专题02 空间向量与立体几何（解答题）（人教A版2019）（9月）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递_数学》

专题02 空间向量与立体几何（解答题）
1．（北京市东城区2019-2020学年高二年级上学期期末教学统一检测数学试题）已知向量，，．
（1）当时，若向量与垂直，求实数和的值；
（2）若向量与向量，共面，求实数的值．
【答案】（1）实数和的值分别为和．（2）．
【分析】（1）根据可求得，再根据垂直的数量积为0求解即可．
（2）根据共面有，再求解对应的系数相等关系求解即可．
【解析】（1）因为，所以．
且．
因为向量与垂直，
所以．即．
所以实数和的值分别为和．
（2）因为向量与向量，共面，所以设（）．
因为，
所以 所以实数的值为．
【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法，包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等．属于基础题．
2．（湖北省黄冈市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知，．
（1）若，求实数的值．
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）直接根据向量平行得到关于k的方程，然后解出k即可；
（2）直接根据向量垂直得到关于k的方程，然后解出k即可；
【解析】，．
（1）∵，∴，∴．
（2）∵，∴，
∴．
【点睛】本题考查了向量平行和向量垂直求参数值，考查了方程思想，属基础题．
3．（河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）如图所示，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，DF⊥平面ABCD且DF．

（1）求证：EF//平面ABCD；
（2）若∠ABC=∠BCE，求二面角A﹣BF﹣E的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）要线面平行，即证直线在面外且直线平行于平面内的一条直线，故过点E作EH⊥BC于构造平行四边形即可得到线线平行．
（2）连接HA，根据题意，AH⊥BC，以H为原点，HB，HA，HE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAF和平面BEF的法向量，利用法向量求出二面角的余弦值．
【解析】（1）过点E作EH⊥BC，连接HD，EH，
因为平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，
平面ABCD∩平面BCE=BC，
所以EH⊥平面ABCD，
因为FD⊥ABCD，FD，
所以FD//EH，FD=EH，故平行四边形EHDF，
所以EF//HD，
由EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，
所以EF//平面ABCD；
（2）连接HA，根据题意，AH⊥BC，如图：

以H为原点，HB，HA，HE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，，0），B（1，0，0），E（0，，），F（-2，，），
则（﹣1，，0），（﹣1，0，），（﹣3，，），
设平面BAF的法向量为（x，y，z），
，得（，1，2），
设平面BEF的法向量为，
由，得，
由cos，
所以二面角A﹣FB﹣E的余弦值为．
【点睛】本题考查了线面平行的证明，以及建系利用法向量求二面角，是高考中的常见题型，考查了推理判断和空间想象能力，属于较难题．
4．（2020届天津市河西区高考一模数学试题）如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点．

（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意，得出，，根据线面垂直的判定定理得出平面，则，建立以为原点，，，为，，轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明；
（2）求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的大小；
（3）设，，，求出，，，令，则，解得为的中点，利用向量法能求出线段的长．
【解析】依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，
则，，所以面，
又，可以建立以为原点，
分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得，，，，，，，

（1）由题意，，，
因为，所以．
（2），，
设为平面的法向量，则
，即，
不妨令，可得，
平面的一个法向量，
因此有，
由图可得二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
（3）（方法一）设，，
所以，因此，
令，即，
解得，即为的中点，
因为平面，平面，，
所以当为的中点时，平面平面，
此时即，，
所以线段的长为．
（方法二）设，，
所以，因此，
设为平面的法向量，
则，即，
不妨令，可得，
因为平面平面，所以，
解得：，此时即，，
所以线段的长为．
【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求出二面角和线段长，还涉及空间中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．
5．（四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题）如图，在直棱柱中，，，，，．

（1）证明：面面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）通过证明平面，即可由线面垂直推证面面垂直；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两个半平面的法向量，即可用向量法求得夹角的余弦值．
【解析】（1）证明：平面，平面，∴．
又∵，且，平面，
∴平面．
又∵平面，
∴面面．
（2）易知、、两两垂直，
以A为坐标原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴
建立如图的空间直角坐标系，

设，则相关各点的坐标为
，，，，
，，．
从而，．
∵，∴
解之得或（舍去）．
，
设是平面的一个法向量，
则，即
令，则．
同理可求面的法向量为．
∴．
又∵二面角是锐二面角，
∴二面角的余弦值为．
【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及用向量法求二面角的余弦值，属综合基础题．
6．（山西省太原市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题）已知三棱柱中，侧棱底面，记，，．

