中考数学 专项训 练考点07 半角模型在三角形中应用(能力)

专题07 半角模型在三角形中应用

1、已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．

（1）如图1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的长；

（2）将△COD绕点O旋转一定的角度到图2所示位置时，线段OH与AD有怎样的数量和位置关系，并证明你的结论．

（1）证明：如图1中，∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，AB＝8，CD＝2，

∴OA＝AB＝4，OD＝CD＝，

∴AD＝＝＝，

[来源:学科网]

∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，

∴OC＝OD，OA＝OB，

∵在△AOD与△BOC中，，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴BC＝AD＝，

∵点H为线段BC的中点，

∴OH＝BC＝；

（2）解：结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，

∵点H是BC中点，

∴BH＝CH，

∴△BEH≌△CHO（SAS），

∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，

∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，

∵OB＝OA，OC＝OD，

∴△BEO≌△ODA（SAS），

∴OE＝AD，

∴OH＝OE＝AD

由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO

∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，

∴OH⊥AD．

2、（1）问题发现

如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝50°，D是OB上一点，将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，则AC与BD的数量关系是　   　．

（2）类比探究

如图2，将∠COD绕点O在平面内旋转，（1）中的结论是否成立，并就图2的情形说明理由．

（3）拓展延伸

∠COD绕点O在平面内旋转，当旋转到OD∥AB时，请直接写出∠BOD度数．

解：问题发现

（1）∵将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，

∴OC＝OD，且OA＝OB，

∴AC＝BD，

故答案为：AC＝BD；

（2）结论仍然成立，

理由如下：

∵将∠COD绕点O在平面内旋转，

∴∠COD＝∠AOB，

∴∠BOD＝∠AOC，且AO＝BO，CO＝DO，

∴△AOC≌△BOD（SAS）

∴AC＝BD；

（3）∵OA＝OB，∠AOB＝50°，

∴∠OAB＝∠OBA＝65°，

当点D在点O左侧，

∵OD∥AB，

∴∠BOD+∠OBA＝180°，

∴∠BOD＝115°，

当点D在点O右侧，

∵OD∥AB，

∴∠BOD＝∠OBA＝65°．

3、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．

（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；

（2）填空：①当旋转角α的度数为　   　时，则DB'∥AE；

②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为　   　．

解：（1）DB'＝EC'，

理由如下：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC边的中点，

∴AD＝AE，

由旋转可得，∠DAE＝∠B'AC'＝90°，AB'＝AC'，

∴∠DAB'＝∠EAC'，且AB'＝AC'，AD＝AE

∴△ADB'≌△AEC'（SAS），

∴DB′＝EC′，

（2）①当DB′∥AE时，∠B'DA＝∠DAE＝90°，

又∵AD＝AB'，

∴∠AB'D＝30°，

∴∠DAB'＝60°，

∴旋转角α＝60°，

故答案为60°，

②如图3，当点B'，D，E在一条直线上，

∵AD＝，

∴AB'＝2，

∵△ADE，△AB'C'是等腰直角三角形，

∴B'C'＝AB'＝4，DE＝AD＝2，

由（1）可知：△ADB'≌△AEC'，

∴∠ADB'＝∠AEC'，B'D＝C'E，

∵∠ADB'＝∠DAE+∠AED，∠AEC'＝∠AED+∠DEC'，

∴∠DEC'＝∠DAE＝90°，

∴B'C'2＝B'E2+C'E2，

∴16＝（2+EC'）2+C'E2，

∴CE＝﹣1，

故答案为：﹣1．

4、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．

（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝　   　AD．

（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，

∴CA＝BC，AC⊥BC，∠BAC＝45°

∵AC＝CD，BC⊥AC，

∴AB＝BD，

∴∠BAC＝∠BDC＝45°，

∴∠ABD＝90°，

∵将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，

∴BD＝DE，∠BDE＝90°，

∴DE＝AB＝BD，AB∥DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，且∠ABD＝90°，

∴四边形ABDE是矩形，且AB＝BD，

∴四边形ABDE是正方形，

∴AB＝AE，AD＝AB，

∴AB+AE＝AD，

故答案为：；

（2）结论仍然成立；

如图②过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F，

∵BC∥DF，

∴∠ADF＝∠ACB＝90°，∠F＝∠ABC＝45°，

∴∠F＝∠DAF＝45°，

∴AD＝DF，

∴AF＝AD，

∵∠ADF＝∠EDB＝90°，

∴∠ADE＝∠BDF，且DE＝DB，AD＝DF，

∴△ADE≌△FDB（SAS），

∴AE＝BF，

∴AB+AE＝AB+BF＝AF＝AD；

（3）不成立，

当点D在线段AC上时，如图③，过点D作DF∥BC，

∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，

∴∠DAF＝∠AFD＝45°，

∴AD＝DF，AF＝AD，

∵∠EDB＝90°＝∠ADF，

∴∠ADE＝∠BDF，且AD＝DF，DE＝BD

∴△ADE≌△FDB（SAS）

∴AE＝BF，

∵AB﹣BF＝AF，

∴AB﹣AE＝AD；

当点D在CA的延长线上时，如图④，过点D作DF∥BC，交BA延长线于点F，

∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，

∴∠DAF＝∠AFD＝45°，

∴AD＝DF，AF＝AD，

∵∠EDB＝90°＝∠ADF，

∴∠FDB＝∠EDA，且AD＝DF，DE＝BD

∴△ADE≌△FDB（SAS）

∴AE＝BF，

∵AB+AF＝BF，

∴AB+AD＝AE．

5、如图（1），将正方形ABCD与正方形GECF的顶点C重合，当正方形GECF的顶点G在正方形ABCD的对角线AC上时，的值为　   　．

如图（2），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°＜a＜45°），猜测AG与BE之间的数量关系，并说明理由．

