江苏省徐州市铜山区大许中学2021届高三数学阶段性检测试题

江苏省徐州市铜山区大许中学2021届高三数学阶段性检测试题
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知全集U＝{－1，2，3，a}，集合M＝{－1，3}．若∁UM＝{2，5}，则实数a的值为．
2．设复数z满足z(1＋i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数为 ▲ ．
3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：
选手
第1轮
第2轮
第3轮
第4轮
第5轮
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是．
S←1
I←2
While S≤100
I←I＋2
S←S×I
End While
Print I
（第5题图）
4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是．
5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．
6．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l⊥α，m⊂β．
给出下列命题：
①α∥β⇒l⊥m； ②α⊥β⇒l∥m；
③m∥α⇒l⊥β； ④l⊥β⇒m∥α．
其中正确的命题是． (填写所有正确命题的序号)．

7．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2，则＝ ▲ ．
8．设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为．
9．如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的周期是．
10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是．
O
y
x
A
B
（第9题图）

A
B
C
D
M
（第11题图）





11．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2．若·＝－3，则·＝．
12．在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为．
13．设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－b．若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为．
14．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边．若向量m＝(a，cosA)，向量n＝(cosC，c)，且m·n＝3bcosB．
（1）求cosB的值；
（2）若a，b，c成等比数列，求＋的值．

16．(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱BC上一点．
（1）若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）若A1B∥平面ADC1，求的值．
（第16题图）
A
B
C
D
A1
B1
C1










17． (本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，
点(2，1)在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
O
x
y
F
P
Q
（第17题图）
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证： OP⊥OQ．








18．(本小题满分16分)
如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．
（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；
（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．
（第18题图）
C
B
A
D





19．(本小题满分16分)
设函数f(x)＝－x3＋mx2－m(m＞0)．
（1）当m＝1时，求函数f(x)的单调减区间；
（2）设g(x)＝|f(x)|，求函数g(x)在区间[0，m]上的最大值；
（3）若存在t≤0，使得函数f(x)图象上有且仅有两个不同的点，且函数f(x)的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t)，试求m的取值范围．

20．(本小题满分16分)
已知数列{an}的前n项的和为Sn，记bn＝．
（1）若{an}是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．
①当3b1，2b2，b3成等差数列时，求的值；
②求证：存在唯一的正整数n，使得an+1≤bn＜an+2．
（2）设数列{an}是公比为q(q＞2)的等比数列，若存在r，t(r，t∈N*，r＜t)使得＝，求q的值．



数学附加题
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
A
P
．
O
H
C
（第21题A图）
B
如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A， H是OC的中点，AH⊥BC．
（1）求证：AC是∠PAH的平分线；
（2）求PC的长．





B．选修4—2：矩阵与变换
已知曲线C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程．






C．选修4—4：坐标系与参数方程
设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．已知椭圆C的参数方程为（θ为参数），点M的极坐标为(1，)．若P是椭圆C上任意一点，试求PM的最大值，并求出此时点P的直角坐标．


D．选修4—5：不等式选讲
求函数f(x)＝5＋的最大值．


【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．
（1）求X是奇数的概率；
（2）求X的概率分布列及数学期望．




23．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，Pn(x，y)，n∈N*．记直线APn的斜率为kn．
（1）若k1＝2，求P1的坐标；
（2）若 k1为偶数，求证：kn为偶数．


数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．5 2．3－i 3．0.02 4． 5．8 6．①④
7．4 8． 9．4 10．[－1，3] 11． 12．3
13．(－1－，2) 14．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
解：（1）因为m·n＝3bcosB，所以acosC＋ccosA＝3bcosB．
由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sinBcosB，···························································3分
所以sin(A＋C)＝3sinBcosB，所以sinB＝3sinBcosB．
因为B是△ABC的内角，所以sinB≠0，所以cosB＝．····················································7分
（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac．
由正弦定理，得sin2B＝sinA·sinC． ···············································································9分
因为cosB＝，B是△ABC的内角，所以sinB＝．······················································11分
又＋＝＋＝
＝＝＝＝＝．·································································14分