（1）用表示；
（2）若，，求证：．
【答案】（1），， ；（2）见解析
【分析】（1）根据空间向量的加法和减法的运算法则，即可求出结果；
（2）由题意可知， ，由 ，可得；同理由可得即可证明结果．
【解析】（1）， ，
；
（2）证明：∵底面，∴，
∴，
，
，

，，即
【点睛】本题主要考查了空间向量的加法（减法）运算法则，以及空间向量数量积的应用，属于基础题．
7．（福建省莆田第二十五中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）（1）已知向量，分别是直线的方向向量，若，求；
（2）已知向量，，且与互相垂直，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据直线，得到直线方向向量的共线关系，由此列出方程组求解出的值；（2）根据向量垂直对应的数量积为零，得到关于的方程，求解出的值即可．
【解析】（1）因为，所以，
所以，所以；
（2）因为，，且，
所以，所以，
所以．
【点睛】本题考查根据空间向量的平行与垂直关系求解参数，难度较易．已知，若，则有；若，则．
8．（四川省阆中中学2019-2020学年高二4月月考数学（理）试题）已知空间三点，设．
（1）求和的夹角的余弦值；
（2）若向量互相垂直，求的值．
【答案】（1）；（2）或2
【分析】（1）结合空间向量夹角的余弦公式求解即可；（2）分别结合向量的坐标公式表示出，由即可求解
【解析】（1）由题可知，
则；
（2）由，
，

则，即，
解得
【点睛】本题考查空间向量的夹角求法，由两向量垂直求参数，属于基础题
9．（宁夏育才中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题）已知，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）-6；（2）-4.
【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，即得解；（2）利用向量加法和向量垂直的坐标表示，即得解.
【解析】（1），∴，∴．
（2），
∵，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了向量平行，加法，数量积的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题．
10．（广西桂林市龙胜中学2019-2020学年高二开学考试数学（理）试卷）已知，求，，．
【答案】，，
【分析】利用向量加法、减法、数乘、数量积的坐标运算公式，计算即得解
【解析】由题意，
故
且，
，


【点睛】本题考查了向量加法、减法、数乘、数量积的坐标运算，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题
11．（广东省茂名地区2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知向量，，．
（1）求
（2）若，求m，n．
（3）求
【答案】（1）（2），（3）
【分析】（1）利用向量减法的坐标运算求得．（2）根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得．（3）利用，结合向量数量积和模的坐标运算，求得．
【解析】（1）∵，，
∴.
（2）∵，，若，则，
解得，.
（3）∵，∴，
，，
.
【点睛】本小题主要考查空间向量减法、数量积和模的坐标运算，考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题．
12．（北京市2020届高考数学预测卷）在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．

（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，计算得，即可证明结论；（2）先求出，再利用向量夹角公式即可得出．
【解析】（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，
以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，．
因为为中点，所以，
所以，，
所以，所以．
（2）由（1）得，，，，
，所以与所成角的余弦值为．
【点睛】本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．（新疆实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）已知空间中三点，，，设，．
（1）若，且，求向量；
（2）已知向量与互相垂直，求的值；
（3）求的面积．
【答案】（1）或；（2）；（3）
【分析】（1）首先求出的坐标，由，可设，利用，求出参数的值，即可求出结果．（2）首先表示出的坐标，由向量与互相垂直，得到，即可求出的值．（3）求出，， ， ，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由面积公式求出的面积．
【解析】（1）空间中三点，，，设，，
所以，
，
，
，且，设
，
，
，或．
（2），
且向量与互相垂直，
，解得．
的值是．
（3）因为，，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查向量的求法，考查实数值、三角形的面积的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
14．（广西南宁市上林县中学2019-2020学年高一入学考试数学试题）如图所示，在长方体，，，，为棱的中点，分别以，所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．

（1）求点的坐标；
（2）求点的坐标．
【答案】（1），，，，，，，（2）
【分析】（1）根据点所在位置，结合几何体的棱长，即可容易求得点的坐标；
（2）由中点坐标公式即可容易求得结果．
【解析】（1）由已知，得由于点在轴的正半轴上，，故．
同理可得，，．
由于点在坐标平面内，，，故．
同理可得，，．
与点的坐标相比，点的坐标中只有竖坐标不同，
，则．
（2）由（1）知，知，，
则的中点为，即．
【点睛】本题考查空间直角坐标系中某一点坐标的求解，属基础题．
15．（2020年普通高等学校招生伯乐马押题考试（二）理科数学试题）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由已知底面，得，利用勾股定理逆定理得，从而有线面垂直后得证面面垂直；（2）以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，，写出各点坐标，求出平面和平面的一个法向量，由法向量夹角与二面角的关系求得，再由直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值求得线面角的正弦值．
【解析】（1）因为平面，平面，
所以．因为，
所以，所以，
故．又，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）如图，以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，
则，，，，
易知为平面的一个法向量．
设为平面的一个法向量，
由，即∴，
取，则，．
依题意，，解得．
于是，，．
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

