山东省潍坊市2021届高三上学期期中考试 数学(含答案)

2021届高三年级第一学期期中考试
数　　学
(满分150分，考试时间120分钟)
2020．11
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|－5 A. {x|－5 C. {x|－2≤x≤3} D. {x|3≤x<4}
2. “a>1”是“(a－1)(a－2)<0”的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知变量x，y之间的一组数据如下表．若y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋a，则a＝(　　)
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
A. 0.1 B. 0.2
C. 0.35 D. 0.45
4. 已知a，b为不同直线，α，β为不同平面，则下列结论正确的是(　　)
A. 若a⊥α，b⊥a，则b∥α B. 若a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
C. 若a∥α，b⊥β，a∥b，则α⊥β D. 若α∩β＝b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β
5. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有(　　)
A. 15种 B. 90种 C. 120种 D. 180种
6. 已知α∈(，π)，tan α＝－3，则sin(α－)等于(　　)
A. B. C. D.
7. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝P02－，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(　　)
A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天
8. 定义运算：① 对∀m∈R，m0＝0m＝m；
②对∀m，n，p∈R，(mn)p＝p(mn)＋mp＋np.
若f(x)＝ex－1e1－x，则有(　　)
A. 函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称 B. 函数f(x)在R上单调递增
C. 函数f(x)的最小值为2 D. f(2)＞f(2)
二、 多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9. 中国的华为公司是全球领先的ICT(信息与通信)基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界．其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌．为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图的折线图，则下列说法正确的是(　　)

A. 根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在[31，32]内
B. 根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势
C. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额极差比甲店小
D. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知，7，8，9月份的总营业额甲店比乙店少
10. 若非零实数x，y满足x>y，则下列判断正确的是(　　)
A. ＜ B. x3＞y3 C. ()x＞()y D. ln(x－y＋1)＞0
11. 已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x＝，则(　　)
A. φ＝
B. 函数y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
C. 函数f(x)在[0，]上的值域为[－1，]
D. 函数f(x)在区间[－π，－]上单调递减
12. 已知函数f(x)＝其中a∈R.下列关于函数f(x)的判断正确的是(　　)
A. 当a＝2时，f()＝4
B. 当|a|<1时，函数f(x)的值域为[－2，2]
C. 当a＝2且x∈[n－1，n](n∈N*)时，f(x)＝2n－1(2－4)
D. 当a>0时，不等式f(x)≤2ax－在[0，＋∞)上恒成立
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. (x2＋)5的展开式中x4的系数为________．
14. 若一直角三角形的面积为50，则该直角三角形的斜边的最小值为________．
15. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝________．


16. 已知菱形ABCD边长为3，∠BAD＝60°，点E为对角线AC上一点，AC＝6AE.将△ABD沿BD翻折到△A′BD的位置，E记为E′，且二面角A′BDC的大小为120°，则三棱锥A′BCD的外接球的半径为________；过E′作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为________．
四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，点E，F分别为棱CC1与A1B1的中点．
(1) 求证：直线EF∥平面A1BC；
(2) 若该正三棱柱的体积为2，求直线EF与平面ABC所成角的余弦值．




18. (本小题满分12分)
在① csin B＝bsin ，② cos B＝；③ bcos C＋csin B＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，点D是边AB上一点，AD＝5，CD＝7，且________，试判断AD和DB的大小关系．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x3－3x2＋3bx＋c在x＝0处取得极大值1.
(1) 求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线的方程；
(2) 若函数f(x)在[t，t＋2]上不单调，求实数t的取值范围．













20.(本小题满分12分)
在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD∥AB，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，侧面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝2.
(1) 求证：BD⊥PA；
(2) 已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角PDCN的余弦值为？若存在，请确定点N位置；若不存在，请说明理由．

21. (本小题满分12分)
2020年10月16日是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为m(m∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表：

质量指标值m
[70，75)
[75，80)
[80，85)
[85，90)
[90，100]
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：
(1) 若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
(2) 若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95)的件数X的分布列及数学期望；
(3) 若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表(1＜t＜4)：

质量指标值m
[70，75)
[75，80)
[80，85)
[85，90)
[90，100]
利润y(元)
6t
8t
4t
2t
－et
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)．






22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝xex－a(ln x＋x)．
(1) 当a＞0时，求f(x)的最小值；
(2) 若对任意x＞0恒有不等式f(x)≥1成立．
①求实数a的值；
②求证：x2ex＞(x＋2)ln x＋2sin x.




