2021年中考数学专题训练：《数与式》解答题专项培优训练（一）

2021年中考数学专题训练：

《数与式》解答题专项培优（一）

1．如果a，b，c是三个任意的整数，那么在，，这三个数中至少会有几个整数？请利用整数的奇偶性简单说明理由．

2．将有理数1，﹣2，0按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来．

3．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数﹣“纯数”．

定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，

例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；

23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．

（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；

（2）求出不大于100的“纯数”的个数．

4．计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式＝6+6＝﹣12+18＝6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．

5．有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．

（1）计算：1+2﹣6﹣9；

（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；

（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．

6．计算：﹣（﹣2016）0+|﹣3|﹣4cos45°．

7．已知实数x，y满足|x﹣5|+＝0，求代数式（x+y）2006的值．

8．如图，数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x，求（x﹣）0+x的值．

9． 1、写出一个比0小的实数：　   　；

2、如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝50°，则∠2＝　   　度．

10．计算：（﹣）﹣1++2cos60°﹣（π﹣1）0．

11．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．

（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；

（2）m＝7，n＝4，求拼成矩形的面积．

12．当a＝3，b＝﹣1时，求下列代数式的值．

（1）（a+b）（a﹣b）；

（2）a2+2ab+b2．

13．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：

设S＝1+2+22+…+22017+22018①

则2S＝2+22+…+22018+22019②

②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1

∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1

请仿照小明的方法解决以下问题：

（1）1+2+22+…+29＝　   　；

（2）3+32+…+310＝　   　；

（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．

14．问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到　   　个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　   　种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到　   　个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　   　种不同的放置方法．