【点睛】本题考查证明面面垂直，考查用空间向量法求二面角，直线与平面所成的角，证明垂直常用相应的判定定理或性质定理，求空间角常用空间向量法．
16．（江西省抚州市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题）已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，，均为正三角形，在三棱锥中．

（1）求证：平面平面；
（2）若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求得取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）设AC的中点为O，连接BO，PO，先证明PO⊥AC，PO⊥OB，可得PO⊥平面ABC，从而可得结论；（2）以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，求出与的坐标，令，得，化为，利用单调性可得结果．
【解析】（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．

由题意，得PA＝PB＝PC＝，
PO=2，AO=BO=CO=1，
∵在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，
∵在△POB中，PO=1，OB=1，PB＝，
∴PO⊥OB．
∵AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，
∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．  

（2）由PO⊥平面ABC，，如图建立空间坐标系，
则，
设，则，
，

令，得，
即，是关于的单调递增函数，
当时，，
故的取值范围为．
【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理以及空间向量的应用，属于中档题． 利用法向量求解立体几何问题的关键在于“四破”：
第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；
第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；
第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；
第四，破“应用公式关”．
17．（2020届湖南省株洲市第二中学高三下学期4月高考模拟数学试题）如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，，点是棱上的动点．

（1）求证：平面平面；
（2）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由底面可得．取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，于是得到平面，根据面面垂直的判定可得所证结论．（2）取中点，连接，可证得，建立空间直角坐标系．然后根据向量的共线得到点的坐标，再根据线段最短得到点的位置，进而得到．求出平面的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求．
【解析】（1）证明：∵底面，底面，∴．
取的中点，连接，

∵是等边三角形，，∴，，
∴点共线，从而得，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）解：取中点，连接，则，
∴底面，∴两两垂直．
以为原点如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面的法向量为，

由，得，
令，得．
设，则，
∴，
∴当时，有最小值，且，此时．
设直线与平面所成角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】空间向量的引入，为解决立体几何中的探索性问题提供了新的解决方法，即根据计算可解决探索性问题．解答空间角的有关问题时，可转化为向量的数量积问题来处理，但要注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要再转化为几何问题，属于中档题．
18．（四川省叙州区第二中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试数学（理）试题）如图，在棱锥P－中，底面为菱形，且∠DAB＝60°，平面平面，点E为BC中点，点F满足．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见证明（2）
【分析】（1）连接，交于点，连接，证明，从而证得平面；（2）建立空间直角坐标系由向量法求解
【解析】（1）证明：连接，交于点，连接．
底面为菱形，且为中点，∴．
∵为上一点，且满足，∴．
又平面，平面，∴平面．
（2）解：取的中点为，连接，，
∵底面为菱形，且，∴．
∵平面平面，∵平面．
以，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
∴，．
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则．
易得平面的一个法向量．
所以，
所以二面角的余弦值为．

【点睛】本题涉及二面角，二面角是高考的热点和难点，解决此类问题常用向量法，解题的关键是求平面的法向量，再由向量的夹角公式求解．
19．（四川省宜宾市第四中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试数学（理）试题）如图，在正方体中，点为棱的中点．

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【分析】（1）根据正方体特点可证得，由线面平行判定定理证得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得夹角的余弦值，根据同角三角函数关系求得所求的正弦值．
【解析】（1）在正方体中，，
∴四边形为平行四边形 ∴，
∵平面，平面，∴平面．
（2）以点为坐标原点，方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，，，，，，，．
设平面的法向量为，由，
则，取，，，则
设平面的法向量为，由，
则，取，，，则
可得，，，
故平面与平面所成二面角的正弦值为
【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中角度问题的方法，属于常考题型．
20．（吉林省通钢一中、集安一中、梅河口五中等省示范高中2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟试题）如图，四棱锥的侧棱与四棱锥的侧棱都与底面垂直，，∥，，，，．

（1）证明：∥平面．
（2）求平面平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明//，即可由线线平行推证线面平行；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过向量法求解二面角．
【解析】（1）证明：∵平面，∴．
∵，，∴．同理可得．
又平面，平面，∴//．
∵，∴四边形为平行四边形，∴//．
∵平面，平面，∴//平面．
（2）解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
则，．
设平面的法向量为，
则，即
令，则，得．
易知平面的一个法向量为，
∴，
故所求锐二面角的余弦值为．
【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求二面角，属综合中档题．
21．（四川省雅安市2020届高三第一次诊断性考试数学（理）试题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，若为线段上的动点（不含）．

