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人教版 (2019)必修 第一册4 力的合成和分解学案
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这是一份人教版 (2019)必修 第一册4 力的合成和分解学案，共27页。学案主要包含了合力与分力，力的合成和分解，矢量和标量，橡皮条，实验步骤，数据处理，误差分析，注意事项等内容，欢迎下载使用。
第4节 力的合成和分解
学习目标
核心素养形成脉络
1.知道合力、分力以及力的合成、力的分解的概念．
2．理解平行四边形定则是一切矢量合成的普遍法则，会用平行四边形定则求合力，知道分力与合力间的大小关系．(重点)
3．知道共点力的概念，力的分解原则，会用作图法、计算法求合力．(难点)
4．知道力的三角形定则，会区别矢量和标量．(重点，难点)
5．会用正交分解法求分力．
6．会通过实验探究力的平行四边形定则.
一、合力与分力
1．共点力：作用在物体的同一点或者延长线交于一点的一组力．
2．当物体受到几个力的共同作用时，可以用一个力代替它们，这个力产生的效果跟原来几个力的共同效果相同，那么这个力就叫做那几个力的合力，原来的几个力叫做这个力的分力．
二、力的合成和分解
1．力的合成定义：求几个力的合力的过程．
2．平行四边形定则：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向．
3．多力合成的方法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力．
4．分解法则：遵循平行四边形定则．把一个已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F的两个分力F1和F2.
5．力的分解依据
一个力可以分解为两个力，如果没有限制，一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力．
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小，又有方向，合成时遵守平行四边形定则或矢量三角形定则的物理量．
2．标量：只有大小，没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量．
思维辨析
(1)合力及其分力可以同时作用在物体上． ( )
(2)几个力的共同作用效果可以用一个力来代替．( )
(3)两个力的合力一定比其分力大．( )
(4)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则．( )
(5)既有大小又有方向的物理量一定是矢量．( )
(6)对物体受力分析时，只能画该物体受到的力，其他物体受到的力不能画在该物体上．( )
提示：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√
基础理解
(1)某同学在单杠上做引体向上，在图中的四个选项中双臂用力最小的是( )
提示：选B.根据两个分力大小一定时，夹角增大，合力减小可知：双臂拉力的合力一定(等于同学自身的重力)，双臂的夹角越大，所需拉力越大，故双臂平行时，双臂的拉力最小，各等于重力的一半，故B正确．
(2)(多选)如图所示是李强同学设计的一个小实验，他将细绳的一端系在手指上，细绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”．在杆的A端悬挂不同的重物，并保持静止．通过实验会感受到 ( )
A．细绳是被拉伸的，杆是被压缩的
B．杆对手掌施加的作用力的方向沿杆由C指向A
C．细绳对手指施加的作用力的方向沿细绳由B指向A
D．所挂重物质量越大，细绳和杆对手的作用力也越大
提示：选ACD.重物所受重力的作用效果有两个，一是拉紧细绳，二是使杆压紧手掌，所以重力可分解为沿细绳方向的力F1和垂直于掌心方向的力F2，如图所示，由三角函数得F1＝，F2＝Gtan θ，故选项A、C、D正确．
合力与分力
问题导引
如图所示，一个成年人或两个孩子均能提起相同质量的一桶水，那么该成年人用的力与两个孩子用的力作用效果是否相同？二者能否等效替换？
要点提示 效果相同，能等效替换．
【核心深化】
1．合力与分力的“三性”
2．合力与分力的大小关系
两个力
共线
(1)最大值：当两个力同向时，合力F最大，Fmax＝F1＋F2，合力与分力方向相同
(2)最小值：当两个力反向时，合力F最小，Fmin＝|F1－F2|，合力与分力中较大的力方向相同
两分力成某一角度θ
合力大小的范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.夹角θ越大，合力就越小
合力可以大于等于两分力中的任何一个力，也可以小于两分力中的任何一个力
3.求共点力合力的常用方法
(1)作图法：作图法就是用作图工具根据平行四边形定则作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
(2)计算法
①两分力共线时
F1与F2方向相同
合力大小F＝F1＋F2，方向与F1和F2的方向相同
F1与F2方向相反
合力大小F＝|F1－F2|，方向与F1和F2中较大的方向相同
②两分力不共线时：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力．以下为求合力的两种常见的特殊情况：
类型
作图
合力的计算
两分力
相互
垂直
大小：F＝
方向：tan θ＝
两分力
等大，夹
角为θ
大小：F＝2F1cos
方向：F与F1夹角为
(当θ＝120°时，F1＝F2＝F)
两分力
分别为
F1、F2，
夹角为θ
根据余弦定理，合力大小
F＝
根据正弦定理，合力方向与F1方向的夹角正弦值为sin α＝
关键能力1 对合力与分力等效关系的理解
(多选)(2019·南昌高一检测)关于几个力与其合力的说法中，正确的有( )
A．合力的作用效果跟原来几个力共同作用产生的效果相同
B．合力与原来那几个力同时作用在物体上
C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用
D．不同性质的力不可以合成
[解析] 由合力和分力的定义可知，A正确；合力和它的分力是等效替代关系，而不是物体同时受到合力和分力，它们不能同时存在，B错误，C正确；力能否合成与力的性质无关，D错误．
[答案] AC
关键能力2 合力与分力的大小关系
(2019·工农校级期末)在力的合成中，下列关于两个分力与它们的合力关系的说法中，正确的是( )
A．合力一定大于每一个分力
B．合力一定小于每一个分力
C．两个分力大小不变，夹角在0°～180°之间变化时，夹角越大合力越小
D．两个分力大小不变，夹角在0°～180°之间变化时，夹角越大合力越大
[解析] 当两个力方向相同时，合力等于两分力之和，合力大于每一个分力；当两个分力方向相反时，合力等于两个分力之差，合力小于分力，由此可见：合力可能大于分力，也有可能小于分力，故A、B错误；当夹角0°＜θ＜180°时，由公式F＝可知随着θ增大而减小，故C正确，D错误．
[答案] C
关键能力3 合力范围的确定
(1)(2019·宜昌高一检测)大小分别是30 N和25 N的两个力，同时作用在一个物体上，对于合力F大小的估计最恰当的是( )
A．F＝55 N B．25 N≤F≤30 N
C．25 N≤F≤55 N D．5 N≤F≤55 N
(2)三个共点力F1＝5 N、F2＝8 N、F3＝10 N作用在同一个质点上，其合力大小范围正确的是( )
A．0≤F≤23 N B．3 N≤F≤23 N
C．7 N≤F≤23 N D．13 N≤F≤23 N
[解析] (1)若两个分力的大小为F1和F2，在它们的夹角不确定的情况下，合力F的大小范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以5 N≤F≤55 N，D正确．
(2)先确定F1、F2的合力范围：3 N≤F12≤13 N，当F12取10 N时，使其与F3反向，则三力合力为0，当F12取13 N时，使其与F3同向，则三力合力最大为23 N，故0≤F≤23 N，A正确．
[答案] (1)D (2)A
关键能力4 平行四边形定则在求合力中的应用
(2019·南昌校级期中)南昌八一大桥是江西省第一座斜拉索桥，全长3 000多米，设计为双独塔双索面扇形预应力斜拉桥，如图所示．挺拔高耸的103米主塔似一把利剑直刺苍穹，塔两侧的多对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲．假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是53°，每根钢索中的拉力都是5×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？(已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
[解析] 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力．由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下；根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直OC，且AD＝DB、OD＝OC；考虑直角三角形AOD，其角∠AOD＝53°，而OD＝，则有：F＝2F1cos 53°＝2×5×104×0.6 N＝6×104 N，方向竖直向下．
[答案] 6×104 N 方向竖直向下
1．三个分力的合力范围的确定方法
最大值
三力同向合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3
最小值
(1)若其中一个力在另两个力的合力范围之内，合力最小值为0
(2)若其中一个力不在另两个力的合力范围之内，合力最小值等于最大力减去两个较小力(绝对值)
2.多个力合成的技巧
多个力的合成的基本方法仍是平行四边形定则，但要掌握一定技巧，一般情况下：
(1)若有两分力共线(方向相同或相反)，应先求这两个分力的合力．
(2)若两分力F1、F2垂直，则先求F1、F2的合力．
(3)若两分力大小相等，夹角为120°，则先求它们的合力(大小仍等于分力)．
【达标练习】
1．(多选)(2019·东丽校级期中)下列关于合力和分力的说法中，正确的是( )
A．分力与合力同时作用在物体上
B．分力同时作用在物体上时产生的效果与合力单独作用在物体上产生的效果相同
C．几个力的合力就是这几个力的代数和
D．合力可能大于、等于或小于任一分力
解析：选BD.分力和合力关系是等效替代，不是实际存在，则不可能同时作用在物体，故A错误；合力与分力的关系是等效替代的关系，等效说的就是相同的作用效果，故B正确；当两个力方向相同时，合力等于两分力之和，合力大于每一个分力；当两个分力方向相反时，合力等于两个分力之差，合力可能小于分力，由此可见：合力可能大于分力也有可能小于分力，故C错误，D正确．
2．(2019·永城校级期末)两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F，以下说法正确的是( )
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
B．合力F总比分力F1和F2中任何一个力都大
C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D．若合力F不变，θ角越大，分力F1和F2就越大
解析：选A.若F1和F2的大小不变，θ角越小，根据平行四边形定则知，合力变大，故A正确；合力可能比分力大，可能比分力小，可能与分力相等，故B错误；若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，若F2与F1反向，F1＞F2，则合力F减小，故C错误；根据力的合成法则，若合力F不变，θ角越大，分力F1和F2就可能越大，也可能一个不变，另一变大，也可能一个变小，另一变大，故D错误．