如图（3），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（45°＜a＜90°）使得B、E、G三点在一条直线上，此时tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE的面积．

解：（1）如图①中，

∵AC＝BC，CG＝EC，

∴AG＝AC﹣CG＝BC﹣EC＝BE，

∴＝，

故答案为：．

（2）结论：＝．

如图②中，所示，连接CG．

∵∠ACG＝∠BCE，＝＝，

∴△ACG∽△BEC，

∴＝，

（3）如图③中，连接CG，、

∵△ACG∽△BEC，

∴∠GAC＝∠EBC∠AGC＝∠BEC＝90°，

∵AG＝6，

∴BE＝，

∵tan∠EBC＝tan∠GAC＝，

∴∠EBC＝30°，

在Rt△BEC中，tan∠EBC＝

∴EC＝，

∴，

6、已知，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上一点（不与点A．B重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE．

（1）如图1，求证：∠EBD＝90°

（2）如图2，连接DE与BC相交于点F，G在AC上，连接DG．若AG：CG＝7：5．BD＝2AD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有正切值为的角．

（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠A＝∠ABC＝45°，

∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，

∴∠DCE＝90°，CD＝CE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE＝∠A＝45°，

∴∠ABC+∠CBE＝90°，

∴∠EBD＝90°；

（2）解：由（1）得：△ACD≌△BCE，∠EBD＝90°，

∴AD＝BE，

∵BD＝2AD，

∴BD＝2BE，

∴tan∠BDE＝＝；

作DM⊥AC于M，如图2所示：

则DM∥BC，△ADM是等腰直角三角形，

∴＝＝2，AM＝DM，

∴CM＝2AM＝2DM，

∴tan∠BCE＝tan∠ACD＝＝；[来源:学科网]

∵AG：CG＝7：5，[来源:学科网]

∴设AG＝7x，则CG＝5x，AC＝12x，DM＝AM＝AC＝4x，

∴MG＝AG﹣AM＝3x，

∴DG＝＝＝5x，

∴DG＝CG，

∴∠GDC＝∠ACD，

∴tan∠GDC＝tan∠ACD＝；

综上所述，图2中所有正切值为的角为∠BDE、∠ACD、∠BCE、∠GDC．

7、已知：在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD⊥BC，点D为BC的中点．

（1）如图1，求∠B的度数；

（2）如图2，点E为AC上一点，连接DE并延长至点F，连接CF，过点C作CH⊥DF，垂足为点H，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明；

（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接BP，使得∠BPD＝∠F，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当BP：PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的长．

（1）∵AD⊥BC，D为BC中点，

∴AB＝AC，

∴∠C＝∠B，

∵∠BAC＝2∠B，∠B+∠BAC+∠C＝180°，

∴∠B+2∠B+∠B＝180°，

∴∠B＝45°；

（2）∠F＝2∠FDC，

理由如下：

在DH上取一点N使HN＝HF，

∵CH⊥DF，HN＝HF，

∴CN＝CF，

∴∠F＝∠CNF，

∵DH＝CF+HF，DH＝DN+HN，

∴CF＝DN，

∵CN＝CF，CF＝DN，

∴CN＝DN，

∴∠FDC＝∠NCD，

∵∠CNF＝∠FDC+∠NCD，

∴∠F＝2∠FDC；

（3）连接PC交DF于K，过点C作CM⊥EG于M，

由（2）知∠F＝2∠FDC，设∠FDC＝α，则∠F＝2α，

∵∠BPD＝∠F，

∴∠BPD＝2α，

∵AD⊥BC，D为BC中点，

∴BP＝CP，∠PCD＝∠PBD，

∵∠BPD＝2α，

∴∠PCD＝∠PBD＝90°﹣2α，

∴∠PKD＝∠PCD+∠FDC＝90°﹣α，

∵AD⊥BC，

∴∠ADF＝90°﹣∠FDC＝90°﹣α，

∴∠PKD＝∠ADF，

∴PK＝PD，

由EF沿着EC折叠可知∠FEC＝∠GEC，

∴CM＝CH，

由（1）知∠ABC＝45°，AD⊥BC，

∴∠BAD＝45°，

∵∠BAC＝2∠ABC，[来源:Z*xx*k.Com]

∴∠DAC＝45°，

∴∠AED＝45°+α，

∴∠FEC＝∠CEG＝∠AED＝45°+α，

∴∠HEG＝90°+2α，

∵∠DEG＝90°﹣2α，

∴∠EGC＝90°﹣α，[来源:学科网]

∵∠EKC＝∠PKD＝90°﹣α，

∴∠EGC＝∠EKC，

又∵∠GMC＝∠KHC＝90°，

∴△GMC≌△KHC（AAS），

∴GC＝CK，

由BP：PD＝12：5，设BP＝12x，PD＝5x

∴GC＝CK＝CP﹣PK＝BP﹣PK＝12x﹣5x＝7x

∵GC﹣PD＝3

∵7x﹣5x＝3

∴x＝1.5

∴GC＝7x＝10.5