福建省福州第一中学2021届高三上学期期中考试 数学 (含答案)

福州一中2020—2021学年第一学期半期考试卷

高三数学

（考试时间：120分钟   试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题  ，则为

A． B．

C． D．

 2．设复数满足，则

A．         B．           C．            D．

3．已知集合，，则
A．         B．           C．            D．

4．已知等差数列的公差为5，前项和为，且成等比数列，则

A．         B．           C．            D．

5．设函数若，则实数的取值范围是

A．     B．   

C．  D．

6．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈（如图）．问它的体积是多少? ”这个问题的答案是

A． 5立方丈          B． 6立方丈        

C． 7立方丈          D． 9立方丈

7．设，，，其中，则下列说法正确的是

A．         B．           C．            D．

8．已知函数（，为自然对数的底数），若与的值域相同，则的取值范围是

A．         B．           C．          D．或

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分

9．已知，下列说法正确的有

A．的最小正周期是    B．最大值为

C．的图象关于对称  D．的图象关于对称

10．已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为

A．         B．           C．          D．

11．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，以下结论正确的有

A．  

B．异面直线所成的角为定值

C．点到的距离为定值

D．三棱锥的体积是定值

12．在（）中，内角的对边分别为，的面积为，若，，，且，，则

A．一定是直角三角形         B．为递增数列          

C．有最大值                     D．有最小值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，且在上的投影为，则______．

14．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为______．

15．已知函数的图象关于直线对称，是的一个极大值点，是的一个极小值点，则的最小值为______．

16．三棱锥中，，，面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，        ？

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

18．（12分）

如图，在三棱柱中，，，，，是棱上一点．

（1）若分别是，的中点，求证：；

（2）若，求二面角的大小．

19．（12分）

已知等比数列的公比，满足：，且是的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为数列的前项和，求使成立的正整数的最小值．

20．（12分）

如图，在四棱锥中，平面，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）长为何值时，直线与平面所成角最大？并求此时该角的正弦值．

21．（12分）

一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成，米，如图所示．小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为．记，

（1）用表示小球从到所用的时间；

（2）当小球从到所用的时间最短时，求的值．

22．（12分）

已知函数是自然对数的底数,是的导函数．

（1）若，求证：在单调递增；

（2）证明：有唯一的极小值点（记为），且．

高三数学半期考参考答案

1-4 DBAC   5-8 CADA   9 BD   10 ABC   11 ACD   12 ABD

13．   14．  15．   16．

17．解：若选①：因为，所以

又因为，所以，即，

又因为，所以，所以．

由余弦定理得，即，

因为，所以，

所以，与矛盾，

所以满足条件的三角形不存在．

若选②：…………即，

又因为，所以，所以

故，即，

所以三角形周长．

若选③：…………即，

又因为，所以，

联立，解得，，

所以三角形周长．

18．证明：（1）连结A1B交AB1于P．           

因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以P是A1B的中点．

因为M，N分别是CC1，AB的中点，

所以NP // CM，且NP = CM，

所以四边形MCNP是平行四边形，   

所以CN//MP．                    

因为CN平面AB1M，MP平面AB1M，

所以CN //平面AB1M．             

（2）因为AC=BC=2，， 所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．

又因为CC1⊥平面ABC，

    以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．

    因为，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，，，

． 设平面的法向量，则

，．

即       

令，则，即．

又平面MB1C的一个法向量是，

所以．  

由图可知二面角A-MB1-C为锐角，

所以二面角A-MB1-C的大小为．

19．（1）∵是的等差中项，∴，

代入，可得，

∴，∴，解之得或，

∵，∴，∴数列的通项公式为

（2）∵，

∴，．．．．．．．．．．．．．．．①

，．．．．．．．．．．．．．②

②—①得

∵，∴，又因为，

所以，所以，

所以使成立的正整数的最小值为

20．解：（1）∵平面平面，∴，

又，

∴，∴，即（为与交点）．

又，∴平面

又因为，所以．

（2）解：如图，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间坐标系，如图，

设，则，

则，，，设平面法向量为，

则，即，取，得平面的一个法向量为，

所以，

因为，当且仅当时等号成立，

所以，记直线与平面所成角为，

则，故，

即时，直线与平面所成角最大，此时该角的正弦值为．

21．(1)A到E弧长为，，，所以

      ，所以，

（2），

记，且，则，

当时，，所以，单调递减，

当时，，所以，单调递增，

所以时，用时最短．

答：当时，小球从到所用的时间最短．

22．解（1），记，

则，，

因为，所以，所以在单调递增，

，

当时，，所以在单调递增，

（2）当时，在单调递增，又，，所以函数在有唯一的零点．

当时，，，故，使得，且

时，，单调递减，

时，，单调递增，

又，，所以函数在有唯一的零点．

综上所述，在有唯一的零点．

当时，，又有唯一的零点，记为，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以是唯一的极小值点，即且满足，

由单调性知，

另一方面，

记，则，

所以单调递减，

又因为，所以，

综上所述， ．