16．(本小题满分14分)
证明：（1）因为AB＝AC，点D为BC中点，所以AD⊥BC． ·················································2分
因为ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．
因为ADÌ平面ABC，所以BB1⊥AD． ···················································4分
因为BC∩BB1＝B，BCÌ平面BCC1B1，BB1Ì平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1．
因为ADÌ平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1． ·············································6分
(2)连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为AC1中点． ·············································8分
因为A1B∥平面ADC1，A1BÌ平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，
所以A1B∥OD． ··················································12分
因为O为AC1中点，所以D为BC中点，
所以＝1． ··································································14分
17．(本小题满分14分)
解：（1）由题意，得＝，＋＝1，解得a2＝6，b2＝3．
所以椭圆的方程为＋＝1． ··································································2分
（2）①解法一 椭圆C的右焦点F(，0)．
设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
所以＝，解得k＝±，所以切线方程为y＝±(x－)．······························4分
由方程组解得或
所以点P，Q的坐标分别为(，)，(，)，
所以PQ＝． ·································6分
因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为．
因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积也为．
综上所述，△OPQ的面积为． ·································8分
②解法二 椭圆C的右焦点F(，0)．
设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
所以＝，解得k＝±，所以切线方程为y＝±(x－)．·······························4分
把切线方程 y＝(x－)代入椭圆C的方程，消去y得5x2－8x＋6＝0．
设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝．
由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e( x1＋x2)＝2×－×＝．·····················6分
因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为．
因为椭圆的对称性，当切线方程为y＝－(x－)时，所以△OPQ的面积为．
综上所述，△OPQ的面积为． ·································8分
②解法一：(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝－．
当x＝时，P (，)，Q(，－)．
因为·＝0，所以OP⊥OQ．
当x＝－时，同理可得OP⊥OQ． ·································10分
(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．
因为直线与圆相切，所以＝，即m2＝2k2＋2．
将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k2) x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，x1x2＝．·································12分
因为·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(1＋k2)×＋km×(－)＋m2．
将m2＝2k2＋2代入上式可得·＝0，所以OP⊥OQ．
综上所述，OP⊥OQ． ·····································14分
解法二：设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0x＋y0y－2＝0，且x＋y＝2．
(i)当y0＝0时，则直线PQ的直线方程为x＝或x＝－．
当x＝时，P (，)，Q(，－)．
因为·＝0，所以OP⊥OQ．
当x＝－时，同理可得OP⊥OQ． ··································10分
(ii) 当y0≠0时，
由方程组消去y得(2x＋y)x2－8x0x＋8－6y＝0．
设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝． ······························12分
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝．
因为x＋y＝2，代入上式可得·＝0，所以OP⊥OQ．
综上所述，OP⊥OQ． ·····································14分
18．(本小题满分16分)
解：(1)由题意，可得AD＝12千米．
由题可知|－|≤， ··············································2分
解得≤v≤． ··············································4分
(2) 解法一：经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．
由于先乙到达D地，故＜2，即v＞8． ················································6分
①当0＜vt≤5，即0＜t≤时，
f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－v＋36) t2．
因为v2－v＋36＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值，
所以(v2－v＋36)×()2≤25，解得v≥． ·········································9分
②当5＜vt≤13，即＜t≤时，
f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6) 2 (t－)2＋9．
因为v＞8，所以＜，(v－6) 2＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值，
所以(v－6) 2 (－)2＋9≤25，解得≤v≤． ········································13分
③当13≤vt≤16， ≤t≤时，
f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，
因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(，)递减，所以当t＝时，f(t)取最大值，
(12－6×)2＋(16－v×)2≤25，解得≤v≤．
因为v＞8，所以 8＜v≤． ·············································16分

