中考数学 专项训练 考点06 对角互补模型在三角形中应用(能力)
展开专题06 对角互补模型在三角形中应用
1、如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD＝39°,那么∠ACE＝_______．
解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC，BE＝BD，
∴∠CBD＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE＝120°，[来源:Z§xx§k.Com]
在△ABD和△CBE中，，
∴△ABD≌△CBE，（SAS）
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD＝21°，
∴∠AEC＝21°，∴∠ACE＝99°，故答案为：99°．
2、如图,△ABC为等边三角形,AB＝2,点D为BC边上的动点,连接AD,以AD为一边向右作等边△ADE,连接CE
(1)在点D从点B运动到点C的过程中,点E运动的路径长为_________;
2)在点D的运动过程中,是否存在∠DEC＝60°,若存在,求出BD的长,若不存在,请说明理由.
(3)取AC中点P,连接PE,在点D的运动过程中,求PE的最小值.
解：
(1)△ABD≌△ACE可得BD=CE,E的运动路径的长即D的运动路径长，BC=2.
(2)∠DEC＝60°相当于∠AEC=∠ADB=120°，即∠EDC=0°,此时点D与点B重合.因此不存在.
(3)∠ACE=60°,当PE⊥CE时取最小值.PE=PCcos60°=.
3、在锐角△ABC中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到．
（1）如图1，当点在线段CA的延长线上时，求的度数；
（2）如图2，连接．若的面积为4，求的面积；
图1 图2
解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，
∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，
∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°．
（2）∵△ABC≌△A1BC1，
∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，
∴，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1，
∴∠ABA1＝∠CBC1，
∴△ABA1∽△CBC1．
∴，
∵S△ABA1＝4，
∴S△CBC1＝；
4、【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN,连结CN．求证：BM＝CN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BM＝CN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究BM与CN的数量关系，并说明理由．
图1 图2 图3
（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立；
理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC＝∠ACN．
（3）解：∠ABC＝∠ACN；
理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，
∴底角∠BAC＝∠MAN，[来源:学_科_网Z_X_X_K]
∴△ABC∽△AMN，
∴＝，
又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC＝∠ACN．
5、如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B旋转，直线AE、GC相交于点H．
（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中,∠AHC的大小是否始终为90°,请说明理由；
（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，求DH的最大值；
备用图
解：（1）是，理由如下：
如图，由旋转知，∠ABE＝CBG，
在正方形ABCD，BGFE中，
AB＝BC，BE＝BG，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴△ABE≌△CBG，
∴∠BAE＝∠BCG，
记AH与BC的交点为点P，
∵∠APB＝∠CPH，∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°
∠AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°，
∴∠AHC＝∠ABC＝90°，
（2）DH≤DE+EG=BD=
[来源:Z&xx&k.Com]
6、如图1，已知点A(0,－3)和x轴上的动点C(m,0),△AOB和△BCD都是等边三角形．
（1）在C点运动的过程中，始终有两点的距离等于OC的长度，请将它找出来，并说明理由．
（2）如图2，将△BCD沿CD翻折得△ECD,当点C在x轴上运动时，设点E(x,y),请你用m来表示点E的坐标并求出点E运动时所在图象的解析式．
（3）在C点运动的过程中，当时，直接写出△ABD是等腰三角形时E点的坐标．
图1 图2
解：（1）连接AD，如图1所示．
A、D两点间的距离始终等于OC的长度．理由如下：
∵△AOB和△BCD都是等边三角形，
∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，
∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD，∠OBC＝∠OBD＋∠DBC，
∴∠ABD＝∠OBC．
在△ABD和△OBC中，有，
∴△ABD≌△OBC（SAS），
∴AD＝OC．
（2）过D作DF⊥y轴于F，连接BE，如图2所示．
由（1）可知△ABD≌△OBC，
∴AD＝OC＝m，∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°
∴DF＝AD•sin∠DAF＝m，AF＝AD•cos∠DAF＝m，
∵A（0，﹣3），
∴D（m，m﹣3）．
∵将△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等边三角形，
∴四边形BCED是菱形，[来源:学科网ZXXK]
∴BE、CD互相平分．
∵△AOB是等边三角形，且点O（0，0），点A（0，﹣3），
∴点B（，﹣），
∴E（m﹣，m﹣）．
∵m﹣＝（m﹣），
∴点E在图形y＝x上运动．
（3）∵点A（0，﹣3），点B（，﹣），点D（m，m﹣3），
∴AB＝3，AD＝m，BD＝＝，
△ABD为等腰三角形分三种情况：
①当AB＝AD时，有3＝m，
此时点E的坐标为（﹣，﹣）；
②当AB＝BD时，有3＝，
解得：m＝0（舍去），或m＝3，
此时点E的坐标为（3，3）；
③当AD＝BD时，有m＝，
解得：m＝（舍去）．
综上可知：在C点运动的过程中，当m＞时，△ABD是等腰三角形时E点的坐标为（﹣，﹣）或（3，3）．
7、【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE＝AB,AD＝AC,∠BAE＝∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
图1 图2 图3
解：（1）BD＝CE．
理由是：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE；
（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7，
∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，
∴EC＝＝＝，
∴BD＝CE＝．
（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠E＝∠ABC＝45°，
∴AE＝AB＝7，BE＝＝7，
又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠BAE＝∠DAC＝90°，
∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD＝CE，
∵BC＝3，
∴BD＝CE＝（7﹣3）cm．
2、(1)如图1，已知△ABC,以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；
（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°,求BD的长；
（3）如图3，四边形ABCD中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝α,tanα＝＝5,AD＝12，求BD的长．
图1 图2 图3
解：（1）如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD，再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就是所求作的等边三角形；
证明：如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD；
（2）如图2，过A作AE⊥AD，使AD＝AE＝3，连接DE、CE，
由勾股定理得：DE＝＝3，
∴∠EDA＝45°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAB＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC，
即∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴EC＝BD，
在Rt△DCE中，EC＝＝＝，
∴BD＝EC＝；[来源:学科网]
（3）如图3，作直角三角形DAE，使得∠DAE＝90°，
∠DEA＝∠ACB，连接EC，
容易得到△DAE∽△BAC，
∴，即，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
∴△EAC∽△DAB，
∴，
在△DCE中，∠ADC＝∠ACB，
∠EDA＝∠ABC，
∴∠EDC＝90°，
∵，AD＝12，
∴AE＝9，∠DAE＝90°，
∴DE＝＝15，
CE＝＝5，
由△EAC∽△DAB，
∴
BD＝．