（1）平面与平面是否互相垂直？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（2）求二面角的余弦值的取值范围．
【答案】（1）平面平面，理由见解析；（2）
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，根据线面关系即可证明平面与平面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，根据平面与平面法向量的夹角的余弦的取值范围，计算出二面角的余弦值的取值范围．
【解析】（1）因为，为线段的中点．所以．
因为底面，平面，所以，
又因为底面为正方形，所以，，所以平面，
因为平面，所以．因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）由题意，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，令，

则，，，（其中）．
易知平面的一个法向量．
设平面的法向量，由即
令，则是平面的一个法向量．
，
由，所以，所以．
故若为线段上的动点（不含），二面角的余弦值的取值范围是．
【点睛】本题考查空间中的面面垂直关系的证明以及二面角余弦值的取值范围．（1）面面垂直的证明可通过线面垂直的证明来完成；（2）利用空间向量计算二面角的余弦值时，可根据平面法向量的夹角余弦值以及几何图形中面与面夹角是钝角还是锐角，确定出二面角的余弦值大小．
22．（浙江省杭州市2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，E是上的点．

（1）求证：平面平面；
（2）二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明平面平面，只需证明平面，即证，；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值为，可求a的值，从而可求，，即可求得直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
又，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）如图，以C为原点，取中点F，､､分别为x轴､y轴､z轴正向，建立空间直角坐标系，则，，．
设，则，
，，，
取，则，为面的法向量．
设为面的法向量，则，
即，取，，，则，
依题意，，则．
于是，．
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．

【点睛】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．
23．（湖北省黄石市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点．
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过可证得结论；
（2）根据二面角的空间向量求法可求得结果；
（3）利用共线向量和向量线性运算表示出，根据直线与平面所成角的空间向量求法可构造方程求得，从而得到，求解的模长即为所求结果．
【解析】（1）以为原点可建立如下图所示空间直角坐标系

则，，，，，
，

（2）由（1）知：，
平面，平面
又，平面， 平面
平面的一个法向量为
设平面的法向量
则，令，则，

二面角的正弦值为
（3）由（1）知：，
设，

平面，平面
又，平面， 平面
平面的一个法向量为
设为直线与平面所成角
则，
解得：，则，
，即的长为
【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何中的垂直关系证明、二面角的求解、根据线面角求解其他量的问题；考查学生对于空间向量法的掌握情况，属于常考题型．
24．（安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，．
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见详解；（2）
【分析】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明即可；
（2）用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可．
【解析】设，，
由题可知：两两之间的夹角均为，且，
（1）由

所以即证．
（2）由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为．
【点睛】本题考查用基向量求解空间向量的问题，涉及异面直线的夹角，以及线线垂直的证明，是难得的好题，值得总结此类方法．
25．（福建省仙游县枫亭中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）如图，在棱长为1的正方体中，分别为、、的中点．

（1）求证：平面；
（2）试在棱上找一点，使⊥平面，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析（2）为棱的中点，证明见解析．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的关系可得：，所以与平面共面，再根据线面平行的判定定理可得答案；（2）因为平面，所以，，进而求出的数值得到答案．
【解析】（1）以为坐标原点，，，分别作为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，

则，0，，，1，，，，，
，，
而，，
故与平面共面，
又因为不在平面内，平面．
（2）设，1，，则，
因为平面，所以，
，解得
所以为棱的中点时，平面．
【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，建立空间直角坐标系以便利用向量的有关知识解决线面关系与垂直问题，属于中档题．
26．（2020届江苏省南京市中华中学高三下学期阶段考试数学试题）如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，为的中点，在线段上．

（1）为何值时，平面？
（2）设，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）或时，证明见解析；（2）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，讨论的坐标表示即可求解；
（2）求出两个半平面的法向量，求出法向量的夹角即可得解．
【解析】（1）因为直三棱柱中，面，．
以点为原点，、、分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为，，所以，
从而，，，，，，，，．所以，设，则，，，
，所以
要使平面，只需．
由，得或，
故当或时，平面；

（2）由（1）知平面的法向量为．
设平面的法向量为，
则得，
令得，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【点睛】此题考查利用空间向量的方法解决垂直问题，求二面角的大小，关键在于合理建立坐标系，准确计算．
27．（陕西省渭南市富平县2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ACD，且，E为PD的中点．