解法二：设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．
由于先乙到达D地，故＜2，即v＞8． ·················································6分
以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系，
①当0＜vt≤5时，f(t)＝(vt－6t)2＋(vt)2．
由于(vt－6t)2＋(vt)2≤25，所以(v－6)2＋(v)2≤对任意0＜t≤都成立，
所以(v－6)2＋(v)2≤v2，解得v≥． ···············································9分
②当5＜vt＜13时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋32．
由于(vt－1－6t)2＋32≤25，所以－4≤vt－1－6t≤4对任意＜t＜都成立，
即对任意≤t≤都成立，
所以解得≤v≤． ···············································13分
③当13≤vt≤16即≤t≤，此时f (t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2．
由①及②知：8＜v≤，于是0＜12－6t≤12－≤12－＝4，
又因为0≤16－vt≤3，所以f (t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2≤42＋32＝25恒成立．
综上①②③可知8＜v≤． ·············································16分
19．(本小题满分16分)
解：（1）当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2－1．f ′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)．
由f ′(x)＜0，解得x＜0或x＞．
所以函数f(x)的减区间是(－∞，0)和(，＋∞)． ······································2分
（2）依题意m＞0．
因为f(x)＝－x3＋mx2－m，所以f ′(x)＝－3x2＋2mx＝－x(3x－2m)．
由f ′(x)＝0，得x＝或x＝0．
当0＜x＜时，f ′(x)＞0，所以f(x)在(0，)上为增函数；
当＜x＜m时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(，m)上为减函数；
所以，f(x)极大值＝f()＝m3－m． ·················································4分
①当m3－m≥m，即m≥，ymax＝m3－m．···············································6分
②当m3－m＜m，即0＜m＜时，ymax＝m．
综上，ymax＝ ··················································8分
（3）设两切点的横坐标分别是x1，x2．则函数f(x)在这两点的切线的方程分别为
y－(－x13＋mx12－m)＝(－3x12＋2mx1)(x－x1)，
y－(－x23＋mx22－m)＝(－3x22＋2mx2)(x－x2)． ···········································10分
将(2，t)代入两条切线方程，得
t－(－x13＋mx12－m)＝(－3x12＋2mx1)(2－x1)，t－(－x23＋mx22－m)＝(－3x22＋2mx2)(2－x2)．
因为函数f(x)图象上有且仅有两个不同的切点，
所以方程t－(－x3＋mx2－m)＝(－3x2＋2mx)(2－x)有且仅有不相等的两个实根．···········12分
整理得t＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m．
设h(x)＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m，h ′(x)＝6x2－2(6＋m)x＋4m＝2(3x－m)(x－2)．
①当m＝6时，h ′(x)＝6(x－2)2≥0，所以h(x)单调递增，显然不成立．
②当m≠6时， h ′(x)＝0，解得x＝2或x＝．
列表可判断单调性，可得当x＝2或x＝，
h(x)取得极值分别为h(2)＝3m－8，或h()＝－m3＋m2－m．
要使得关于x的方程t＝2x3－(6＋m)x2＋4mx－m有且仅有两个不相等的实根，
则t＝3m－8，或t＝－m3＋m2－m． ·······························14分
因为t≤0，所以3m－8≤0，（*），或－m3＋m2－m≤0．（**）
解（*），得m≤，解（**），得m≤9－3或m≥9＋3．
因为m＞0，所以m的范围为(0，]∪[9＋3，＋∞)． ··································16分
20．(本小题满分16分)
解：（1）①因为3b1，2b2，b3成等差数列，
所以4b2＝3b1＋b3，即4×＝3(2a＋d)＋，
解得，＝． ····································4分
② 由an＋1≤bn＜an＋2，
得a＋nd≤＜a＋(n＋1)d，
整理得 ········································6分
解得＜n≤， ········································8分
由于－＝1且＞0．
因此存在唯一的正整数n，使得an＋1≤bn＜an＋2． ·········································10分
（2）因为＝＝，所以＝．
设f(n)＝，n≥2，n∈N*．
则f(n＋1)－f(n)＝－＝，
因为q＞2，n≥2，所以(q－1)n2＋2(q－2)n－3＞n2－3≥1＞0，
所以f(n＋1)－f(n)＞0，即f(n＋1)＞f(n)，即f(n)单调递增．··································12分
所以当r≥2时，t＞r≥2，
则f(t)＞f(r)，即＞，这与＝互相矛盾．
所以r＝1，即＝． ···································14分
若t≥3，则f(t)≥f(3)＝ ＝·＞，即＞，
与＝相矛盾．
于是t＝2，所以＝，即3q2－5q－5＝0．
又q＞2，所以q＝． ···········································16分