3．(2019·张家口期末)假期里，一位同学在厨房里协助妈妈做菜，对菜刀产生了兴趣．他发现菜刀的刀刃前部和后部的厚薄不一样，刀刃前部的顶角小，后部的顶角大(如图所示)，他先后做出过几个猜想，其中合理的是( )
A．刀刃前部和后部厚薄不匀，仅是为了外形美观，跟使用功能无关
B．在刀背上加上同样的力时，分开其他物体的力跟刀刃厚薄无关
C．在刀背上加上同样的压力时，顶角越大，分开其他物体的力越大
D．在刀背上加上同样的压力时，顶角越小，分开其他物体的力越大
解析：选D.把刀刃部分抽象后，可简化成一个等腰三角劈，设顶角为2θ，背宽为d，侧面长为l，如图乙所示．当在劈
背施加压力F后，产生垂直侧面的两个分力F1、F2，使用中依靠着这两个分力分开被加工的其他物体．由对称性知，这两个分力大小相等(F1＝F2)，因此画出力分解的平行四边形，实为菱形，如图丙所示，在这个力的平行四边形中，取其四分之一考虑(图中阴影部分)，根据它跟半个劈的直角三角形的相似关系，由关系式，得F1＝F2；由此可见，刀背上加上一定的压力F时，侧面分开其他物体的力跟顶角的大小有关，顶角越小，sin θ的值越小，F1和F2越大；但是，刀刃的顶角越小时，刀刃的强度会减小，碰到较硬的物体刀刃会卷口甚至碎裂，实际制造过程中为了适应加工不同物体的需要，做成前部较薄，后部较厚．使用时，用前部切一些软的物品(如鱼、肉、蔬菜、水果等)，用后部斩劈坚硬的骨头之类的物品，俗话说：“前切后劈”，指的就是这个意思，故D正确，A、B、C错误．
实验：探究两个互成角度的力的合成规律
一、实验目的
探究两个互成角度的力的合成规律．
二、实验原理
1．合力F′的确定：一个力F′的作用效果和两个力F1、F2的共同作用效果都是使橡皮条伸长到同一点，则F′就是F1、F2的合力．
2．合力理论值F的确定：根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F的图示．
3．两个互成角度的力的合成规律的验证：比较F和F′的大小和方向是否相同．
三、实验器材
方木板、白纸、弹簧测力计(两只)、橡皮条、细绳套、三角板、刻度尺、图钉(若干)．
四、实验步骤
1．钉白纸：用图钉把白纸钉在水平桌面上的方木板上．
2．拴绳套：用图钉把橡皮条的一端固定在A点，橡皮条的另一端拴上两个细绳套．
3.两力拉：用两只弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长到某一位置O，如图所示．记录两弹簧测力计的读数，用铅笔描下O点的位置及此时两细绳套的方向．
4．一力拉：只用一只弹簧测力计通过细绳套把橡皮条的结点拉到同样的位置O，记下弹簧测力计的读数和细绳套的方向．
5．改变两个力F1和F2的大小和夹角，再重复实验两次．
五、数据处理
1．用铅笔和刻度尺从结点O沿两条细绳的方向画直线，按选定的标度作出这两只弹簧测力计的读数F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边用刻度尺作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线即为合力F的图示．
2．用刻度尺从O点按同样的标度沿记录的F′的方向作出这只弹簧测力计的拉力F′的图示．
3．比较F′和平行四边形定则求出的合力F在大小和方向上是否相同．
六、误差分析
1．弹簧测力计使用前没调零会造成误差．
2．使用中，弹簧测力计的弹簧和外壳之间、指针和外壳之间有摩擦力存在会造成误差．
3．两次测量拉力时，橡皮条的结点O没有拉到同一点会造成偶然误差．
4．两个分力的夹角太小或太大，F1、F2数值太小，应用平行四边形定则作图时，会造成偶然误差．
七、注意事项
1．结点O
(1)定位O点时要力求准确；
(2)同一次实验中橡皮条拉长后的O点必须保持不变．
2．拉力
(1)用弹簧测力计测拉力时要使拉力沿弹簧测力计轴线方向；
(2)应使橡皮条、弹簧测力计和细绳套位于与纸面平行的同一平面内；
(3)两个分力F1、F2间的夹角θ不要太大或太小．
3．作图
(1)在同一次实验中，选定的标度要相同；
(2)严格按力的图示要求和几何作图法作出平行四边形，求出合力．
某同学通过实验验证力的平行四边形定则．实验步骤：
①将弹簧秤固定在贴有白纸的竖直木板上，使其轴线沿竖直方向．
②如图甲所示，将环形橡皮筋一端挂在弹簧秤的秤钩上，另一端用圆珠笔尖竖直向下拉，直到弹簧秤示数为某一设定值时，将橡皮筋两端的位置标记为O1、O2，记录弹簧秤的示数F，测量并记录O1、O2间的距离(即橡皮筋的长度l)．每次将弹簧秤示数改变0.50 N，测出所对应的l，部分数据如表所示：
F/N
0
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
l/cm
l0
10.97
12.02
13.00
13.98
15.05
③找出②中F＝2.50 N时橡皮筋两端的位置，重新标记为O、O′，橡皮筋的拉力记为FO O′.
④在秤钩上涂抹少许润滑油，将橡皮筋搭在秤钩上，如图乙所示．用两圆珠笔尖成适当角度同时拉橡皮筋的两端，使秤钩的下端达到O点，将两笔尖的位置标记为A、B，橡皮筋OA段的拉力记为FOA，OB段的拉力记为FOB.
完成下列作图和填空：
(1)利用表中数据在图丙中画出F－l图线，根据图线求得l0＝________cm.
(2)测得OA＝6.00 cm，OB＝7.60 cm，则FOA的大小为________N.
(3)在图丁中根据给出的标度，作出FOA和FOB的合力F′的图示．
(4)通过比较F′与______的大小和方向，即可得出实验结论．
[解析] (1)如图1所示，由图象知图线与横轴交点横坐标即弹簧原长，故l0＝10.0 cm.
(2)由图1知橡皮筋的劲度系数k＝50.0 N/m，OA、OB的长度之和是13.60 cm，原长10 cm，则形变量Δx＝3.60 cm，所以弹力T＝kΔx＝1.80 N.
(3)合力F′的图示如图2所示．
(4)橡皮筋搭在秤钩上拉至O点和把橡皮筋挂在秤钩上拉至O点效果相同，F′应与FO O′比较．
[答案] (1)见解析图1 10.0(9.8、9.9、10.1均正确)
(2)1.80(1.70～1.90均正确) (3)见解析图2
(4)FO O′
(2019·含山校级期中)某实验小组用一只弹簧测力计和一个量角器等器材验证力的平行四边形定则，设计了如图所示的实验装置，固定在竖直木板上的量角器的直边水平，橡皮筋的一端固定于量角器的圆心O的正上方A处，另一端系绳套1和绳套2.
(1)主要实验步骤如下：
①弹簧测力计挂在绳套1上竖直向下拉橡皮筋，使橡皮筋的结点到达O处，记下弹簧测力计的示数F；
②弹簧测力计挂在绳套1上，手拉着绳套2，缓慢拉橡皮筋，使橡皮筋的结点到达O点，此时绳套1沿0°方向，绳套2沿120°方向，记下绳套1弹簧测力计的示数F1；
③根据力的平行四边形定则，计算此时绳套1的拉力F′1＝________F；
④比较F1和F′1，即可初步验证力的平行四边形定则；
⑤只改变绳套2的方向，重复上述实验步骤．
(2)保持绳套2方向不变，绳套1从图示位置向下缓慢转动90°，此过程中保持橡皮筋的结点在O处不动，关于绳套1的拉力大小的变化，下列结论正确的是________．
A．逐渐增大 B．先增大后减小
C．逐渐减小 D．先减小后增大
解析：(1)③根据力的平行四边形定则计算绳套1的拉力F′1＝Ftan 30°＝F；
(2)保持绳套2方向不变，绳套1从图示位置向下缓慢转动90°，此过程中保持橡皮筋的结点在O处不动，说明两个细绳拉力的合力不变，作图如下：
故绳套1的拉力先减小后增大，故A、B、C错误，D正确．
答案：(1) (2)D
对力的分解的讨论
【核心深化】
1．对力的分解的理解
(1)在力的分解中，合力是实际存在的，分力是虚拟的，并不存在．
(2)一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解．因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)．
2．力分解时有、无解的讨论
力分解时，有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)．若可以构成平行四边形(或三角形)，说明合力可以分解成给定的分力，即有解．如果不能构成平行四边形(或三角形)，说明该合力不能按给定的力分解，即无解．具体情况有以下几种：
已知条件
示意图
解的情况
合力、两个分力的方向
一组解
合力、两个分力的大小(同一平面内)
无解或二组解
合力、一个分力的大小和方向
一组解
合力以及合力的一个分力的大小和另一个分力的方向
①当F1＝Fsin θ时，有一组解
②当F1
③当Fsin θ
④当F1≥F时，有一组解
关键能力1 对力的分解的理解
如图所示，把光滑斜面上的物体所受重力mg分解为F1、F2两个力．图中FN为斜面对物体的支持力，则下列说法正确的是( )
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力
B．物体受到mg、FN、F1、F2共四个力的作用
C．F2是物体对斜面的压力
D．力FN、F1、F2这三个力的作用效果与mg、FN这两个力的作用效果相同
[解析] F1是重力沿斜面向下的分力，其作用效果是使物体沿斜面下滑，施力物体是地球，故选项A错误；物体受到重力mg和支持力FN两个力的作用，F1、F2是重力的分力，故选项B错误；F2是重力沿垂直于斜面方向的分力，其作用效果是使物体压斜面，F2的大小等于物体对斜面的压力，但二者的受力物体不同，F2的受力物体是物体本身，物体对斜面的压力的受力物体是斜面，故选项C错误；合力的作用效果与分力共同作用的效果相同，故选项D正确．
[答案] D
关键能力2 力的分解中的定解条件分析
(多选)要把一个已知力F分解为两个分力F1和F2，在下列哪些情况下一定得到唯一的解( )
A．已知F1和F2的方向
B．已知F1或F2的大小和方向
C．已知F1的方向和F2的大小
D．已知F1和F2的大小
[解析] 已知平行四边形的对角线和两个分力的方向，只能作唯一的平行四边形，故A分解唯一；已知对角线和平行四边形的一条边，这种情况下也只能画唯一的平行四边形，故B分解唯一；已知F1的方向与F夹角为θ，根据几何关系，当F2＜Fsin θ此时无解，故C错误；已知两个分力的大小，根据平行四边形的对称性，此时分解有对称的两解，故D错误．
[答案] AB
关键能力3 平行四边形定则或三角形定则在力的分解中的应用
(多选)把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是 ( )
A.F B.F
C.F D.F
[思路点拨]
[解析] 因Fsin 30°
FAB＝FAC＝＝F
F11＝FOA－FAB＝F，F12＝FOA＋FAC＝F，A、D正确．
[答案] AD
(1)力分解时有解或无解，关键看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)，若能，即有解；若不能，则无解．
(2)先确定“最大”“最小”等极值状态下的分力是解决此类问题的有效途径．
【达标练习】
1．小明想推动家里的衣橱，但使出了很大的力气也推不动，他便想了个妙招，如图所示，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，衣橱居然被推动了！下列说法中正确的是( )
A．这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱
B．这是不可能的，因为无论如何小明的力气也没那么大
C．这有可能，A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力
D．这有可能，但A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力
解析：选C.由小明所受重力产生的作用效果，小明的重力可分解为沿两个木板方向的分力，由于两个木板夹角接近180°，根据平行四边形定则，可知分力远大于小明的重力，选项C正确．
2.(2019·江苏天一中学考前热身卷)如图所示，高空走钢丝的表演中，若表演者走到钢丝中点时，使原来水平的钢丝下垂与水平面成θ角，此时钢丝上的弹力应是表演者(含平衡杆)体重的( )