（1）证明：平面平面PAD；
（2）求直线PA与平面AEC所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据线面垂直证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求出向量和平面的法向量，再由向量数量积公式，即得．
【解析】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴
∵四边形ABCD为正方形，∴，又，∴平面PAD，
∵平面PCD，∴平面平面PAD
（2）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，
∴，，，
设平面AEC的法向量为，则，，即，
令，得平面AEC的一个法向量为，
∴，
∴直线PA与平面AEC所成角的正弦值为．

【点睛】本题考查证明面面垂直，以及求空间直线与平面夹角的正弦值，是常考题型．
28．（陕西省延安市吴起高级中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学（理）试题）已知空间三点，设．
（1）的夹角的余弦值；
（2）若向量互相垂直，求实数的值；
（3）若向量共线，求实数的值．
【答案】（1）；（2）或；（3）或．
【分析】（1）根据空间向量的夹角公式即得解；（2）转化为向量数量积为0，即得解；（3）利用向量共线的坐标公式，即得解．
【解析】（1）已知空间三点，


（2）若向量互相垂直，
又，则

，解得：或
（3）向量共线，又

当时，
当时，，成立，
当时，，不成立，
故：或
29．（2020届江苏省连云港市六所四星高中（海州高中、赣榆高中、海头中学、东海高中、新海高中、灌云高中）高三下学期模拟考试数学试题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若点是棱上一点，且，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）依题意，可以以点为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，由向量的夹角公式即可求得两异面直线所成角的余弦值；（2）可设，由和共线得到点坐标，求出其长度即可．
【解析】（1）以点为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，
故
∵，
∴与所成角的余弦值为．
（2）解：设，则，
∵，∴，
即，∴，
又，即，
∴，故，
，∴

30．（2020届江苏省高三高考全真模拟（九）数学试题）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且，平面．

（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）棱上是否存在一点满足?若存在，求的长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（2）不存在
【分析】（1）建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积的坐标形式进行求解；（2）依据题设条件，运用向量的坐标形式建立方程，
即判定方程是否有解：
【解析】（1）依题意，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，
从而．
设平面的法向量为，则，且，
即，且，不妨取，则，
所以平面的一个法向量，
此时，
所以与平面所成角的正弦值为；

（2）设，则
则，
由得，
化简得，，该方程无解，
所以，棱上不存在一点满足．
31．（江苏省南京市2020届高三下学期6月第三次模拟考试数学试题）如图，在直三棱柱中ABC—A1B1C1，AB⏊AC，AB＝3，AC＝4，B1C⏊AC1．

（1）求AA1的长；
（2）试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B—A1C—A的大小相等，并说明理由．
【答案】（1）4；（2）不存在符合题意的点P，理由见解析
【分析】（1）根据直三棱柱，得到AA1⊥平面ABC，又AB⊥AC，以A为原点，{，，}为正交基底建立空间直角坐标系，设AA1＝a＞0，利用B1C⊥AC1，由求解．（2）假设存在，设(0，0，4)，，得到＝(3，﹣4，4)，由AB⊥平面AA1C1C，得到平面AA1C1C的法向量为＝(3，0，0)，设PC与平面AA1C1C所成角为，代入求解，再求得平面BA1C的一个法向量，设二面角B—A1C—A的大小为，则，然后根据，由求解．
【解析】（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
又AB，AC平面ABC，
故AA1⊥AB，AA1⊥AC，又AB⊥AC，
故以A为原点，{，，}为正交基底建立空间直角坐标系：

设AA1＝a＞0，则A1(0，0，a)，C(0，4，0)，B1(3，0，a)，C1(0，4，a)，
＝(﹣3，4，﹣a)，＝(0，4，a)，
因为B1C⊥AC1，故，即，
又a＞0，故a＝4，即AA1的长为4；
（2）由（1）知：B(3，0，0)，B1(3，0，4)，
假设存在，设(0，0，4)，，
则P(3，0，4)，则＝(3，﹣4，4)，
因为AB⊥AC，AB⊥AA1，又ACAA1＝A，AC，AA1平面AA1C1C，
所以AB⊥平面AA1C1C，
故平面AA1C1C的法向量为＝(3，0，0)，
设PC与平面AA1C1C所成角为，
则，
设平面BA1C的一个法向量为＝(x，y，z)，平面AA1C的一个法向量为＝(3，0，0)，
由（1）知：＝(0，4，﹣4)，＝(﹣3，4，0)，＝(0，4，0)，
则，令，则＝(4，3，3)
设二面角B—A1C—A的大小为，则，
因为，则，无解，
故侧棱BB1上不存在符合题意的点P．
【点睛】本题主要考查空间向量与两点间的距离，线面角，面面角的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题．
32．（四川省德阳市绵竹市南轩中学2019-2020学年高二第一次月考数学（理）试题）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若，，，

