中考数学 专项训练 考点06 对角互补模型在三角形中应用(基础)

专题06 对角互补模型在三角形中应用

【类型】一、一般情况

基本条件:△ABC∽△EDC，连接AE、BD后,有△AEC∽△BDC，相似比为AC边与BC边之比。

可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。

1、(直接用双子)如图，直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E．

(1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；

(2)着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．

[来源:学。科。网]

解：①全等．

理由：∵△AOB和△CBD是等边三角形，

∴OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，BC＝BD，∠CBD＝60°，

∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠OBC＝∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

∵，

∴△OBC≌△ABD（SAS）．          

②不变．

理由：∵△OBC≌△ABD，

∴∠BAD＝∠BOC＝60°，

又∵∠OAB＝60°，

∴∠OAE＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°，

∴Rt△OEA中，AE＝2OA＝2，

∴OE＝，

∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）．

2、如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（　　）

A．   B．   C．1   D．

[来源:学科网]

解：设Q是AB的中点，连接DQ，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC＝2，O为AC中点，

∴AQ＝AO，

在△AQD和△AOE中，

，

∴△AQD≌△AOE（SAS），

∴QD＝OE，

∵点D在直线BC上运动，

∴当QD⊥BC时，QD最小，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B＝45°，[来源:学科网ZXXK]

∵QD⊥BC，

∴△QBD是等腰直角三角形，[来源:Z_xx_k.Com]

∴QD＝QB，

∵QB＝AB＝1，

∴QD＝，

∴线段OE的最小值是为．

故选：B．

3、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°,cosC＝,点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．

（图1）                （图2）

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，

∵∠ECD＝∠ACB，

∴∠ECA＝∠DCB，

又∵＝＝，

∴△ECA∽△DCB，

∴＝＝；

【类型】二、旋转构造双子型

此类图的特点在于图形的不完整。一且补全图形,答案即可解出,而方法不仅仅是构造,亦可用旋转,构造与旋转本就可互相代替,但我们常常选用旋转来解决!不过本专题打算用构造的思路去解决!面转的方法读者可自行尝试,图是一样的！

1．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则BD的长为_________．

解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：

∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD，

即∠BAD＝∠CAD′，

在△BAD与△CAD′中，

，

∴△BAD≌△CAD′（SAS），

∴BD＝CD′，∠DAD′＝90°，

由勾股定理得DD′＝＝3，∠D′DA＋∠ADC＝90°，

由勾股定理得CD′＝＝，

∴BD＝CD′＝．

故答案为：．

2、如图，在△ABC中,∠ABC＝60°,AB＝＝8，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD,且∠DAC＝120°,则BD的长为________.

解：以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，

则∠BAE＝120°，AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB＝30°，

∴BP＝AB•cos∠ABP＝3，∠AEB＝90°，

∴BE＝2BP＝6，

在Rt△BED中，BD＝＝10，

故答案为：10．[来源:学&科&网Z&X&X&K]