A. B.
C. D.
解析：选C.以人为研究对象，分析受力情况，作出力图，根据平衡条件，两绳子合力与重力等大反向，则有：2Fsin θ＝mg，解得：F＝，故钢丝上的弹力应是表演者和平衡杆重力的，C正确，A、B、D错误．
力的分解原则的应用
问题导引
如图所示，取一根细线，将细线的一端系在左手中指上，另一端系上一个重物，用一支铅笔的一端顶在细线上的某一点，使铅笔保持水平，铅笔的另一端置于手掌心，细线的下段竖直向下．请做一做，说出你的感觉，并思考重物竖直向下拉细线的力产生什么作用效果？
要点提示 手指被拉、掌心被压的感觉．重物竖直向下拉细线的力会产生两个效果：沿着上边斜线方向斜向下拉紧细线，沿着水平方向向左压紧铅笔．
【核心深化】
1．按力的作用效果分解
具体问题中将一个力分解为两个分力必须根据这个力在该问题中的实际作用效果来分解，这就要求在力的分解之前必须搞清楚力的作用效果．搞清了力的效果，也就搞清了力的方向，而搞清了各个力的方向后，分解力将是唯一的．按实际效果分解的一般思路：
2．力的正交分解法
定义
把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法
坐标轴的
选取原则
坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取一般有以下两个原则：
(1)使尽量多的力处在坐标轴上
(2)尽量使某一轴上各分力的合力为零
适用情况
比较适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况
优点
(1)可借助数学中的直角坐标系对力进行描述
(2)分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简单且容易求解
(3)分解多力时，可将矢量运算化为代数运算
一般步骤
(1)建坐标系：选取合适的方向建立直角坐标系
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示
(3)分别求出x轴和y轴方向上所受的合力，合力等于在该方向上所有力的代数和．(沿坐标轴正方向的力取为正，反之取为负)即：
Fx＝F1x＋F2x＋…；Fy＝F1y＋F2y＋…
(4)求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为φ，则tan φ＝
正交分解法不一定按力的实际效果来分解，而是根据需要为了简化问题在两个相互垂直的方向上分解，它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法
关键能力1 力的效果分解法的应用
如图所示，已知电灯的重力为G＝10 N，AO绳与天花板的夹角为θ＝45°，BO绳水平．
(1)请按力的实际作用效果将OC绳对O点的拉力加以分解，并作出示意图；
(2)AO绳所受的拉力F1和BO绳所受的拉力F2分别为多少？
[解析] (1)OC绳的拉力FT产生了两个效果，一个是沿着AO绳的方向向下拉紧AO绳的分力FT1，另一个是沿着BO绳的方向向左拉紧BO绳的分力FT2.画出分解示意图如图所示．
(2)因为电灯处于静止状态，根据二力平衡可知，OC绳的拉力大小等于电灯的重力，即FT＝G＝10 N
由几何关系得
FT1＝＝10 N，FT2＝＝10 N
所以AO绳所受的拉力F1＝FT1＝10 N
BO绳所受的拉力F2＝FT2＝10 N.
[答案] (1)见解析图 (2)10 N 10 N
关键能力2 力的正交分解法的应用
如图所示，用绳AC和BC吊起一个重50 N的物体，两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°，求绳AC和BC对物体的拉力大小．
[思路点拨] 此题可以用平行四边形定则求解，但因其夹角不是特殊角，计算麻烦，如果改用正交分解法则简便得多．
[解析] 以C为原点建立直角坐标系，设x轴水平，y轴竖直，在图上标出FAC和FBC在x轴和y轴上的分力，即
FACx＝FACsin 30°＝FAC
FACy＝FACcos 30°＝FAC
FBCx＝FBCsin 45°＝FBC
FBCy＝FBCcos 45°＝FBC
在x轴上，FACx与FBCx大小相等，即FAC＝FBC①
在y轴上，FACy与FBCy的合力与重力大小相等，
即FAC＋FBC＝50 N②
由①②两式解得
绳BC的拉力FBC＝25(－) N
绳AC的拉力FAC＝50(－1) N.
[答案] 50(－1) N 25(－) N
按实际效果分解的几个实例
实例
分析
地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2.F1＝Fcos α，F2＝Fsin α
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1；二是使物体压紧斜面的分力F2.F1＝mgsin α，F2＝mgcos α
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝
质量为m的物体被OA、OB绳悬挂于O点，重力产生两个效果：对OA的拉力F1和对OB的拉力F2.
F1＝mgtan α，F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1；二是压缩BC的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝
【达标练习】
1．如图所示，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°.如把球O的重力按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为 ( )
A.G，G B.G，G
C.G，G D.G，G
解析：选A.对球所受重力进行分解，如图所示．由几何关系得F1＝Gsin 60°＝G，F2＝Gsin 30°＝G，A正确．
2.在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N 和15 N，方向如图所示，求它们的合力．
解析：如图甲所示建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N
甲 乙
因此，如图乙所示，合力F＝≈38.2 N
tan φ＝＝1
即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向上．
答案：38.2 N 方向与F1夹角为45°斜向上
1．(多选)(2019·杭州高一检测)已知两个分力的大小为F1、F2，它们的合力大小为F，下列说法中不正确的有( )
A．不可能出现F
C．不可能出现F
解析：选ABC.如果F1与F2大小相等，方向相反，则其合力为零，既小于F1又小于F2，故A错误；如果F1、F2同向，则合力F＝F1＋F2，既大于F1又大于F2，故B错误；合力F的范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，因此，C错误，D正确．
2．(多选)如图是某同学为颈椎病人设计的一个牵引装置的示意图，一根轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮后两端各挂着一个相同的重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的颈椎(图中是用手指代替颈椎做实验)，整个装置在同一竖直平面内．如果要增大手指所受的拉力，可采取的办法有( )
A．只增加绳的长度 B．只增加重物的重量
C．只将手指向下移动 D．只将手指向上移动
解析：选BC.手指所受拉力的大小等于绕过动滑轮的绳子两端的拉力F1、F2的合力F的大小，如图所示．只增加绳的长度，F1、F2的大小及其夹角不变，则合力F不变，A错误；只增加重物的重量，F1、F2的大小增大，夹角不变，则合力F变大，B正确；手指向下移动，F1、F2大小不变，夹角变小，则合力F变大，C正确；同理，D错误．
3．某同学用如图甲所示的装置“验证力的平行四边形定则”．用一木板竖直放在铁架台和轻弹簧所在平面后，其部分实验操作如下，请完成下列相关内容：
(1)如图甲，在木板上记下悬挂两个钩码时弹簧末端的位置O；
(2)卸下钩码然后将两细绳套系在弹簧下端，用两弹簧测力计将轻弹簧末端拉到同一位置O，记录细绳套AO、BO的________及两弹簧测力计相应的读数．图乙中B弹簧测力计的读数为________N；
(3)该同学在坐标纸上画出两弹簧拉力FA、FB的大小和方向如图丙所示，请在图丙中作出FA、FB的合力F′.
答案：(2)方向 11.40 (3)如图所示
4．如图所示，光滑固定斜面上有一个质量为10 kg的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角为30°，整个装置处于静止状态，(g取10 kg2)求：
(1)绳中拉力的大小和斜面对小球支持力的大小．
(2)若另外用一个外力拉小球，能够把小球拉离斜面，求最小拉力的大小．
解析：(1)如图，水平竖直建立直角坐标系，
对小球受力分析，把不在轴上的力沿轴分解．则：
水平方向上：FTsin 45°－FNsin 30°＝0
竖直方向上：FTcos 45°＋FNcos 30°－mg＝0
由以上两式得FN≈73.2 N，FT≈51.8 N.
(2)外力方向与绳子垂直时，拉力最小
拉力的最小值为Fmin＝mgsin 45°
解得Fmin≈70.7 N.
答案：(1)51.8 N 73.2 N (2)70.7 N
一、单项选择题
1．(2019·北京朝阳高一期中)小芳同学想要悬挂一个镜框，以下四种方法中每根绳子所受拉力最小的是( )
解析：选B.图中A、C、D的绳子与合力的方向都有一定的夹角，而选项B中的绳子与合力的夹角为0，当两个分力的夹角越大时，其合力越小，该题中的合力大小不变，故分力中只有B最小，选项B正确．
2．(2019·桃江校级期中)下列4个图中，F1大小为5 N，F2大小为3 N，F3大小为7 N，其中F1、F2、F3的合力最大的是( )
解析：选A.根据平行四边形定则可知，A图中三个力的合力为2F3＝14 N，B图中三个力的合力为0，C图中三个力的合力为2F1＝10 N，D图中三个力的合力为2F2＝6 N，所以A图合力最大，故A正确，B、C、D错误．
3.5个力同时作用于质点O，此5个力大小和方向相当于正六边形的两条边和三条对角线，如图所示，这5个力的合力的大小为F1的( )
A．3倍 B．4倍
C．5倍 D．6倍
解析：选A.法一：巧用对角线特性
如图甲所示，根据正六边形的特点及平行四边形定则知：F2与F5的合力恰好与F1重合；F3与F4的合力也恰好与F1重合；故五个力的合力大小为3F1.