（1）用表示；
（2）求对角线的长；
（3）求
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据向量减法法则和平行四边形法则，即可求得；
（2）由顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，求得，，，根据，即可求得对角线的长；
（3）因为，结合已知，即可求得答案．
【解析】（1）连接，，，如图：

，，
在，根据向量减法法则可得：
底面是平行四边形，
且，
又为线段中点，
在中
（2）顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是
，
，
，
由（1）可知，
平行四边形中，






故：对角线的长为：．
（3），
又

【点睛】本题主要考查了向量的线性表示和求向量的模长，解题关键是掌握向量减法法则和平行四边形法则，及其向量的数量积公式，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
33．（陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二上学期期末理科数学试题）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面ABCD，E为AB的中点．

求证：（1）∥平面PCB；
（2）平面平面PAC．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出，，进而得到，，利用面面垂直的判定定理即可证明．
【解析】证明：（1），
∥，且平面，平面，
∥平面；
（2）以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，，
，，
，，
又，平面，平面，平面，
平面，平面平面．
【点睛】本题考查线面平行的判定定理及面面垂直的判定定理，其中涉及到空间向量数量积的坐标运算，属于中档题．
34．（福州市2020届高三毕业班第三次质量检查理科数学试题）如图，在多面体中，平面平面，，，，，．

（1）求平面与平面所成二面角的正弦值；
（2）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行．
【答案】（1）；（2）详见解析．
【分析】（1）解法一，由面面垂直的条件证明平面，过点作，这样以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，根据公式计算；解法二：在平面内，过点作的垂线，垂足为；在平面内，过作的垂线，交的延长线于点．连接，根据垂直关系，说明为平面与平面所成二面角的平面角；
（2）解法一：假设存在点满足，设，，并利用向量相等表示点的坐标，若满足，则，利用向量相等，列方程组求解判断是否有解；解法二：假设棱上存在点，使得，显然与点不同，所以四点共面，利用四点共面推出矛盾；解法三：假设棱上存在点，使得，连接，取的中点，在△中，因为分别为的中点，由条件可知，都平行于，推出矛盾．
【解析】解法一：（1）因为，平面平面，

平面平面，平面，所以平面．
作交于，则三条直线两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为，，．
所以，
设平面的法向量为，因为，
所以所以令，所以，
由轴平面知为平面的一个法向量，
所以，
所以与平面所成二面角的正弦值为．
（2）因为是棱的中点，由（1）可得．
假设棱上存在点，使得，
设，，
所以，

因为，所以，
所以这个方程组无解，
所以假设不成立，所以对于棱上任意一点，与都不平行．

解法二：（1）如图，在平面内，过点作的垂线，垂足为；在平面内，过作的垂线，交的延长线于点．连接．
因为，所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面，
设平面平面，则，故平面．
所以为平面与平面所成二面角的平面角．
因为，，所以，
在中，．
又，所以在中，．
所以，
所以与平面所成二面角的正弦值为．

（2）假设棱上存在点，使得，显然与点不同
所以四点共面，记该平面为，所以，，，
又，，所以，，
所以就是点确定的平面，
这与为四棱锥相矛盾，所以假设不成立，
所以对于棱上任意一点，与都不平行．
解法三：（1）同解法一．
（2）假设棱上存在点，使得．

连接，取的中点，
在△中，因为分别为的中点，
所以．
因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以与重合．
又点在线段上，所以，又，
所以是与的交点，即就是，
而与相交，所以与相矛盾，所以假设不成立，
所以对于棱上任意一点，与都不平行．
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性．
35．（江苏省南通市如东高级中学2019-2020学年高一下学期6月第二次阶段测试数学试题）平行四边形中，，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为．
（1）当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？
（2）当时，求的大小．

【答案】（1） 当时，三棱锥的体积最大，最大值为；（2）．
【分析】（1）由题意可得BD⊥OD，可得，OC⊥平面ABDO，利用三棱锥的体积计算公式和正弦函数的单调性即可得出；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由，即可得出．
【解析】（1）由题知OD为CD在平面ABD上的射影，CO⊥平面ABD，
，∵平面，
∴BD⊥OD，二面角的平面角
∴，则．
∴

