2021年中考一轮复习数学考点综合专题-【圆】解答题考点专项拓展训练（一）

2021中考数学考点综合复习专题

1．如图，以P（0，3）为圆心，6为半径的⊙P交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，连接BP并延长交⊙P于点E，连接DE交x轴于点F．

（1）求∠CDE的度数；

（2）求△BEF的面积．

2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．

（1）求证：BE与⊙O相切；

（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝，求阴影部分的面积．

3．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，AC是⊙O的切线，C为切点．AD＝CD．

（1）求证：AC＝BC；

（2）若⊙O的半径为1，求△ABC的面积．

4．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．

（1）求证：△BFG≌△DCG；

（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长．

5．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若tan∠ACB＝，BC＝3，求阴影部分的面积．

6．如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长．

7．如图，⊙O半径是5，弦AB垂直平分半径OC，点P是OC延长线上一点，且PA与⊙O相切于点A．

（1）弦AB所对的圆周角等于　   　度；

（2）求PA的长；

（3）求阴影部分面积．

8．如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．

（1）求证：DC与⊙O相切；

（2）若⊙O半径为4，，求AC的长．

9．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，且E是OB的中点，连接CO并延长交AD于点F．

（1）求证：CF⊥AD；

（2）若AB＝12，求CD的长．

10．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝9，＝．求BE的长．

参考答案

1．解：（1）∵P（0，3），

∴OP＝3，

∵⊙P的半径是6，

∴PB＝6，

∴OP＝PB，

∵x轴⊥y轴，

∴∠POB＝90°，

∴∠PBO＝30°，

∴∠BPO＝90°﹣30°＝60°，

∵PE＝PD，∠E+∠CDE＝∠BPO，

∴∠CDE＝∠E＝60°＝30°；

（2）过P作PM⊥DE于M，则∠PME＝90°，

∵⊙P的半径是6，

∴PE＝PD＝6，PM⊥DE，

∴DM＝ME，

∵∠E＝30°，

∴PM＝PE＝6＝3，

由勾股定理得：DM＝EM＝＝3，

∴DE＝EM+DM＝6，

∴△BEF的面积是＝6×3＝9．

2．解：（1）证明：连接OC，如图，

∵OD⊥BC，

∴CD＝BD，

∴OE为BC的垂直平分线，

∴EB＝EC，

∴∠EBC＝∠ECB．

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OBC+∠EBC＝∠OCB+∠ECB，

即：∠OBE＝∠OCE，

∵CE为⊙O的切线，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE＝90°．

∴∠OBE＝90°，

∴OB⊥BE．

∵OB是⊙O的半径，

∴BE与⊙O相切．

（2）解：设⊙O的半径为R，则OD＝R﹣DF＝R﹣2，OB＝R，．

在Rt△OBD中，

∵OD2 +BD2 ＝OB2，

∴（R﹣2）2 +（2）2 ＝R2，

解得R＝4．

∴OD＝2，OB＝4，

∴∠OBD＝30°，

∴∠BOD＝60°，∠BOC＝120°．

∵OB＝4，∠BOE＝60°，

在Rt△OBE中，，

∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC

＝2×﹣

＝16﹣．

3．（1）证明：连接OC，

∵AC为切线，C为切点，

∴∠ACO＝90°，

即∠DCO+∠2＝90°，

又∵BD是直径，

∴∠BCD＝90°，

即∠DCO+∠1＝90°，

∴∠1＝∠2，

∵AD＝CD，OB＝OC，

∴∠A＝∠2∠B＝∠1，

∴∠A＝∠B，

∴AC＝BC；

（2）解：由题意可得△DCO是等腰三角形，

∵∠CDO＝∠A+∠2，∠DOC＝∠B+∠1，

∴∠CDO＝∠DOC，即△DCO是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠1＝∠2＝30°，CD＝AD＝1，