法二：利用对称法
如图乙所示，由于对称性，F2和F3的夹角为120°，它们的大小相等，合力在其夹角的平分线上，故力F2和F3的合力F23＝2F2cos 60°＝2(F1 cos 60°)cos 60°＝.
同理，F4和F5的合力也在其角平分线上，由图中几何关系可知：
F45＝2F4cos 30°＝2(F1cos 30°)cos 30°＝F1.
故这五个力的合力F＝F1＋F23＋F45＝3F1.
4．(2019·长沙高一检测)两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为90°时，合力大小为20 N，那么当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
解析：选B.设F1＝F2＝F0，当它们的夹角为90°时，如图甲所示，根据平行四边形定则知其合力为F0，即F0＝20 N，故F0＝10 N．当夹角为120°时，如图乙所示，同样根据平行四边形定则，其合力与F0大小相等．
5.如图所示，一根长为L的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角时小球A处于静止状态，则对小球施加的力最小为 ( )
A.mg B.mg
C.mg D.mg
解析：选C.将mg在如图所示方向分解，施加的最小力与F1等大反向即可使小球静止，故F＝F1＝mgsin 30°＝mg，选项C正确．
6.蹦床运动是运动员在一张弹性网上借助于网的作用被弹起一定的高度，运动员在空中做出各种优美的动作．它在我国起步较晚，但发展迅速，如图为蹦床上弹性网的示意图，网绳的结构为正方格形，O、A、B、C、D等为网绳的结点．安全网水平张紧后，若质量为m的运动员从高处落下，并恰好落在O点上．该处下凹至最低点时，网绳DOE、BOG均成向上的120°张角，此时O点受到的向下的冲击力大小为F，则这时O点周围每根网绳承受的力的大小为( )
A．F B.
C．F＋mg D.
解析：选B.由题意知，4根绳子在竖直方向的合力大小为F，设每根绳子拉力为T，如图所示，则由几何关系有4Tcos 60°＝F，所以T＝.
7．(2019·凉山州高一诊断)在日常生活中，力的分解有着广泛的应用，如图为用斧子把树桩劈开的图示，斧子对木桩施加一个向下的力F时，产生了大小相等的两个侧向分力F1、F2，下列关系正确的是 ( )
A．F＝2F1sin B．F＝2F1sin θ
C．F＝2F1cos D．F＝2F1cos θ
解析：选A.把向下的力F分解，如图所示，则F＝2F1sin，即A正确．
8．两个共点力F1和F2的大小不变，它们的合力F跟两力F1、F2之间的夹角θ的关系如图所示，则合力F大小的变化范围是( )
A．0～1 N B．1～3 N
C．1～5 N D．1～7 N
解析：选D.由题图可得：θ＝π时，|F1－F2|＝1 N；θ＝0.5π时， ＝5 N，解得F1＝3 N，F2＝4 N(或F1＝4 N，F2＝3 N)，故合力F的范围是1 N≤F≤7 N，故D正确．
二、多项选择题
9.(2019·安徽六安一中高一检测)生活中拉链在很多衣服上应用，图中是衣服上拉链的一部分，当我们拉拉链的时候，拉头与拉链接触处呈三角形，使很难直接分开的拉链拉开，关于其中的物理原理，以下说法正确的是 ( )
A．拉开拉链的时候，三角形的物体增大了拉拉链的拉力
B．拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为两个较大的分力
C．拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为方向不同的两个分力
D．以上说法都不正确
解析：选BC.在拉开拉链的时候，三角形物体在两链间和拉链一起运动，手的拉力在三角形物体上产生了两个方向不同的分力，分力的大小大于拉力的大小，所以很难直接分开的拉链很容易拉开，B、C正确．
10．三个力作用在同一物体上，其大小分别为6 N、8 N、12 N，其合力大小可能是( )
A．4 N B．0
C．15 N D．28 N
解析：选ABC.对于三个力的合成，应该是先求任意两个力的合力大小的取值范围，再去与第三个力合成即可．由于6 N、8 N这两个力的合力的大小介于2 N与14 N之间，再与12 N的力去合成，其最小值是0，而最大值为(6＋8＋12)N＝26 N，所以选项A、B、C正确．
11．(2018·高考天津卷)明朝谢肇淛《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺庙倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则( )
A．若F一定，θ大时FN大
B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大
D．若θ一定，F小时FN大
解析：选BC.由于木楔处在静止状态，故可将力F沿与木楔的斜面垂直的方向进行分解，根据平行四边形定则，画出力F按效果分解的图示．并且可据此求出木楔两侧产生的推力．选木楔为研究对象，木楔受到的力有：水平向右的F、和两侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力，由于木楔处于平衡状态，所以两侧给它的与木楔的斜面垂直
的弹力与F沿两侧分解的推力是相等的，力F的分解如图：
则F＝F1cos＋
F2cos＝2F1cos＝2F1sin ，FN＝F1＝F2，故解得FN＝，所以F一定时，θ越小，FN越大；θ一定时，F越大，FN越大，B、C正确．
三、非选择题
12．(2019·城北校级一模)“探究求合力的方法”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳，图乙是在白纸上根据实验结果画出的图示．
(1)某次实验中，拉OC细绳的弹簧秤指针位置如甲图所示，其读数为________ N；乙图中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________．
(2)关于此实验，下列说法正确的是________．
A．与橡皮筋连接的细绳必须等长
B．用两只弹簧秤拉橡皮筋时，应使两弹簧秤的拉力相等，以便算出合力的大小
C．用两只弹簧秤拉橡皮筋时，结点位置必须与用一只弹簧秤拉时结点的位置重合
D．拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要短一些
解析：(1)由图可知，甲图所示弹簧秤的最小分度为0.1 N，则读数为2.60 N；F是通过作图的方法得到合力的理论值，而F′是通过一个弹簧秤沿AO方向拉橡皮条，使橡皮条伸长到O点，使得一个弹簧秤的拉力与两个弹簧秤的拉力效果相同，测量出的合力．故方向一定沿AO方向的是F′，由于误差的存在，F和F′方向并不重合．
(2)与橡皮筋连接的细绳是为了确定细绳拉力的方向，两绳的长度不一定相等，故A错误；用两只弹簧秤拉橡皮筋时，只要使两弹簧秤拉力的合力与一只弹簧秤拉力的效果相同就行，两弹簧秤的拉力不需要相等，故B错误；为了保证效果相同，两次拉橡皮筋时，需将橡皮筋结点拉至同一位置，故C正确；标记同一细绳方向的两点要长一些，这样引起的拉力方向的误差会小些，故D错误．
答案：(1)2.60 F′ (2)C
13．“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳，图乙是在白纸上根据实验结果画出的图示．
(1)图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是力________．
(2)本实验采用的主要科学方法是________．
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．建立物理模型法
(3)实验中可减小误差的措施是________．
A．两个分力F1、F2的大小要越大越好
B．两个分力F1、F2间的夹角应越大越好
C．拉橡皮筋时，弹簧测力计、橡皮筋、细绳应贴近木板且与木板平面平行
D．A、O间距离要适当，将橡皮筋拉至结点O时，拉力要适当大些
解析：(1)用一个弹簧测力计拉橡皮筋时，拉力的方向沿AO方向即F，而F′是F1、F2合力的理论值，与实际值间存在误差，所以不一定沿AO方向．
(2)本实验利用了一个力作用的效果与两个力共同作用的效果相同即等效替代的科学方法．
(3)在本实验中两个分力F1、F2的大小及两个分力F1、F2间夹角适当大些就好，不是越大越好，所以A、B错误；作图时，是在白纸中作图，作出的是水平力的图示，若拉力倾斜，则作出的图中的力的方向与实际力的方向有较大差别，故应使各力尽量与木板面平行，所以C正确；力大些，测量误差减小，所以D正确．
答案：(1)F (2)B (3)CD
14．以下是某实验小组探究“二力合成规律”的过程．
(1)首先进行如下操作：
①如图甲，轻质小圆环挂在橡皮条的一端，另一端固定，橡皮条的长度为GE；
②如图乙，用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环．小圆环在拉力F1、F2的共同作用下，位于O点，橡皮条伸长的长度为EO；
③撤去F1、F2，改用一个力F单独拉住小圆环，仍使其位于O点，如图丙．
同学们发现，力F单独作用，与F1、F2共同作用的效果是一样的，都使小圆环保持静止，由于两次橡皮条伸长的长度相同，即________，所以F等于F1、F2的合力．
(2)然后实验小组探究了合力F与分力F1、F2的关系：
①由纸上O点出发，用力的图示法画出拉力F1、F2和F(三个力的方向沿各自拉线的方向，三个力大小由弹簧测力计读出)；
②用虚线将拉力F的箭头端分别与F1、F2的箭头端连接，如图丁，得到的启示是________；
③多次改变拉力F1、F2的大小和方向，重做上述实验，通过画各力的图示，进一步检验所围成的图形．实验小组发现：在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个规律叫做________，上述实验中，如果把图乙和图丙的操作顺序对调，即先用拉力F将圆环拉到O点，再用拉力F1和F2共同拉圆环产生相同效果，则F1和F2就是F的________，此实验可以探究________规律．
解析：(1)橡皮条对小圆环的拉力相同，即相同的作用效果．
(2)图丁，得到的启示是可能构成平行四边形.