当且仅当，即时取等号，
∴当时，三棱锥的体积最大，最大值为．

（2）过O作OE⊥AB于E，则OEBD为矩形，
以O为原点，OE，OD，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则


由，得，
∴，
得，又为锐角，∴．

【点睛】本题考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．
36．（新教材精创（教学设计））如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．

【答案】答案见解析
【分析】运用向量的减法表示向量＝－，再由向量数量积的定义分别求·和·可得答案．
【解析】∵＝－，∴·＝·－·
＝|cos〈〉－|cos〈〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16．
方法总结：求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算．
【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，由已知向量表示待求的向量，是常用的方法，属于中档题．
37．（2020届安徽省马鞍山市高三第一次教学质量监测理科数学试题）如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且在平面内的射影在边上．

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）根据已知条件可证面，再根据线面垂直的性质可得；
（2） 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，设点坐标为（），再根据两个平面的法向量可求得答案．
【解析】（1）由题可得面，∴，又四边形为矩形，
∴，又，∴面，∴．
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，
设点坐标为（），由，，
得，

解得，，即点坐标为，
设面，所以，
∴，令，得，
又面，，
所以二面角的余弦值为．
【点睛】本题考查了线面垂直的性质与判定定理，考查了空间两点间的距离公式，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题．
38．（山西省太原市第五中学2019-2020学年高二11月月考数学（理）试题）如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段上，点在线段上．

（1）当，且点关于轴的对称点为点时，求的长度；
（2）当点是面对角线的中点，点在面对角线上运动时，探究的最小值．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，推导出，，由此能求出．
（2）当点是面对角线中点时，点，点在面对角线上运动，设点，，则，由此能求出当时，取得最小值为，此时点．
【解析】（1）以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
点在线段上，点在线段上．
由题意知点，
当时，，，
．

（2）当点是面对角线中点时，点，
点在面对角线上运动，设点，，
则，
当时，取得最小值为，此时点．
【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间直角坐标系的性质、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
39．（江西省吉安县二中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题）已知，．
（1）在轴上求一点，使；
（2）在平面内的点到点与到点等距离，求点的轨迹．
【答案】（1）；（2）轨迹是平面内的一条直线．
【分析】（1）设，由，根据空间两点间距离公式即求；
（2）设，由，根据空间两点间距离公式可求点的轨迹．
【解析】（1）设，则由，，，
得，
即，解得，所以点的坐标为．
（2）设，则有，整理得，即：．
故点的轨迹是平面内的一条直线．
【点睛】本题考查空间点的坐标特征，考查空间两点间距离公式，属于基础题．
40．（陕西省延安市第一中学2019-2020学年高二下学期6月月考数学（理）试题）如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动．

（1）当P是AB的中点，且2|CQ|＝|QD|时，求|PQ|的值；
（2）当Q是棱CD的中点时，试求|PQ|的最小值及此时点P的坐标．
【答案】（1） （2） 点P的坐标为()， 最小值为．
【分析】（1）根据正方体的性质可得的坐标，由两点间的距离公式计算可得结果；（2）根据题意，设点的横坐标为，得＝．由，可得＝＝，可得的坐标为，进而可以用表示的长，结合二次函数的性质分析可得结果．
【解析】（1）因为正方体的棱长为1，P是AB的中点，所以P()．
因为2|CQ|＝|QD|，所以|CQ|＝，所以Q(0，1，)．
由两点间的距离公式得：
|PQ|＝＝．
（2）如图，过点P作PE⊥OA于点E，则PE垂直于坐标平面xOy．

设点P的横坐标为x，则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x．
由正方体的棱长为1，得|AE|＝ (1－x)．
因为，所以|PE|＝＝1－x，
所以P(x，x，1－x)．
又因为Q(0，1，)，
所以|PQ|＝
所以当x＝时，|PQ|min＝，即当点P的坐标为()，
即P为AB的中点时，|PQ|的值最小，最小值为．
【点睛】本题主要考查正方体的性质、空间两点间的距离公式以及最值问题，属于中档题． 最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解．
41．（天津市新华中学2019-2020学年高三上学期第二次月考数学试题）如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值；
（3）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）由四边形为矩形，可得，由面面垂直的性质可得平面．取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明，再由线面平行的判定可得平面；（2）求出平面的法向量，求出，可得，则平面与平面所成二面角的正弦值可求；（3）点在线段上，设，，，可得，，，由直线与平面所成角的正弦值列式求得，得到，，，则的长可求．
【解析】（1）四边形为矩形，，
又平面平面，平面平面，
平面．
取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，则，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，
设平面的法向量，
，，
由，取，得，
又，，则，
又平面，平面；
（2）设平面的法向量，
，，
由，取，可得，
，，
即平面与平面所成二面角的正弦值为；