2021届高三年级第一学期期中考试(潍坊)
数学参考答案及评分标准

1. C　2. B　3. C　4. C　5. B　6. B　7. D　8. A　9. ABD　10. BD　11. BC　12. ACD
13. 40　14. 10　15. 1　16. 　π(第一空2分，第二空3分)

17. (1) 证明：取BB1中点D，连接ED，FD，(1分)
在平行四边形BCC1B1中，点E为CC1的中点，点D为BB1的中点，
所以ED∥CB.
在△B1BA1中，点F为A1B1的中点，点D为BB1的中点，
所以FD∥A1B.(3分)
又ED，FD⊂平面EFD，ED∩FD＝D，所以平面EFD∥平面A1BC.
又EF⊂平面EFD，所以EF∥平面A1BC.(5分)
(2) 解：设AA1＝h，VABCA1B1C1＝S△ABC·h＝×4h，
所以h＝2，即h＝2.(6分)
因为平面ABC∥平面A1B1C1，
所以EF与平面ABC所成的角即为EF与平面A1B1C1所成的角．
因为CC1⊥平面A1B1C1，
所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F，
所以∠EFC1为EF与平面A1B1C1所成的角．(8分)
因为EC1＝，FC1＝，所以EF＝，
所以cos∠EFC1＝＝，即EF与平面ABC所成角的余弦值为.(10分)
18. 解：设AC＝x，在△ACD中，由余弦定理可得49＝x2＋25－2·x·5·cos ，(2分)
即x2－5x－24＝0，解得x＝8或x＝－3(舍去)，所以AC＝8.(3分)
选择条件①：
由正弦定理得sin Csin B＝sin Bsin .(4分)
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin C＝sin .(5分)
因为A＋B＝π－C，所以sin C＝2sin cos ＝cos .(6分)
因为C∈(0，π)，所以∈(0，)，所以cos ≠0，
所以sin ＝，即＝，C＝.(10分)
又A＝，所以△ABC是等边三角形，所以AB＝8，(11分)
所以DB＝3，故AD＞DB.(12分)
选择条件②：
由cos B＝，得sin B＝.(5分)
因为A＋B＋C＝π，
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.(8分)
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，(10分)
解得AB＝10.(11分)
又AD＝5，故AD＝DB.(12分)
选择条件③：
因为bcos C＋csin B＝a，由正弦定理得sin Bcos C＋sin Csin B＝sin A．(4分)
因为A＋B＋C＝π，所以sin Bcos C＋sin Csin B＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B，
所以sin Csin B＝sin Ccos B.
因为sin C≠0，所以sin B＝cos B．(7分)
因为B∈(0，π)，故B＝，
所以∠ACB＝.(8分)
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，(10分)
解得AB＝4(＋1)＞10.(11分)
因为AD＝5，所以AD＜DB.(12分)
19. 解：(1) 因为f′(x)＝3x2－6x＋3b，(1分)
由题意可得解得b＝0，c＝1，(3分)
所以f(x)＝x3－3x2＋1；
经检验，适合题意．
又f(1)＝－1，f′(1)＝－3，(5分)
所以函数y＝f(x)图象在x＝1处的切线的方程为y－(－1)＝－3(x－1)，
即3x＋y－2＝0.(6分)
(2) 因为f′(x)＝3x2－6x，
令3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.(8分)
当x＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数；
当0＜x＜2时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数；
当x＞2时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数．(9分)
因为函数f(x)在[t，t＋2]上不单调，
所以t＜0＜t＋2或t＜2＜t＋2，(11分)
所以－2＜t＜0或0＜t＜2.(12分)
20. (1) 证明：连接BD，BD＝＝2，AD＝2，
所以BD2＋AD2＝AB2，所以AD⊥BD.(2分)
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD.
因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.(4分)

