北京市第四中学2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

数 学 试 卷

（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 已知全集，集合，，则

A．                      B．

C．                    D．

2. 下列命题中的假命题是

A.                 B.    

C.                    D.

4. 已知是上的奇函数，当时,,则的解集是

A．          B．        C．   D．

5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则

6. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是

 A．   B．  C．     D．

7. 已知三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的

        A．充分而不必要条件                    B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                        D．既不充分也不必要条件 

8. 声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的

9. 函数，的大致图象是

A．                 B．                  C.                  D．

10. 已知函数 给出下列三个结论：

① 当时，函数的单调递减区间为；

② 若函数无最小值，则的取值范围为；

③ 若且，则，使得函数恰有3个零点,,，且.

其中，所有正确结论的个数是

A．0 B．1 C．2             D．3

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 函数的定义域是_________．

12. 已知，且. 则=_________，=_________．
13. 已知非零向量，满足，则与的夹角等于_________．

14. 圆与直线相切于点，则圆的半径为_________，直线的方程为_________．

15. 关于的方程的实根个数记为．

若，则=_________；

若，存在使得成立，则的取值范围是_________．

三、解答题（本大题共6小题，共85分）

16．（本小题满分14分）

在中，，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

17．（本小题满分14分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在上的最大值；

（Ⅲ）求证：存在唯一的，使得.

18．（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）从①，；②，这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，

求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期.

19．（本小题满分14分）

已知：函数．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值．

20．（本小题满分14分）

已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于，两点．

（Ⅰ）若，求直线的方程；

（Ⅱ）若与的面积相等，求直线的斜率．

21．（本小题满分15分）

对于集合，定义函数对于两个集合，，定义集合. 已知，.

（Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合；

（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；

（Ⅲ）有多少个集合对，满足，且？

参考答案

一、     选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将答案填涂在答题卡上

二、     填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

三、解答题（本大题共6小题，共85分）

16.解：（Ⅰ），∴由余弦定理，

∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；

（Ⅱ）在中，，，由正弦定理有：，∴，

∵，∴，∴C为锐角，∴，

∴ ．

17. 解：（Ⅰ）由，得 , 

    所以，又  

所以曲线在点处的切线方程为：，

即： .

（Ⅱ）令，得 .

    与在区间的情况如下：

因为                                    

所以函数在区间上的最大值为6. 

（Ⅲ）证明：设=，

则，

令，得.

与 随x的变化情况如下：

则的增区间为，，减区间为. 

又，，所以函数在没有零点，   

又，

所以函数在上有唯一零点.                     

综上，在上存在唯一的，使得.

18. 解：（Ⅰ）.                          

（Ⅱ）选择条件①.的一个周期为.                             

.                        

因为,所以.所以.所以.

当时，即时，在取得最小值.

选择条件②.的一个周期为.                           

.

因为,所以.

所以 当时，即时，在取得最小值.

19. 解： 

（Ⅰ）   

（Ⅱ）令，则，

当时，设，则

所以在单调递减，

即，所以

所以在上单调递减，所以，

所以．

（Ⅲ）原题等价于对恒成立，

即对恒成立，

令，则．

易知，即在单调递增，

所以，所以，            

故在单调递减，所以．  

综上所述，的最大值为 ．

20. 解：（Ⅰ）依题意，直线的斜率存在，

因为 直线过点，可设直线：．

因为 两点在圆上，所以 ，

因为 ，所以

所以      所以 到直线的距离等于．

所以 ，

 得，

所以  直线的方程为或．

（Ⅱ）（解法一）因为与的面积相等，所以，

设 ，，所以 ，．

所以   即　　（*）；

因为　，两点在圆上，

所以    把（*）代入，得  ，

所以    

所以  直线的斜率， 即．

（解法二）因为与的面积相等，所以，

设，，所以 ，．

所以 ，即　　①；

联立 　消去y得． 

由韦达定理知　　②         　　　③

由①②可知，，      ，

带入③得 ，       所以  ．

21. 解：（Ⅰ），，.   

（Ⅱ）根据题意可知：对于集合，①若且，则；②若且，则.

所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.

所以 当为{1,6,10,16}的子集与{2,4,8}的并集时，取到最小值4.  …8分

（Ⅲ）因为 ，

所以 .

由定义可知：.

所以 对任意元素，，

                   .

所以 .

所以 .

由 知：.

所以 .

所以 .

所以 ，即.

因为 ，

所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为.