(3)表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个规律叫做平行四边形定则．先用拉力F将圆环拉到O点，再用拉力F1和F2共同拉圆环产生相同效果，则F1和F2就是F的分力，此实验可以探究力的分解规律．
答案：(1)相同的作用效果
(2)可能构成平行四边形
(3)平行四边形定则 分力 力的分解
第4节 力的合成和分解
学习目标
核心素养形成脉络
1.知道合力、分力以及力的合成、力的分解的概念．
2．理解平行四边形定则是一切矢量合成的普遍法则，会用平行四边形定则求合力，知道分力与合力间的大小关系．(重点)
3．知道共点力的概念，力的分解原则，会用作图法、计算法求合力．(难点)
4．知道力的三角形定则，会区别矢量和标量．(重点，难点)
5．会用正交分解法求分力．
6．会通过实验探究力的平行四边形定则.
一、合力与分力
1．共点力：作用在物体的同一点或者延长线交于一点的一组力．
2．当物体受到几个力的共同作用时，可以用一个力代替它们，这个力产生的效果跟原来几个力的共同效果相同，那么这个力就叫做那几个力的合力，原来的几个力叫做这个力的分力．
二、力的合成和分解
1．力的合成定义：求几个力的合力的过程．
2．平行四边形定则：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向．
3．多力合成的方法：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力．
4．分解法则：遵循平行四边形定则．把一个已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F的两个分力F1和F2.
5．力的分解依据
一个力可以分解为两个力，如果没有限制，一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力．
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小，又有方向，合成时遵守平行四边形定则或矢量三角形定则的物理量．
2．标量：只有大小，没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量．
思维辨析
(1)合力及其分力可以同时作用在物体上． ( )
(2)几个力的共同作用效果可以用一个力来代替．( )
(3)两个力的合力一定比其分力大．( )
(4)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则．( )
(5)既有大小又有方向的物理量一定是矢量．( )
(6)对物体受力分析时，只能画该物体受到的力，其他物体受到的力不能画在该物体上．( )
提示：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√
基础理解
(1)某同学在单杠上做引体向上，在图中的四个选项中双臂用力最小的是( )
提示：选B.根据两个分力大小一定时，夹角增大，合力减小可知：双臂拉力的合力一定(等于同学自身的重力)，双臂的夹角越大，所需拉力越大，故双臂平行时，双臂的拉力最小，各等于重力的一半，故B正确．
(2)(多选)如图所示是李强同学设计的一个小实验，他将细绳的一端系在手指上，细绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”．在杆的A端悬挂不同的重物，并保持静止．通过实验会感受到 ( )
A．细绳是被拉伸的，杆是被压缩的
B．杆对手掌施加的作用力的方向沿杆由C指向A
C．细绳对手指施加的作用力的方向沿细绳由B指向A
D．所挂重物质量越大，细绳和杆对手的作用力也越大
提示：选ACD.重物所受重力的作用效果有两个，一是拉紧细绳，二是使杆压紧手掌，所以重力可分解为沿细绳方向的力F1和垂直于掌心方向的力F2，如图所示，由三角函数得F1＝，F2＝Gtan θ，故选项A、C、D正确．
合力与分力
问题导引
如图所示，一个成年人或两个孩子均能提起相同质量的一桶水，那么该成年人用的力与两个孩子用的力作用效果是否相同？二者能否等效替换？
要点提示 效果相同，能等效替换．
【核心深化】
1．合力与分力的“三性”
2．合力与分力的大小关系
两个力
共线
(1)最大值：当两个力同向时，合力F最大，Fmax＝F1＋F2，合力与分力方向相同
(2)最小值：当两个力反向时，合力F最小，Fmin＝|F1－F2|，合力与分力中较大的力方向相同
两分力成某一角度θ
合力大小的范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.夹角θ越大，合力就越小
合力可以大于等于两分力中的任何一个力，也可以小于两分力中的任何一个力
3.求共点力合力的常用方法
(1)作图法：作图法就是用作图工具根据平行四边形定则作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
(2)计算法
①两分力共线时
F1与F2方向相同
合力大小F＝F1＋F2，方向与F1和F2的方向相同
F1与F2方向相反
合力大小F＝|F1－F2|，方向与F1和F2中较大的方向相同
②两分力不共线时：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力．以下为求合力的两种常见的特殊情况：
类型
作图
合力的计算
两分力
相互
垂直
大小：F＝
方向：tan θ＝
两分力
等大，夹
角为θ
大小：F＝2F1cos
方向：F与F1夹角为
(当θ＝120°时，F1＝F2＝F)
两分力
分别为
F1、F2，
夹角为θ
根据余弦定理，合力大小
F＝
根据正弦定理，合力方向与F1方向的夹角正弦值为sin α＝
关键能力1 对合力与分力等效关系的理解
(多选)(2019·南昌高一检测)关于几个力与其合力的说法中，正确的有( )
A．合力的作用效果跟原来几个力共同作用产生的效果相同
B．合力与原来那几个力同时作用在物体上
C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用
D．不同性质的力不可以合成
[解析] 由合力和分力的定义可知，A正确；合力和它的分力是等效替代关系，而不是物体同时受到合力和分力，它们不能同时存在，B错误，C正确；力能否合成与力的性质无关，D错误．
[答案] AC
关键能力2 合力与分力的大小关系
(2019·工农校级期末)在力的合成中，下列关于两个分力与它们的合力关系的说法中，正确的是( )
A．合力一定大于每一个分力
B．合力一定小于每一个分力
C．两个分力大小不变，夹角在0°～180°之间变化时，夹角越大合力越小
D．两个分力大小不变，夹角在0°～180°之间变化时，夹角越大合力越大
[解析] 当两个力方向相同时，合力等于两分力之和，合力大于每一个分力；当两个分力方向相反时，合力等于两个分力之差，合力小于分力，由此可见：合力可能大于分力，也有可能小于分力，故A、B错误；当夹角0°＜θ＜180°时，由公式F＝可知随着θ增大而减小，故C正确，D错误．
[答案] C
关键能力3 合力范围的确定
(1)(2019·宜昌高一检测)大小分别是30 N和25 N的两个力，同时作用在一个物体上，对于合力F大小的估计最恰当的是( )
A．F＝55 N B．25 N≤F≤30 N
C．25 N≤F≤55 N D．5 N≤F≤55 N
(2)三个共点力F1＝5 N、F2＝8 N、F3＝10 N作用在同一个质点上，其合力大小范围正确的是( )
A．0≤F≤23 N B．3 N≤F≤23 N
C．7 N≤F≤23 N D．13 N≤F≤23 N
[解析] (1)若两个分力的大小为F1和F2，在它们的夹角不确定的情况下，合力F的大小范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以5 N≤F≤55 N，D正确．
(2)先确定F1、F2的合力范围：3 N≤F12≤13 N，当F12取10 N时，使其与F3反向，则三力合力为0，当F12取13 N时，使其与F3同向，则三力合力最大为23 N，故0≤F≤23 N，A正确．
[答案] (1)D (2)A
关键能力4 平行四边形定则在求合力中的应用
(2019·南昌校级期中)南昌八一大桥是江西省第一座斜拉索桥，全长3 000多米，设计为双独塔双索面扇形预应力斜拉桥，如图所示．挺拔高耸的103米主塔似一把利剑直刺苍穹，塔两侧的多对钢索连接主梁，呈扇面展开，如巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾飞的奏鸣曲．假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是53°，每根钢索中的拉力都是5×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？(已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
[解析] 把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力．由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下；根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直OC，且AD＝DB、OD＝OC；考虑直角三角形AOD，其角∠AOD＝53°，而OD＝，则有：F＝2F1cos 53°＝2×5×104×0.6 N＝6×104 N，方向竖直向下．
[答案] 6×104 N 方向竖直向下
1．三个分力的合力范围的确定方法
最大值
三力同向合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3
最小值
(1)若其中一个力在另两个力的合力范围之内，合力最小值为0
(2)若其中一个力不在另两个力的合力范围之内，合力最小值等于最大力减去两个较小力(绝对值)
2.多个力合成的技巧
多个力的合成的基本方法仍是平行四边形定则，但要掌握一定技巧，一般情况下：
(1)若有两分力共线(方向相同或相反)，应先求这两个分力的合力．
(2)若两分力F1、F2垂直，则先求F1、F2的合力．
(3)若两分力大小相等，夹角为120°，则先求它们的合力(大小仍等于分力)．
【达标练习】
1．(多选)(2019·东丽校级期中)下列关于合力和分力的说法中，正确的是( )
A．分力与合力同时作用在物体上
B．分力同时作用在物体上时产生的效果与合力单独作用在物体上产生的效果相同
C．几个力的合力就是这几个力的代数和
D．合力可能大于、等于或小于任一分力
解析：选BD.分力和合力关系是等效替代，不是实际存在，则不可能同时作用在物体，故A错误；合力与分力的关系是等效替代的关系，等效说的就是相同的作用效果，故B正确；当两个力方向相同时，合力等于两分力之和，合力大于每一个分力；当两个分力方向相反时，合力等于两个分力之差，合力可能小于分力，由此可见：合力可能大于分力也有可能小于分力，故C错误，D正确．
2．(2019·永城校级期末)两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F，以下说法正确的是( )
A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
B．合力F总比分力F1和F2中任何一个力都大
C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D．若合力F不变，θ角越大，分力F1和F2就越大
解析：选A.若F1和F2的大小不变，θ角越小，根据平行四边形定则知，合力变大，故A正确；合力可能比分力大，可能比分力小，可能与分力相等，故B错误；若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，若F2与F1反向，F1＞F2，则合力F减小，故C错误；根据力的合成法则，若合力F不变，θ角越大，分力F1和F2就可能越大，也可能一个不变，另一变大，也可能一个变小，另一变大，故D错误．
