北京师范大学亚太实验学校2020-2021学年第一学期高三期中数学试卷含答案
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高三数学
试卷说明: 本次考试满分150分,考试时间120分钟
第一部分（选择题 共40分）
一、 选择题:本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则 ( )
（A） （B）
（C） （D）
2．已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是( )
（A）(-∞, -1] （B）[1, +∞） （C）[-1，1] （D）（-∞，-1] ∪[1，+∞）
3. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 ( )
（A） （B）y= （C） （D）
4. 已知函数在区间上单调递增，那么区间可以是 ( )
（A） （B） （C） （D）
5. 命题””的否定为 ( )
（A） （B）
（C） （D）
66．已知函数，则 ( )
（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数
（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数
7．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．
A. B. C. D.
8．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是( )
A． B． C． D．
9．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
10．已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二.填空题:本大题共5小题,每题5分,共25分，答案写在横线上.
11. ，，三个数中最大数的是 ．
12．函数的定义域是_____________________．
13．已知{}是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，，
则公比____，____．
14．已知向量，，若，则___________.
15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
三.解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=2AD,底面ABCD为正方形，M、N分别为AD、PD的中点。
（1）求证：
（2） 求直线PB与平面MNC所成角的正弦值
17. （本小题满分14分）
已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.
18.（本小题14分）
在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，
求：（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19.（本小题14分）
已知{}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足是否存在正整数k,使得若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由。
从（1）q=2 , (2) (3) q=-2 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
20．（本小题14分）
已知函数f（x）=（x+1）2﹣3alnx，a∈R．
（1）求函数f（x）图象经过的定点坐标；
（2）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x）单调区间；
（3）若对任意x∈[1，e]，f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．
21. （本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
2020-2021学年北京师范大学亚太实验学校高三数学参考答案
一、 选择：1A 2,C 3,A 4,D 5,A,6,A,7,D,8,C.9,C,10,D
二、填空
11， 12， （-1，1） 13，
14， -5 15，130，15
三、解答题
16
解：（Ⅰ）因为分别为的中点，
所以． …………… 2分 又因为平面， …………… 3分
所以平面． …………… 5分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．设，
则，，，，
，，
……………… 7分
，．
设平面的法向量为，则
即 ……………… 10分
令，则，．所以． ……………… 12分
设直线与平面所成角为，
所以． ……………… 14分
17
【解析】
，
所以的最小正周期为. ……..6分
（2）由（1）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.
所以，即. …….12分
所以的最小值为. …….14分
18．
【详解】选择条件①（Ⅰ）
…….6分
（Ⅱ）
由正弦定理得：
……..10分
选择条件②（Ⅰ）
正弦定理得：
（Ⅱ）
…….14分
19．解1：选择①
因为，所以． ……………… 4分
所以
公式给3分 ………………9分
令， 即． ……………… 12分
所以使得的正整数的最小值为． ……………… 14分
解2：选择②
因为，所以． ……………… 4分
． ……………… 9分
因为， ……………… 12分
所以不存在满足条件的正整数. ……………… 14分
解3：选择③
因为，所以． ……………… 4分
所以． ……………… 9分
令, 即，整理得． ……………… 12分
当为偶数时，原不等式无解；
当为奇数时，原不等式等价于，
所以使得的正整数的最小值为． ……………… 14分
20．解：（1）当x=1时，ln1=0，所以f（1）=4，
所以函数f（x）的图象无论a为何值都经过定点（1，4）。…….4分
（2）当a=1时，f（x）=（x+1）2﹣3lnx．f（1）=4，，f'（1）=1，
则切线方程为y﹣4=1×（x﹣1），即y=x+3． ……8分
在x∈（0，+∞）时，如果，
即时，函数f（x）单调递增；
如果，
即时，函数f（x）单调递减．,,,,,,,,10分
（3），x＞0．
当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增．f（x）min=f（1）=4，f（x）≤4不恒成立．
当a＞0时，设g（x）=2x2+2x﹣3a，x＞0．
∵g（x）的对称轴为，g（0）=﹣3a＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，且存在唯一x0∈（0，+∞），
使得g（x0）=0．
∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；
∴当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）在[1，e]上的最大值f（x）max=max{f（1），f（e）}．
∴，得（e+1）2﹣3a≤4，
解得．……..14分
21．解：（Ⅰ）由得．
令，即，得或．
又，，
所以曲线的斜率为1的切线方程是与，
即与．……6分
（Ⅱ）令．
由得．
令得或．
的情况如下：
|
|
|
| ||||
所以的最小值为，最大值为．
故，即． …….12分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当时，；
当时，；
当时，．
综上，当最小时，． …….15分。