（3）点在线段上，设，，，
，0，，2，，，，
又平面的法向量，设直线与平面所成角为，
，
，即，
，，．
，，，则，
的长为．
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
42．（湖南省衡阳市第八中学2020届高三下学期高考适应性考试理科数学试题）如图，三棱柱中，侧面为菱形，．

（1）证明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【分析】（1）连接，交于点，连接，证明且平分得到答案．
（2）为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标，计算相应点坐标，计算法向量，利用二面角公式计算得到答案．
【解析】证明：（1）连接，交于点，连接，
因为侧面为菱形，
所以，且为与的中点，
又，，所以平面．
由于平面，故．
又，故．
（2）因为，且为的中点，所以，
又因为，所以，故，
从而两两相互垂直，为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标，

因为，所以为等边三角形，
设，则，
，
设是平面的法向量，则，
即， 所以．
设是平面的法向量，则，
同理可取，，
所以二面角的余弦值为-．
【点睛】本题考查线段相等的证明，建立空间直角坐标系解决二面角问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力和空间想象能力．属于中档题．
43．（河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体 ，如图．

1若，证明：平面；
2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】1由正方形的性质推导出，结合，可得平面，由此，再由，能证明平面；2过作交于点，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，可得，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出结果．
【解析】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，
由已知得，，平面
又平面BDE，，
又，，平面

2在图2中，，，，即面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，
由题意得，，由勾股定理可得，则，，
过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
．
设平面ACD的一个法向量为，
由得，取得，
设，则m，，，得
设CP与平面ACD所成的角为，
．
所以
【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及空间向量的应用，是中档题．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离．
44．（湖南省2019-2020学年高二上学期12月联考数学试卷）如图，在棱长为2的正方体中， ， ， ， 分别是棱， ， ， 的中点，点， 分别在棱， 上移动，且．

（1）当时，证明：直线平面；
（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】以为原点，射线， ， 分别为， ， 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得， ， ， ， ， ， ，则， ， ， ， ．
（1）当时， ，
因为，所以，即，
又平面，且平面，故直线平面．
（2）设平面的一个法向量为，则
由，得，于是可取．
设平面的一个法向量为，
由，得，于是可取．
若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，
则，即，
解得，显然满足．
故存在，使面与面所成的二面角为直二面角．

【点睛】立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性
45．（巅峰冲刺2020年高考之二轮专项提升）如图，在四棱锥PABCD中，AP，AB，AD两两垂直，BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC＝2．

（1）求二面角P-CD-A的余弦值；
（2）已知H为线段PC上异于C的点，且DC＝DH，求的值．
【答案】（1）（2）＝．
【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，分别求得平面PCD的一个法向量，平面ACD的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解．（2）由题意设＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，所以＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)，又因为DC＝DH，再根据求解．
【解析】（1）根据题意，以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Axyz．
则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．
所以＝(0，－4，4)，＝(4，－2，0)．
设平面PCD的法向量为＝(x，y，z)，
则即令x＝1，
则y＝2，z＝2．所以平面PCD的一个法向量为＝(1，2，2)
平面ACD的一个法向量为＝(0，0，1)，
所以cos〈，〉＝＝，
且由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角P-CD-A的余弦值为

（2） 由题意可知＝(4，2，－4)，＝(4，－2，0)，
设＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，
则＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)，
因为DC＝DH，所以＝，
化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝．
又因为点H异于点C，所以λ＝，即＝．
【点睛】本题主要考查了空间向量法研究空间中面面角的求法及向量模的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题．
46．（北京市第五中学2019-2020学年高二下学期第一次段考数学试题）如图，在三棱柱中，平面，，．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值．

【答案】（1）详见解析；（2）60°；（3）．
【分析】（1）推导出，，，从而平面，进而，由此能证明平面；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小为；
（3）求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值．
【解析】（1）在三棱柱中，
平面，，．
，，，
，平面，
平面，，
，平面．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，2，，，0，，
，0，，，，，
设异面直线与所成角为，
则，．
异面直线与所成角的大小为．
（3）解：，2，，，0，，，0，，
，0，，，0，，，2，，
，2，，，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
点在线段上，且，点在线段上，
设，，，，，，，
则，，，
即，0，，，，，，，，，
解得，0，，，，，，，，
平面，，
解得：．∴的值为．

【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和利用空间向量法求异面直线所成角，以及根据线面平行求两线段的比值，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理证明能力和转化思想．