3．(2019·张家口期末)假期里，一位同学在厨房里协助妈妈做菜，对菜刀产生了兴趣．他发现菜刀的刀刃前部和后部的厚薄不一样，刀刃前部的顶角小，后部的顶角大(如图所示)，他先后做出过几个猜想，其中合理的是( )
A．刀刃前部和后部厚薄不匀，仅是为了外形美观，跟使用功能无关
B．在刀背上加上同样的力时，分开其他物体的力跟刀刃厚薄无关
C．在刀背上加上同样的压力时，顶角越大，分开其他物体的力越大
D．在刀背上加上同样的压力时，顶角越小，分开其他物体的力越大
解析：选D.把刀刃部分抽象后，可简化成一个等腰三角劈，设顶角为2θ，背宽为d，侧面长为l，如图乙所示．当在劈
背施加压力F后，产生垂直侧面的两个分力F1、F2，使用中依靠着这两个分力分开被加工的其他物体．由对称性知，这两个分力大小相等(F1＝F2)，因此画出力分解的平行四边形，实为菱形，如图丙所示，在这个力的平行四边形中，取其四分之一考虑(图中阴影部分)，根据它跟半个劈的直角三角形的相似关系，由关系式，得F1＝F2；由此可见，刀背上加上一定的压力F时，侧面分开其他物体的力跟顶角的大小有关，顶角越小，sin θ的值越小，F1和F2越大；但是，刀刃的顶角越小时，刀刃的强度会减小，碰到较硬的物体刀刃会卷口甚至碎裂，实际制造过程中为了适应加工不同物体的需要，做成前部较薄，后部较厚．使用时，用前部切一些软的物品(如鱼、肉、蔬菜、水果等)，用后部斩劈坚硬的骨头之类的物品，俗话说：“前切后劈”，指的就是这个意思，故D正确，A、B、C错误．
实验：探究两个互成角度的力的合成规律
一、实验目的
探究两个互成角度的力的合成规律．
二、实验原理
1．合力F′的确定：一个力F′的作用效果和两个力F1、F2的共同作用效果都是使橡皮条伸长到同一点，则F′就是F1、F2的合力．
2．合力理论值F的确定：根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F的图示．
3．两个互成角度的力的合成规律的验证：比较F和F′的大小和方向是否相同．
三、实验器材
方木板、白纸、弹簧测力计(两只)、橡皮条、细绳套、三角板、刻度尺、图钉(若干)．
四、实验步骤
1．钉白纸：用图钉把白纸钉在水平桌面上的方木板上．
2．拴绳套：用图钉把橡皮条的一端固定在A点，橡皮条的另一端拴上两个细绳套．
3.两力拉：用两只弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长到某一位置O，如图所示．记录两弹簧测力计的读数，用铅笔描下O点的位置及此时两细绳套的方向．
4．一力拉：只用一只弹簧测力计通过细绳套把橡皮条的结点拉到同样的位置O，记下弹簧测力计的读数和细绳套的方向．
5．改变两个力F1和F2的大小和夹角，再重复实验两次．
五、数据处理
1．用铅笔和刻度尺从结点O沿两条细绳的方向画直线，按选定的标度作出这两只弹簧测力计的读数F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边用刻度尺作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线即为合力F的图示．
2．用刻度尺从O点按同样的标度沿记录的F′的方向作出这只弹簧测力计的拉力F′的图示．
3．比较F′和平行四边形定则求出的合力F在大小和方向上是否相同．
六、误差分析
1．弹簧测力计使用前没调零会造成误差．
2．使用中，弹簧测力计的弹簧和外壳之间、指针和外壳之间有摩擦力存在会造成误差．
3．两次测量拉力时，橡皮条的结点O没有拉到同一点会造成偶然误差．
4．两个分力的夹角太小或太大，F1、F2数值太小，应用平行四边形定则作图时，会造成偶然误差．
七、注意事项
1．结点O
(1)定位O点时要力求准确；
(2)同一次实验中橡皮条拉长后的O点必须保持不变．
2．拉力
(1)用弹簧测力计测拉力时要使拉力沿弹簧测力计轴线方向；
(2)应使橡皮条、弹簧测力计和细绳套位于与纸面平行的同一平面内；
(3)两个分力F1、F2间的夹角θ不要太大或太小．
3．作图
(1)在同一次实验中，选定的标度要相同；
(2)严格按力的图示要求和几何作图法作出平行四边形，求出合力．
某同学通过实验验证力的平行四边形定则．实验步骤：
①将弹簧秤固定在贴有白纸的竖直木板上，使其轴线沿竖直方向．
②如图甲所示，将环形橡皮筋一端挂在弹簧秤的秤钩上，另一端用圆珠笔尖竖直向下拉，直到弹簧秤示数为某一设定值时，将橡皮筋两端的位置标记为O1、O2，记录弹簧秤的示数F，测量并记录O1、O2间的距离(即橡皮筋的长度l)．每次将弹簧秤示数改变0.50 N，测出所对应的l，部分数据如表所示：
F/N
0
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
l/cm
l0
10.97
12.02
13.00
13.98
15.05
③找出②中F＝2.50 N时橡皮筋两端的位置，重新标记为O、O′，橡皮筋的拉力记为FO O′.
④在秤钩上涂抹少许润滑油，将橡皮筋搭在秤钩上，如图乙所示．用两圆珠笔尖成适当角度同时拉橡皮筋的两端，使秤钩的下端达到O点，将两笔尖的位置标记为A、B，橡皮筋OA段的拉力记为FOA，OB段的拉力记为FOB.
完成下列作图和填空：
(1)利用表中数据在图丙中画出F－l图线，根据图线求得l0＝________cm.
(2)测得OA＝6.00 cm，OB＝7.60 cm，则FOA的大小为________N.
(3)在图丁中根据给出的标度，作出FOA和FOB的合力F′的图示．
(4)通过比较F′与______的大小和方向，即可得出实验结论．
[解析] (1)如图1所示，由图象知图线与横轴交点横坐标即弹簧原长，故l0＝10.0 cm.
(2)由图1知橡皮筋的劲度系数k＝50.0 N/m，OA、OB的长度之和是13.60 cm，原长10 cm，则形变量Δx＝3.60 cm，所以弹力T＝kΔx＝1.80 N.
(3)合力F′的图示如图2所示．
(4)橡皮筋搭在秤钩上拉至O点和把橡皮筋挂在秤钩上拉至O点效果相同，F′应与FO O′比较．
[答案] (1)见解析图1 10.0(9.8、9.9、10.1均正确)
(2)1.80(1.70～1.90均正确) (3)见解析图2
(4)FO O′
(2019·含山校级期中)某实验小组用一只弹簧测力计和一个量角器等器材验证力的平行四边形定则，设计了如图所示的实验装置，固定在竖直木板上的量角器的直边水平，橡皮筋的一端固定于量角器的圆心O的正上方A处，另一端系绳套1和绳套2.
(1)主要实验步骤如下：
①弹簧测力计挂在绳套1上竖直向下拉橡皮筋，使橡皮筋的结点到达O处，记下弹簧测力计的示数F；
②弹簧测力计挂在绳套1上，手拉着绳套2，缓慢拉橡皮筋，使橡皮筋的结点到达O点，此时绳套1沿0°方向，绳套2沿120°方向，记下绳套1弹簧测力计的示数F1；
③根据力的平行四边形定则，计算此时绳套1的拉力F′1＝________F；
④比较F1和F′1，即可初步验证力的平行四边形定则；
⑤只改变绳套2的方向，重复上述实验步骤．
(2)保持绳套2方向不变，绳套1从图示位置向下缓慢转动90°，此过程中保持橡皮筋的结点在O处不动，关于绳套1的拉力大小的变化，下列结论正确的是________．
A．逐渐增大 B．先增大后减小
C．逐渐减小 D．先减小后增大
解析：(1)③根据力的平行四边形定则计算绳套1的拉力F′1＝Ftan 30°＝F；
(2)保持绳套2方向不变，绳套1从图示位置向下缓慢转动90°，此过程中保持橡皮筋的结点在O处不动，说明两个细绳拉力的合力不变，作图如下：
故绳套1的拉力先减小后增大，故A、B、C错误，D正确．
答案：(1) (2)D
对力的分解的讨论
【核心深化】
1．对力的分解的理解
(1)在力的分解中，合力是实际存在的，分力是虚拟的，并不存在．
(2)一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解．因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)．
2．力分解时有、无解的讨论
力分解时，有解或无解，简单地说就是代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)．若可以构成平行四边形(或三角形)，说明合力可以分解成给定的分力，即有解．如果不能构成平行四边形(或三角形)，说明该合力不能按给定的力分解，即无解．具体情况有以下几种：
已知条件
示意图
解的情况
合力、两个分力的方向
一组解
合力、两个分力的大小(同一平面内)
无解或二组解
合力、一个分力的大小和方向
一组解
合力以及合力的一个分力的大小和另一个分力的方向
①当F1＝Fsin θ时，有一组解
②当F1
③当Fsin θ
④当F1≥F时，有一组解
关键能力1 对力的分解的理解
如图所示，把光滑斜面上的物体所受重力mg分解为F1、F2两个力．图中FN为斜面对物体的支持力，则下列说法正确的是( )
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力
B．物体受到mg、FN、F1、F2共四个力的作用
C．F2是物体对斜面的压力
D．力FN、F1、F2这三个力的作用效果与mg、FN这两个力的作用效果相同
[解析] F1是重力沿斜面向下的分力，其作用效果是使物体沿斜面下滑，施力物体是地球，故选项A错误；物体受到重力mg和支持力FN两个力的作用，F1、F2是重力的分力，故选项B错误；F2是重力沿垂直于斜面方向的分力，其作用效果是使物体压斜面，F2的大小等于物体对斜面的压力，但二者的受力物体不同，F2的受力物体是物体本身，物体对斜面的压力的受力物体是斜面，故选项C错误；合力的作用效果与分力共同作用的效果相同，故选项D正确．
[答案] D
关键能力2 力的分解中的定解条件分析
(多选)要把一个已知力F分解为两个分力F1和F2，在下列哪些情况下一定得到唯一的解( )
A．已知F1和F2的方向
B．已知F1或F2的大小和方向
C．已知F1的方向和F2的大小
D．已知F1和F2的大小
[解析] 已知平行四边形的对角线和两个分力的方向，只能作唯一的平行四边形，故A分解唯一；已知对角线和平行四边形的一条边，这种情况下也只能画唯一的平行四边形，故B分解唯一；已知F1的方向与F夹角为θ，根据几何关系，当F2＜Fsin θ此时无解，故C错误；已知两个分力的大小，根据平行四边形的对称性，此时分解有对称的两解，故D错误．
[答案] AB
关键能力3 平行四边形定则或三角形定则在力的分解中的应用
(多选)把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是 ( )
A.F B.F
C.F D.F
[思路点拨]
[解析] 因Fsin 30°
FAB＝FAC＝＝F
F11＝FOA－FAB＝F，F12＝FOA＋FAC＝F，A、D正确．
[答案] AD
(1)力分解时有解或无解，关键看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)，若能，即有解；若不能，则无解．
(2)先确定“最大”“最小”等极值状态下的分力是解决此类问题的有效途径．
【达标练习】
1．小明想推动家里的衣橱，但使出了很大的力气也推不动，他便想了个妙招，如图所示，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，衣橱居然被推动了！下列说法中正确的是( )
A．这是不可能的，因为小明根本没有用力去推衣橱
B．这是不可能的，因为无论如何小明的力气也没那么大
C．这有可能，A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力
D．这有可能，但A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力
解析：选C.由小明所受重力产生的作用效果，小明的重力可分解为沿两个木板方向的分力，由于两个木板夹角接近180°，根据平行四边形定则，可知分力远大于小明的重力，选项C正确．
2.(2019·江苏天一中学考前热身卷)如图所示，高空走钢丝的表演中，若表演者走到钢丝中点时，使原来水平的钢丝下垂与水平面成θ角，此时钢丝上的弹力应是表演者(含平衡杆)体重的( )