……

问题解决：

把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）

问题拓展：

如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到　   　个图⑦这样的几何体．

15．嘉淇准备完成题目：发现系数“”印刷不清楚．

（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；

（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？

16．先化简，再求值：2x+7+3x﹣2，其中x＝2．

17．阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：

设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an

∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）

又∵m+n＝logaM+logaN

∴loga（M•N）＝logaM+logaN

解决以下问题：

（1）将指数43＝64转化为对数式　   　；

（2）证明loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）

（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34＝　   　．

18．化简：（a+b）2﹣b（2a+b）．

19．（1）计算：﹣+|﹣2|；

（2）化简：（a+3）（a﹣2）﹣a（a﹣1）．

20．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；

…

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）4展开式共有　   　项，系数分别为　   　；

（2）（a+b）n展开式共有　   　项，系数和为　   　．

21．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，

对于方案一，小明是这样验证的：

a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

方案二：

方案三：

22．（1）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2；

（2）解不等式：x﹣1≥+3．

23．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．

（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．

24．计算；

（1）﹣|﹣3|+（﹣4）×2﹣1；

（2）（x+1）2+x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1）

25．先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．

参考答案

1．解：至少会有一个整数．

根据整数的奇偶性：

两个整数相加除以2可以判定三种情况：奇数+偶数＝奇数，如果除以2，不等于整数．

奇数+奇数＝偶数，如果除以2，等于整数．

偶数+偶数＝偶数，如果除以2，等于整数．

故讨论a，b，c 的四种情况：

全是奇数：则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2 全是整数

全是偶数：则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2 全是整数

一奇两偶：则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2 一个整数

一偶两奇：则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2 一个整数

∴综上所述，所以至少会有一个整数．

2．解：∵负数＜0＜正数，

∴﹣2＜0＜1．

3．解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，

理由：当n＝2019时，n+1＝2020，n+2＝2021，

∵个位是9+0+1＝10，需要进位，

∴2019不是“纯数”；

当n＝2020时，n+1＝2021，n+2＝2022，

∵个位是0+1+2＝3，不需要进位，十位是2+2+2＝6，不需要进位，百位为0+0+0＝0，不需要进位，千位为2+2+2＝6，不需要进位，

∴2020是“纯数”；

（2）由题意可得，

连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位，

当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个，

当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个，

当这个数是三位自然数时，只能是100，

由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3+9+1＝13，

即不大于100的“纯数”的有13个．

4．解：方方的计算过程不正确，

正确的计算过程是：

原式＝6÷（﹣+）

＝6÷（﹣）

＝6×（﹣6）

＝﹣36．

5．解：（1）1+2﹣6﹣9

＝3﹣6﹣9

＝﹣3﹣9

＝﹣12；

（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，

∴1××6□9＝﹣6，

∴3□9＝﹣6，

∴□内的符号是“﹣”；

（3）这个最小数是﹣20，

理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，

∴1□2□6的结果是负数即可，

∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，

∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，

∴这个最小数是﹣20．

6．解：原式＝2﹣1+3﹣4×＝2．

7．解：依题意得：，

解得：，

当x＝5，y＝﹣4时，（x+y）2006＝（5﹣4）2006＝1．

8．解：∵点A表示的数是，且点B与点A关于原点对称，

∴点B表示的数是，即x＝﹣，

则（x﹣）0+x＝（﹣﹣）0+×（﹣）＝1﹣2＝﹣1．

9．解：（1）如：﹣1，﹣2等．（答案不唯一）；

（2）∵直线AB、CD相交于点O，∠1＝50°，

∴∠1＝∠2＝50°．

故结果为：（1）﹣2；（2）50．

10．解：原式＝

＝0，

故答案为：0．

11．解：（1）矩形的长为：m+n，

矩形的宽为：m﹣n，

矩形的周长为：4m；

（2）矩形的面积为（m+n）（m﹣n），

把m＝7，n＝4代入（m+n）（m﹣n）＝11×3＝33．

12．解：（1）当a＝3，b＝﹣1时，原式＝2×4＝8；

（2）当a＝3，b＝﹣1时，原式＝（a+b）2＝22＝4．

13．解：（1）设S＝1+2+22+…+29①

则2S＝2+22+…+210②

②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1

∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；

故答案为：210﹣1

（2）设S＝3+32+33+34+…+310 ①，

则3S＝32+33+34+35+…+311   ②，

②﹣①得2S＝311﹣3，

所以S＝，

即3+32+33+34+…+310＝；

故答案为：；

（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，

则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，

②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，

a＝1时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1；

a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S＝，

即1+a+a2+a3+a4+..+an＝，

14．解：探究三：

根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的 2×2方格，

根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法；

故答案为a﹣1，4a﹣4；

探究四：

与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，

同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，

所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，

根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．

故答案为2a﹣2，8a﹣8；

问题解决：

在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，

依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法；

问题拓展：

发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，

这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，

所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，

再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，

所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体；

故答案为8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．

15．解：（1）（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）

＝3x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2

＝﹣2x2+6；

（2）设“”是a，

则原式＝（ax2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）

＝ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2

＝（a﹣5）x2+6，

∵标准答案的结果是常数，

∴a﹣5＝0，

解得：a＝5．

16．解：原式＝5x+5，

当x＝2时，原式＝5×2+5＝15．

17．解：（1）由题意可得，指数式43＝64写成对数式为：3＝log464，

故答案为：3＝log464；

（2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，

∴＝＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝loga，

又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，

∴loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；

（3）log32+log36﹣log34，

＝log3（2×6÷4），

＝log33，

＝1，

故答案为：1．

18．解：原式＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2

＝a2．

19．解：（1）原式＝2﹣2+2﹣＝；

（2）原式＝a2﹣2a+3a﹣6﹣a2+a

＝2a﹣6．

20．解：（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，

各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

（2）当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n．

故答案为：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2n．

21．解：由题意可得，

方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，

方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．

22．解：（1）原式＝a2﹣1﹣a2+4a﹣4＝4a﹣5；

（2）去分母得：2x﹣2≥x﹣2+6，

移项合并得：x≥6．

23．解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，

∴S1＝a2﹣b2．

S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；

（2）根据题意得：

（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．

24．解：（1）原式＝4﹣3﹣4×＝4﹣3﹣2＝﹣1；

（2）原式＝x2+2x+1+x2﹣2x﹣x2+1＝x2+2．

25．解：（x+1）2﹣x（x+1）

＝x2+2x+1﹣x2﹣x

＝x+1，

当x＝2时，原式＝2+1＝3．