－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90º，∴∠MCD＋∠DCN＝90º，

又∵∠DCE＝90º，∴∠ECN＋∠MCD＝90º，∴∠MCD＝∠ECN，[来源:Zxxk.Com]

∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴结论①成立；

∵四边形MONC为正方形，∴OM＝ON＝OC，

又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立；

∴，∴结论③成立.

2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK]

则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.

证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.

由角平分线性质可得CF＝CG，∴四边形CFOG为正方形，

∵∠1＋∠2＝90º，∠3＋∠2＝90º，∴∠1＝∠3，∴△CDF≌△CEG，

∴CD＝CE，结论①成立；

在正方形CFOG中，OF＝OG＝OC，

∵OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF，∴OE－OD＝OC＝OC，结论②成立；

【类型】三、全等型—和

如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.

则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.

证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.

[来源:学|科|网Z|X|X|K]

证△CDF≌△CEG可得CD＝CE，结论①成立，

在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝，∴OF＝OG＝OC·，

又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝2OC·cos，结论②成立，

，结论③成立.

【类型】四、相似型—90º

如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.

结论：CE＝CD·.

证明【方法一】：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.

先证△CEG∽△CDF，即，又∵四边形CFOG是矩形，∴CF＝DG，

在Rt△COG中，，∴CE＝CD·；

证明【方法二】：如图2，过点C作CF⊥OC交OB于点F.

通过证明△CFE∽△COD可得.