A. B.
C. D.
解析：选C.以人为研究对象，分析受力情况，作出力图，根据平衡条件，两绳子合力与重力等大反向，则有：2Fsin θ＝mg，解得：F＝，故钢丝上的弹力应是表演者和平衡杆重力的，C正确，A、B、D错误．
力的分解原则的应用
问题导引
如图所示，取一根细线，将细线的一端系在左手中指上，另一端系上一个重物，用一支铅笔的一端顶在细线上的某一点，使铅笔保持水平，铅笔的另一端置于手掌心，细线的下段竖直向下．请做一做，说出你的感觉，并思考重物竖直向下拉细线的力产生什么作用效果？
要点提示 手指被拉、掌心被压的感觉．重物竖直向下拉细线的力会产生两个效果：沿着上边斜线方向斜向下拉紧细线，沿着水平方向向左压紧铅笔．
【核心深化】
1．按力的作用效果分解
具体问题中将一个力分解为两个分力必须根据这个力在该问题中的实际作用效果来分解，这就要求在力的分解之前必须搞清楚力的作用效果．搞清了力的效果，也就搞清了力的方向，而搞清了各个力的方向后，分解力将是唯一的．按实际效果分解的一般思路：
2．力的正交分解法
定义
把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法
坐标轴的
选取原则
坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取一般有以下两个原则：
(1)使尽量多的力处在坐标轴上
(2)尽量使某一轴上各分力的合力为零
适用情况
比较适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况
优点
(1)可借助数学中的直角坐标系对力进行描述
(2)分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简单且容易求解
(3)分解多力时，可将矢量运算化为代数运算
一般步骤
(1)建坐标系：选取合适的方向建立直角坐标系
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示
(3)分别求出x轴和y轴方向上所受的合力，合力等于在该方向上所有力的代数和．(沿坐标轴正方向的力取为正，反之取为负)即：
Fx＝F1x＋F2x＋…；Fy＝F1y＋F2y＋…
(4)求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为φ，则tan φ＝
正交分解法不一定按力的实际效果来分解，而是根据需要为了简化问题在两个相互垂直的方向上分解，它是处理力的合成和分解的复杂问题的一种简便方法
关键能力1 力的效果分解法的应用
如图所示，已知电灯的重力为G＝10 N，AO绳与天花板的夹角为θ＝45°，BO绳水平．
(1)请按力的实际作用效果将OC绳对O点的拉力加以分解，并作出示意图；
(2)AO绳所受的拉力F1和BO绳所受的拉力F2分别为多少？
[解析] (1)OC绳的拉力FT产生了两个效果，一个是沿着AO绳的方向向下拉紧AO绳的分力FT1，另一个是沿着BO绳的方向向左拉紧BO绳的分力FT2.画出分解示意图如图所示．
(2)因为电灯处于静止状态，根据二力平衡可知，OC绳的拉力大小等于电灯的重力，即FT＝G＝10 N
由几何关系得
FT1＝＝10 N，FT2＝＝10 N
所以AO绳所受的拉力F1＝FT1＝10 N
BO绳所受的拉力F2＝FT2＝10 N.
[答案] (1)见解析图 (2)10 N 10 N
关键能力2 力的正交分解法的应用
如图所示，用绳AC和BC吊起一个重50 N的物体，两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°，求绳AC和BC对物体的拉力大小．
[思路点拨] 此题可以用平行四边形定则求解，但因其夹角不是特殊角，计算麻烦，如果改用正交分解法则简便得多．
[解析] 以C为原点建立直角坐标系，设x轴水平，y轴竖直，在图上标出FAC和FBC在x轴和y轴上的分力，即
FACx＝FACsin 30°＝FAC
FACy＝FACcos 30°＝FAC
FBCx＝FBCsin 45°＝FBC
FBCy＝FBCcos 45°＝FBC
在x轴上，FACx与FBCx大小相等，即FAC＝FBC①
在y轴上，FACy与FBCy的合力与重力大小相等，
即FAC＋FBC＝50 N②
由①②两式解得
绳BC的拉力FBC＝25(－) N
绳AC的拉力FAC＝50(－1) N.
[答案] 50(－1) N 25(－) N
按实际效果分解的几个实例
实例
分析
地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2.F1＝Fcos α，F2＝Fsin α
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1；二是使物体压紧斜面的分力F2.F1＝mgsin α，F2＝mgcos α
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝
质量为m的物体被OA、OB绳悬挂于O点，重力产生两个效果：对OA的拉力F1和对OB的拉力F2.
F1＝mgtan α，F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1；二是压缩BC的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝
【达标练习】
1．如图所示，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°.如把球O的重力按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为 ( )
A.G，G B.G，G
C.G，G D.G，G
解析：选A.对球所受重力进行分解，如图所示．由几何关系得F1＝Gsin 60°＝G，F2＝Gsin 30°＝G，A正确．
2.在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N 和15 N，方向如图所示，求它们的合力．
解析：如图甲所示建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N
甲 乙
因此，如图乙所示，合力F＝≈38.2 N
tan φ＝＝1
即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向上．
答案：38.2 N 方向与F1夹角为45°斜向上
1．(多选)(2019·杭州高一检测)已知两个分力的大小为F1、F2，它们的合力大小为F，下列说法中不正确的有( )
A．不可能出现F
C．不可能出现F
解析：选ABC.如果F1与F2大小相等，方向相反，则其合力为零，既小于F1又小于F2，故A错误；如果F1、F2同向，则合力F＝F1＋F2，既大于F1又大于F2，故B错误；合力F的范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，因此，C错误，D正确．
2．(多选)如图是某同学为颈椎病人设计的一个牵引装置的示意图，一根轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮后两端各挂着一个相同的重物，与动滑轮相连的帆布带拉着病人的颈椎(图中是用手指代替颈椎做实验)，整个装置在同一竖直平面内．如果要增大手指所受的拉力，可采取的办法有( )
A．只增加绳的长度 B．只增加重物的重量
C．只将手指向下移动 D．只将手指向上移动
解析：选BC.手指所受拉力的大小等于绕过动滑轮的绳子两端的拉力F1、F2的合力F的大小，如图所示．只增加绳的长度，F1、F2的大小及其夹角不变，则合力F不变，A错误；只增加重物的重量，F1、F2的大小增大，夹角不变，则合力F变大，B正确；手指向下移动，F1、F2大小不变，夹角变小，则合力F变大，C正确；同理，D错误．
3．某同学用如图甲所示的装置“验证力的平行四边形定则”．用一木板竖直放在铁架台和轻弹簧所在平面后，其部分实验操作如下，请完成下列相关内容：
(1)如图甲，在木板上记下悬挂两个钩码时弹簧末端的位置O；
(2)卸下钩码然后将两细绳套系在弹簧下端，用两弹簧测力计将轻弹簧末端拉到同一位置O，记录细绳套AO、BO的________及两弹簧测力计相应的读数．图乙中B弹簧测力计的读数为________N；
(3)该同学在坐标纸上画出两弹簧拉力FA、FB的大小和方向如图丙所示，请在图丙中作出FA、FB的合力F′.
答案：(2)方向 11.40 (3)如图所示
4．如图所示，光滑固定斜面上有一个质量为10 kg的小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角为30°，整个装置处于静止状态，(g取10 kg2)求：
(1)绳中拉力的大小和斜面对小球支持力的大小．
(2)若另外用一个外力拉小球，能够把小球拉离斜面，求最小拉力的大小．
解析：(1)如图，水平竖直建立直角坐标系，
对小球受力分析，把不在轴上的力沿轴分解．则：
水平方向上：FTsin 45°－FNsin 30°＝0
竖直方向上：FTcos 45°＋FNcos 30°－mg＝0
由以上两式得FN≈73.2 N，FT≈51.8 N.
(2)外力方向与绳子垂直时，拉力最小
拉力的最小值为Fmin＝mgsin 45°
解得Fmin≈70.7 N.
答案：(1)51.8 N 73.2 N (2)70.7 N
一、单项选择题
1．(2019·北京朝阳高一期中)小芳同学想要悬挂一个镜框，以下四种方法中每根绳子所受拉力最小的是( )
解析：选B.图中A、C、D的绳子与合力的方向都有一定的夹角，而选项B中的绳子与合力的夹角为0，当两个分力的夹角越大时，其合力越小，该题中的合力大小不变，故分力中只有B最小，选项B正确．
2．(2019·桃江校级期中)下列4个图中，F1大小为5 N，F2大小为3 N，F3大小为7 N，其中F1、F2、F3的合力最大的是( )
解析：选A.根据平行四边形定则可知，A图中三个力的合力为2F3＝14 N，B图中三个力的合力为0，C图中三个力的合力为2F1＝10 N，D图中三个力的合力为2F2＝6 N，所以A图合力最大，故A正确，B、C、D错误．
3.5个力同时作用于质点O，此5个力大小和方向相当于正六边形的两条边和三条对角线，如图所示，这5个力的合力的大小为F1的( )
A．3倍 B．4倍
C．5倍 D．6倍
解析：选A.法一：巧用对角线特性
如图甲所示，根据正六边形的特点及平行四边形定则知：F2与F5的合力恰好与F1重合；F3与F4的合力也恰好与F1重合；故五个力的合力大小为3F1.