数学附加题参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：(1)连接AB．
因为PA是半圆O的切线，所以∠PAC＝∠ABC．
因为BC是圆O的直径，所以AB⊥AC．
又因为AH⊥BC，所以∠CAH＝∠ABC，所以∠PAC＝∠CAH，
所以AC是∠PAH的平分线． ···········································5分
(2)因为H是OC中点，半圆O的半径为2，所以BH＝3，CH＝1．
又因为AH⊥BC，所以AH2＝BH·HC＝3，所以AH＝．
在Rt△AHC中，AH＝，CH＝1，所以∠CAH＝30°．
由(1)可得∠PAH＝2∠CAH＝60°，所以PA＝2．
由PA是半圆O的切线，所以PA2＝PC·PB，
所以PC·(PC＋BC)＝(2)2＝12，所以PC＝2． ···········································10分
B．选修4—2：矩阵与变换
解：设曲线C上的任意一点P(x，y)，P在矩阵A＝对应的变换下得到点Q(x′，y′)．
则 ＝， 即x＋2y＝x′，x＝y′，
所以x＝y′，y＝． ················································5分
代入x2＋2xy＋2y2＝1，得y′2＋2y′·＋2()2＝1，即x′2＋y′2＝2，
所以曲线C1的方程为x2＋y2＝2． ···········································10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：M的极坐标为(1，)，故直角坐标为M(0，1)，且P(2cosθ，sinθ)，
所以PM＝＝，sinθ∈[－1，1]． ·················5分
当sinθ＝－时，PMmax＝，此时cosθ＝±．
所以，PM的最大值是，此时点P的坐标是(±，－)．·······························10分
D．选修4—5：不等式选讲
解：函数定义域为[0，4]，且f(x)≥0．
由柯西不等式得[52＋()2][()＋())]≥(5·＋·)2，······················5分
即27×4≥(5·＋·)2，所以5＋≤6．
当且仅当＝5，即x＝时，取等号．
所以，函数f(x)＝5＋的最大值为6． ··································10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．（本小题满分10分）
解：（1）记“X是奇数”为事件A，
能组成的三位数的个数是48． ·································2分
X是奇数的个数有28，所以P(A)＝＝．
答：X是奇数的概率为． ·································4分
（2） X的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．
当 X＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P(X＝3)＝＝；
当 X＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P(X＝4)＝＝；
当 X＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P(X＝5)＝＝；
当 X＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P(X＝6)＝＝；
当 X＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P(X＝7)＝＝；
当 X＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P(X＝8)＝＝；
当 X＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P(X＝9)＝＝；
······························8分
所以X的概率分布列为：
X
3
4
5
6
7
8
9
P







E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＋7×＋8×＋9×＝． ························10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）因为k1＝2，所以＝＝2，
解得x0＝1，y0＝1，所以P1的坐标为(1，1)． ····································2分
（2）设k1＝2p(pN*)，即＝＝2p，
所以x－2px0＋1＝0，所以x0＝p±． ··································4分
因为y0＝x02，所以kn＝＝＝x＋，
所以当x0＝p＋时，
kn＝(p＋)n＋()n＝(p＋)n＋(p－)n．····························6分
同理，当 x0＝p－时，kn＝(p＋)n＋(p－)n．
①当n＝2m(mN*)时， kn＝2Cpn－2k(p2－1)k，所以 kn为偶数．
②当n＝2m＋1(mN)时，kn＝2Cpn－2k(p2－1)k，所以 kn为偶数．
综上， kn为偶数． ·····················10分