(2) 解：延长AD，BC相交于点M，连接PM，
因为M∈平面PAD，M∈平面PBC，所以M∈l.
又P∈l，所以PM即为交线l.(5分)
取AB中点Q，连DQ，则DQ⊥DC，
过D在平面PAD内作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD.
分别以DQ，DC，DH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，(6分)
则P(1，－1，)，C(0，2，0)，M(－2，2，0)，D(0，0，0)，
所以＝(1，－1，)，＝(0，2，0)．
设平面PDC的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，
所以取m＝(－，0，1)．(8分)
设N(x1，y1，z1)，＝λ，
则(x1－1，y1＋1，z1－)＝λ(－3，3，－2)，
所以x1＝1－3λ，y1＝－1＋3λ，z1＝－λ，
＝(1－3λ，－1＋3λ，－λ)，＝(0，－2，0)．
设平面NDC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则n·＝0，n·＝0，
所以取n＝(－λ，0，3λ－1)，(10分)
所以|cos〈m，n〉|＝＝，
所以8λ2－10λ＋3＝0，
所以λ＝或λ＝，经检验λ＝时，不合题意，舍去．
所以存在点N，点N为PM的中点．(12分)
21. 解：(1) 设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图，可得1件产品为废品的概率为P＝(0.04＋0.02)×5＝0.3，则P(A)＝1－C(0.3)3＝1－0.027＝0.973.(2分)
(2) 由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
m∈[85，90)的频率为0.08×5＝0.4；
m∈[90，95)的频率为0.04×5＝0.2；
m∈[95，100]的频率为0.02×5＝0.1.
故利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85，90)的有4件，m∈[90，95)的有2件，m∈[95，100]的有1件．(4分)
从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90，95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为

X
0
1
2
P



(7分)
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(8分)
(3) 由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y(元)的关系如下表所示(1＜t＜4)：

质量指标值m
[70，75)
[75，80)
[80，85)
[85，90)
[90，100]
利润y
6t
8t
4t
2t
－et
P
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
故每件产品的利润y＝0.3t＋0.8t＋0.6t＋0.8t－0.5et＝2.5t－0.5et(1＜t＜4)．(10分)
则y′＝2.5－0.5et，令y′＝2.5－0.5et＝0，得t＝ln 5，
故当t∈(1，ln 5)时，y′＞0，函数y＝2.5t－0.5et单调递增；
当t∈(ln 5，4)时，y′＜0，函数y＝2.5t－0.5et单调递减．
所以当t＝ln 5时，y取得最大值，为2.5×ln 5－0.5eln 5＝1.5.
所以生产该产品能够盈利，当t＝ln 5≈1.6时，每件产品的利润取得最大值1.5元．(12分)
22. (1) 解：(解法1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．(1分)
由题意f′(x)＝(x＋1)(ex－)＝(x＋1)，
令xex－a＝0，得a＝xex，
令g(x)＝xex，g′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex＞0，
所以g(x)在x∈(0，＋∞)上为增函数，且g(0)＝0，
所以a＝xex有唯一实根，即f′(x)＝0有唯一实根，设为x0，即a＝x0ex0，(3分)
所以f(x)在(0，x0)上为减函数，在(x0，＋∞)上为增函数，
所以f(x)min＝f(x0)＝x0ex0－a(ln x0＋x0)＝a－aln a．(5分)
(解法2)f(x)＝xex－a(ln x＋x)＝eln x＋x－a(ln x＋x)(x＞0)．
设t＝ln x＋x，则t∈R.
记φ(t)＝et－at(t∈R)，故f(x)最小值即为φ(t)最小值．(3分)
φ′(t)＝et－a(a＞0)，
当t∈(－∞，ln a)时，φ′(t)＜0，φ(t)单调递减，
当t∈(ln a，＋∞)时，φ′(t)＞0，φ(t)单调递增，
所以f(x)min＝φ(ln a)＝eln a－aln a＝a－aln a，
所以f(x)的最小值为a－aln a．(5分)
(2) ①解：当a≤0时，f(x)单调递增，f(x)值域为R，不适合题意；(6分)
当a＞0时，由(1)可知f(x)min＝a－aln a.
设φ(a)＝a－aln a(a＞0)，所以φ′(a)＝－ln a，
当a∈(0，1)时，φ′(a)＞0，φ(a)单调递增，
当a∈(1，＋∞)时，φ′(a)＜0，φ(a)单调递减，
所以φ(a)max＝φ(1)＝1，即a－aln a≤1.(7分)
由已知f(x)≥1恒成立，所以a－aln a≥1，
所以a－aln a＝1，
所以a＝1.(8分)
②证明：由①可知xex－ln x－x≥1，因此只需证x2＋x＞2ln x＋2sin x.
因为ln x≤x－1，只需证x2＋x＞2x－2＋2sin x，即x2－x＋2＞2sin x．(10分)
当x＞1时，x2－x＋2＞2≥2sin x，结论成立；
当x∈(0，1]时，设g(x)＝x2－x＋2－2sin x，
g′(x)＝2x－1－2cos x，
当x∈(0，1]时，g′(x)显然单调递增．
g′(x)≤g′(1)＝1－2cos 1＜0，故g(x)单调递减，
g(x)≥g(1)＝2－2sin 1＞0，即x2－x＋2＞2sin x.
综上，结论成立．(12分)