∴BC＝＝＝，

在Rt△BCD中，作CE⊥AB于点E，

在Rt△BEC中，∠B＝30°，

∴CE＝，BE＝，

∴S△ABC＝＝．

4．解：（1）∵D是的中点，

∴＝，

∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，

∴＝，

∴＝，

∴BF＝CD，

又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，

∴△BFG≌△DCG（AAS）；

（2）如图，连接OD交BC于点M，

∵D为的中点，

∴OD⊥BC，

∴BM＝CM，

∵OA＝OB，

∴OM是△ABC的中位线，

∴OM＝AC＝5，

∵＝，

∴＝，

∴OE＝OM＝5，

∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，

∴EF＝DE＝＝12，

∴BF＝＝＝4；

5．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠BCA＝∠DAC，

又∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠DAC＝∠DCE；

连接OE，

则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE，

∵∠DCE+∠DEC＝90°，

∴∠AEO+∠DEC＝90°，

∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE，

又OE是⊙O的半径，

∴直线CE与⊙O相切；

（2）∵tan∠ACB＝，

∴∠ACB＝30°，

∵BC＝3，

∴AB＝，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝30°，

∵OA＝OE，

∴∠AEO＝∠EAO＝30°，

∴∠COE＝60°，

∵∠OEC＝90°，

∴∠ECO＝30°，

∴∠DCE＝30°，

∵CD＝AB＝，

∴DE＝CD＝1，

∴CE＝2DE＝2，

∴OE＝CE＝，

∴阴影部分的面积＝S△CEO﹣S扇形EOF＝××2﹣＝﹣．

6．（1）证明：连接OB、OD，如图1所示：

∵AB＝DB，AO＝DO，BO＝BO，

∴△ABO≌△DBO（SSS），

∴∠ABO＝∠DBO，

∵OA＝OB，∠BDC＝∠BAC，

∴∠ABO＝∠BAC＝∠BDC，

∴∠DBO＝∠BDC，

∴OB∥DE，

∵BE⊥DC，

∴BE⊥OB，

∴BE是⊙O的切线；

 （2）解：延长BO交AD于点F，如图2所示：

由（1）可知，∠ABO＝∠DBO，

∵AB＝BD，

∴BF⊥AD，AF＝DF＝AD＝3，

∵∠BAF＝∠BCE，∠AFB＝∠E＝90°，BE＝2CE，

∴△ABF∽△CBE，

∴＝＝2，

∴BF＝2AF＝6，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB＝＝＝3，

∴BD＝AB＝3．

7．解：（1）连接OA，OB，AC，

∵弦AB垂直平分半径OC，

∴OA＝AC，

∵OA＝OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠AOC＝60°，

∵AB⊥OC，OA＝OB，

∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，

∴弦AB所对的圆周角等于60°或120°，

故答案为：60或120；

 （2）∵PA与⊙O相切于点A，

∴∠OAP＝90°，

∵∠AOP＝60°，

∴∠APO＝30°，

∵OA＝5，

∴OP＝10，

∴AP＝＝＝5；

（3）∵AH⊥OP，

∴AH＝＝＝，

∵AB⊥OC，

∴AB＝2AH＝5，OH＝，

∴阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣5×＝﹣．

8．（1）证明：连接OC，如图1所示：

∵DE⊥OA，

∴∠HED＝90°，

∴∠H+∠D＝90°，

∵∠BOC＝2∠A，∠D＝2∠A，

∴∠BOC＝∠D，

∴∠H+∠BOC＝90°，

∴∠OCH＝90°，

∴DC⊥OC，

∴DC与⊙O相切；

（2）解：作AG⊥CD于G，如图2所示：

则AG∥OC，

∵DC⊥OC，

∴∠OCH＝90°，

∵∠BOC＝∠D，OC＝4，

∴cos∠BOC＝＝，

∴OH＝OC＝5，

∴AH＝OA+OH＝4+5＝9，CH＝＝＝3，

∵AG∥OC，

∴△OCH∽△AGH，

∴＝＝＝，

∴AG＝OC＝，GH＝CH＝，

∴CG＝GH﹣CH＝﹣3＝，

∴AC＝＝＝．

9．（1）证明：连接BC，

∵AB⊥CD，E为OB的中点，

∴BC＝OC，

∴∠BCD＝∠OCE＝BCO，

∵OC＝OB，

∴OC＝BC＝OB，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠BOC＝∠BCO＝60°，

∴∠AOF＝∠BOC＝60°，∠BCD＝∠BAD＝30°，

∴∠AFO＝180°﹣∠AOF﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

∴CF⊥AD；

（2）解：∵AB＝12，

∴OB＝6，

∵E为OB的中点，

∴OE＝OB＝3，

在Rt△OCE中，CE＝＝＝3，

∵AB⊥CD，

∴CD＝2CE＝6．

10．（1）证明：连接OD，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠BDO，

∵∠CDA＝∠CBD，

∴∠CDA＝∠ODB，

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADO+∠ODB＝90°，

∴∠ADO+∠CDA＝90°，

即∠CDO＝90°，

∴OD⊥CD，

∵OD是⊙O半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，

∴△CDA∽△CBD，

∴＝，

∵＝，BC＝9，

∴CD＝6，

∵CE，BE是⊙O的切线，

∴BE＝DE，BE⊥BC，

∴BE2+BC2＝EC2，即BE2+92＝（6+BE）2，

  解得：BE＝．