法二：利用对称法
如图乙所示，由于对称性，F2和F3的夹角为120°，它们的大小相等，合力在其夹角的平分线上，故力F2和F3的合力F23＝2F2cos 60°＝2(F1 cos 60°)cos 60°＝.
同理，F4和F5的合力也在其角平分线上，由图中几何关系可知：
F45＝2F4cos 30°＝2(F1cos 30°)cos 30°＝F1.
故这五个力的合力F＝F1＋F23＋F45＝3F1.
4．(2019·长沙高一检测)两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间的夹角为90°时，合力大小为20 N，那么当它们之间的夹角为120°时，合力的大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
解析：选B.设F1＝F2＝F0，当它们的夹角为90°时，如图甲所示，根据平行四边形定则知其合力为F0，即F0＝20 N，故F0＝10 N．当夹角为120°时，如图乙所示，同样根据平行四边形定则，其合力与F0大小相等．
5.如图所示，一根长为L的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角时小球A处于静止状态，则对小球施加的力最小为 ( )
A.mg B.mg
C.mg D.mg
解析：选C.将mg在如图所示方向分解，施加的最小力与F1等大反向即可使小球静止，故F＝F1＝mgsin 30°＝mg，选项C正确．
6.蹦床运动是运动员在一张弹性网上借助于网的作用被弹起一定的高度，运动员在空中做出各种优美的动作．它在我国起步较晚，但发展迅速，如图为蹦床上弹性网的示意图，网绳的结构为正方格形，O、A、B、C、D等为网绳的结点．安全网水平张紧后，若质量为m的运动员从高处落下，并恰好落在O点上．该处下凹至最低点时，网绳DOE、BOG均成向上的120°张角，此时O点受到的向下的冲击力大小为F，则这时O点周围每根网绳承受的力的大小为( )
A．F B.
C．F＋mg D.
解析：选B.由题意知，4根绳子在竖直方向的合力大小为F，设每根绳子拉力为T，如图所示，则由几何关系有4Tcos 60°＝F，所以T＝.
7．(2019·凉山州高一诊断)在日常生活中，力的分解有着广泛的应用，如图为用斧子把树桩劈开的图示，斧子对木桩施加一个向下的力F时，产生了大小相等的两个侧向分力F1、F2，下列关系正确的是 ( )
A．F＝2F1sin B．F＝2F1sin θ
C．F＝2F1cos D．F＝2F1cos θ
解析：选A.把向下的力F分解，如图所示，则F＝2F1sin，即A正确．
8．两个共点力F1和F2的大小不变，它们的合力F跟两力F1、F2之间的夹角θ的关系如图所示，则合力F大小的变化范围是( )
A．0～1 N B．1～3 N
C．1～5 N D．1～7 N
解析：选D.由题图可得：θ＝π时，|F1－F2|＝1 N；θ＝0.5π时， ＝5 N，解得F1＝3 N，F2＝4 N(或F1＝4 N，F2＝3 N)，故合力F的范围是1 N≤F≤7 N，故D正确．
二、多项选择题
9.(2019·安徽六安一中高一检测)生活中拉链在很多衣服上应用，图中是衣服上拉链的一部分，当我们拉拉链的时候，拉头与拉链接触处呈三角形，使很难直接分开的拉链拉开，关于其中的物理原理，以下说法正确的是 ( )
A．拉开拉链的时候，三角形的物体增大了拉拉链的拉力
B．拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为两个较大的分力
C．拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为方向不同的两个分力
D．以上说法都不正确
解析：选BC.在拉开拉链的时候，三角形物体在两链间和拉链一起运动，手的拉力在三角形物体上产生了两个方向不同的分力，分力的大小大于拉力的大小，所以很难直接分开的拉链很容易拉开，B、C正确．
10．三个力作用在同一物体上，其大小分别为6 N、8 N、12 N，其合力大小可能是( )
A．4 N B．0
C．15 N D．28 N
解析：选ABC.对于三个力的合成，应该是先求任意两个力的合力大小的取值范围，再去与第三个力合成即可．由于6 N、8 N这两个力的合力的大小介于2 N与14 N之间，再与12 N的力去合成，其最小值是0，而最大值为(6＋8＋12)N＝26 N，所以选项A、B、C正确．
11．(2018·高考天津卷)明朝谢肇淛《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺庙倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则( )
A．若F一定，θ大时FN大
B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大
D．若θ一定，F小时FN大
解析：选BC.由于木楔处在静止状态，故可将力F沿与木楔的斜面垂直的方向进行分解，根据平行四边形定则，画出力F按效果分解的图示．并且可据此求出木楔两侧产生的推力．选木楔为研究对象，木楔受到的力有：水平向右的F、和两侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力，由于木楔处于平衡状态，所以两侧给它的与木楔的斜面垂直
的弹力与F沿两侧分解的推力是相等的，力F的分解如图：
则F＝F1cos＋
F2cos＝2F1cos＝2F1sin ，FN＝F1＝F2，故解得FN＝，所以F一定时，θ越小，FN越大；θ一定时，F越大，FN越大，B、C正确．
三、非选择题
12．(2019·城北校级一模)“探究求合力的方法”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳，图乙是在白纸上根据实验结果画出的图示．
(1)某次实验中，拉OC细绳的弹簧秤指针位置如甲图所示，其读数为________ N；乙图中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________．
(2)关于此实验，下列说法正确的是________．
A．与橡皮筋连接的细绳必须等长
B．用两只弹簧秤拉橡皮筋时，应使两弹簧秤的拉力相等，以便算出合力的大小
C．用两只弹簧秤拉橡皮筋时，结点位置必须与用一只弹簧秤拉时结点的位置重合
D．拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要短一些
解析：(1)由图可知，甲图所示弹簧秤的最小分度为0.1 N，则读数为2.60 N；F是通过作图的方法得到合力的理论值，而F′是通过一个弹簧秤沿AO方向拉橡皮条，使橡皮条伸长到O点，使得一个弹簧秤的拉力与两个弹簧秤的拉力效果相同，测量出的合力．故方向一定沿AO方向的是F′，由于误差的存在，F和F′方向并不重合．
(2)与橡皮筋连接的细绳是为了确定细绳拉力的方向，两绳的长度不一定相等，故A错误；用两只弹簧秤拉橡皮筋时，只要使两弹簧秤拉力的合力与一只弹簧秤拉力的效果相同就行，两弹簧秤的拉力不需要相等，故B错误；为了保证效果相同，两次拉橡皮筋时，需将橡皮筋结点拉至同一位置，故C正确；标记同一细绳方向的两点要长一些，这样引起的拉力方向的误差会小些，故D错误．
答案：(1)2.60 F′ (2)C
13．“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳，图乙是在白纸上根据实验结果画出的图示．
(1)图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是力________．
(2)本实验采用的主要科学方法是________．
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．建立物理模型法
(3)实验中可减小误差的措施是________．
A．两个分力F1、F2的大小要越大越好
B．两个分力F1、F2间的夹角应越大越好
C．拉橡皮筋时，弹簧测力计、橡皮筋、细绳应贴近木板且与木板平面平行
D．A、O间距离要适当，将橡皮筋拉至结点O时，拉力要适当大些
解析：(1)用一个弹簧测力计拉橡皮筋时，拉力的方向沿AO方向即F，而F′是F1、F2合力的理论值，与实际值间存在误差，所以不一定沿AO方向．
(2)本实验利用了一个力作用的效果与两个力共同作用的效果相同即等效替代的科学方法．
(3)在本实验中两个分力F1、F2的大小及两个分力F1、F2间夹角适当大些就好，不是越大越好，所以A、B错误；作图时，是在白纸中作图，作出的是水平力的图示，若拉力倾斜，则作出的图中的力的方向与实际力的方向有较大差别，故应使各力尽量与木板面平行，所以C正确；力大些，测量误差减小，所以D正确．
答案：(1)F (2)B (3)CD
14．以下是某实验小组探究“二力合成规律”的过程．
(1)首先进行如下操作：
①如图甲，轻质小圆环挂在橡皮条的一端，另一端固定，橡皮条的长度为GE；
②如图乙，用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环．小圆环在拉力F1、F2的共同作用下，位于O点，橡皮条伸长的长度为EO；
③撤去F1、F2，改用一个力F单独拉住小圆环，仍使其位于O点，如图丙．
同学们发现，力F单独作用，与F1、F2共同作用的效果是一样的，都使小圆环保持静止，由于两次橡皮条伸长的长度相同，即________，所以F等于F1、F2的合力．
(2)然后实验小组探究了合力F与分力F1、F2的关系：
①由纸上O点出发，用力的图示法画出拉力F1、F2和F(三个力的方向沿各自拉线的方向，三个力大小由弹簧测力计读出)；
②用虚线将拉力F的箭头端分别与F1、F2的箭头端连接，如图丁，得到的启示是________；
③多次改变拉力F1、F2的大小和方向，重做上述实验，通过画各力的图示，进一步检验所围成的图形．实验小组发现：在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个规律叫做________，上述实验中，如果把图乙和图丙的操作顺序对调，即先用拉力F将圆环拉到O点，再用拉力F1和F2共同拉圆环产生相同效果，则F1和F2就是F的________，此实验可以探究________规律．
解析：(1)橡皮条对小圆环的拉力相同，即相同的作用效果．
(2)图丁，得到的启示是可能构成平行四边形.
(3)表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个规律叫做平行四边形定则．先用拉力F将圆环拉到O点，再用拉力F1和F2共同拉圆环产生相同效果，则F1和F2就是F的分力，此实验可以探究力的分解规律．
答案：(1)相同的作用效果
(2)可能构成平行四边形
(3)平行四边形定则 分力 力的分解
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