高中人教B版 (2019)2.2.4 点到直线的距离教案及反思

点到直线的距离

【教学目标】

（1）让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；

（2）培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；

（3）引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验。

【教学重点】

点到直线距离公式及其应用。

【教学难点】

发现点到直线距离公式的推导方法。

【教学方法】

问题解决法、讨论法。

【教学准备】

计算机多媒体、实物投影仪。

【教学过程】

一、创设情景 提出问题

多媒体显示实际的例子：

某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题。离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？

经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0.

这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离。教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。

二、自主探索 推导公式

多媒体显示：已知点P(x0，y0)，直线：，求点P到直线的距离。

怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度。怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？

教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况。学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况。学生解决。

板书：

如何求？

学生思考回答下列想法：

思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得。

教师评价：此方法思路自然。

教师继续提出问题：

（1）求线段长度可以构造图形吗？　

（2）什么图形？如何构造？

（3）第三个顶点在什么位置？  　

（4）特殊情况与一般情况有联系吗？

学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中。第三个顶点在什么位置？可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N，或过P点做x，y轴的平行线与直线的交点R、S。

教师根据学生提出的方案，收集思路。思路二：在直角△PQM，或直角△PQN中，求边长与角（角与直线到直线角有关），用余弦值。

思路三：在直角△PQR，或直角△PQS中，求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况），用余弦值。

思路四：在直角△PRS中，求线段PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长。

学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程。

（思路一）解：直线：，即

由，

（思路四）解：设，，，

  ，；，

由，

而

说明：如果学生没有想到思路二、三，教师提示做课后思考作业题目。

教师提问：

①上式是由条件下得出，对成立吗？

②点P在直线上成立吗？

③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？

由此推导出点P(x0，y0)到直线：距离公式：

适用于任意点、任意直线。

教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？（在前面学习的向量知识中，有向量的模。由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识，且也提出过直线的法向量的概念。）能否用向量知识求解呢？

思路五：已知直线的法向量，则，，如何选取法向量？直线的方向向量，则法向量为，或，或其它。由师生一起分析得出取＝。

教师板演：

，

，由于点Q在直线上，所以满足直线方程，解得

教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点。而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法。

三、变式训练 学会应用

练习：

1．解决课堂提出的实际问题。（学生口答）

2．求点P0(－1，2)到下列直线的距离 ：

①3x=2    ②5y=3    ③2x＋y=10   ④y=－4x+1

练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式。

练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式。

教师强调：直线方程的一般形式。

例题：

3．求平行线2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距离。

教师提问：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？

学生回答：选其中一条直线上的点到另一条直线的距离。

师生共同分析：点所在直线的任意性、点的任意性。几何画板演示点和直线变化，选取点和直线。

学生自己练习，教师巡视。教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果。然后选择一种取任意点的方法进行板书。

解：在直线2x－7y－6=0上任取点P(x0，y0)，则2 x0－7 y0－6=0，点P(x0，y0)到直线2x－7y＋8=0的距离是。

教师评述：本例题选取课本例题，但解法较多。除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和。或者选取直线外的点P，求它到两条直线的距离，然后作差。

引申思考：与两平行线间距离公式。

四、学生小结 教师点评

①    知识：点到直线的距离的公式推导以及应用。

②    数学思想方法：类比、转化（或化归）、数形结合、特殊与一般的方法。

五、课外练习 巩固提高

①      课后习题；

②      总结写出点到直线距离公式的多种方法。

【教学设计】

一、教材分析

我主要从三方面：教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说明的。教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容。我确定教学目标的依据有教学大纲、考试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况。

二、教学方法和教学用具

1．教学方法的选择

（1）指导思想：“以生为本”的理念，在课堂中充分体现“教师为主导，学生为主体”。

（2）教学方法：问题解决法、讨论法。

2．教学用具的选用

采用了计算机多媒体和实物投影仪教具，不仅将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，而且迅速展示学生不同解题方案，部分纯计算的解题过程，提高课堂效率。

三、教学过程

这节课在：“创设情景 提出问题——自主探索 推导公式——变式训练 学会应用——学生小结 教师点评——课外练习 巩固提高”五个环节中，始终以学生为本。教师主导，学生自主探究，将问题解决。

首先多媒体显示实例，引发学生的学习的兴趣和求知欲望，从而引出数学问题。通过一系列问题引导学生通过图形观察，进而思考、分析、归纳总结选择较好的方法具体实施。学生分组练习，落实计算能力，培养合作学习能力。关于思路五，在课本中没有出现这样的证法，我在课堂上选取这样的证法。主要是考虑到：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点。而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法，这样思路五的给出不仅符合新教材的要求，也为今后的学习方法奠定了基础。

我选择练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式，主要通过学生口答完成。我强调注意在公式中直线方程的一般式。例题的选取来自课本，但是课本只有一种特殊点的解法。我把本例题进行挖掘，引导学生多角度考虑问题。在整个过程中让学生注意体会解题方法中的灵活性。本节课小结主要由学生总结和补充，教师点拨，尤其数学思想方法教师加以总结概括。在整节课的处理中，采取了知识、方法来源于课本，挖掘其深度、广度，符合现代教学要求。