专题01 空间向量与立体几何（单选题）（11月）（人教A版2019）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递_数学》

专题01 空间向量与立体几何（单选题）
1．若直线的方向向量，平面的法向量，则（ ）
A． B．
C． D．或
【试题来源】蓉城名校联盟2019-2020学年度高二下学期期中联考（理）
【答案】D
【分析】直接利用空间向量数量积的坐标表示计算可得到答案．
【解析】直线的方向向量，平面的法向量
由，则或，故选D．
【名师点睛】本题考查了空间向量数量积的坐标表示，向量垂直的坐标表示，属于基础题．
2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（ ）
A．－4 B．－10
C．4 D．10
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】A
【分析】根据关于平面对称的点的规律：横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，即可求出点关于平面的对称点的坐标，再利用向量的坐标运算求．
【解析】由题意，关于平面对称的点横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，从而有点关于对称的点的坐标为（2，−1，-3）．
．故选A．
【名师点睛】本题以空间直角坐标系为载体，考查点关于面的对称，考查数量积的坐标运算，属于基础题．
3．设，向量，，，且，，则（ ）
A． B．3
C． D．4
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】C
【分析】通过，，可列式求出，则可求出，进而求出．
【解析】，，得，
又，则，得，，
，．故选C．
【名师点睛】本题考查空间向量垂直，平行，模的坐标表示，是基础题．
4．已知向量分别是直线的方向向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】C
【分析】由题意，得，由此可求出答案．
【解析】因为，且分别是直线的方向向量，
所以，所以，所以，故选C．
【名师点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题．
5．点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考
【答案】B
【分析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可．
【解析】因为点关于平面对称的点的坐标是，
所以点关于平面对称的点的坐标是，故选B．
【名师点睛】本题考查求点关于坐标平面对称的点的坐标，是基础题．
6．若直线l的方向向量为（1，0，2），平面的法向量为，则（ ）
A． B．
C．或 D．l与斜交
【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】C
【分析】由的方向向量 ，平面的法向量 可得，从而得解．
【解析】因为 ，，
所以 ，即或．故选C．
【名师点睛】本题考查利用直线的方向向量与平面的法向量关系判断线面位置关系．属于基础题．
7．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，化简 ( )
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】A
【分析】结合图形，根据向量运算的平行四边形法则或三角形法则求解．
【解析】在平行六面体，连接AC，如图，

则，故选A．
【名师点睛】本题考查空间向量的线性运算，解题的关键是结合图形并根据向量加法的平行四边形或三角形法则求解，属于基础题．
8．已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省福清西山学校高中部2019-2020学年高二上学期期中考试
【答案】C
【分析】根据空间向量的坐标运算即可计算求得结果．
【解析】由，，
，故选C．
【名师点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及到加法运算和数量积运算，属于容易题．
9．点P’与P关于平画xOy对称，点P’’与P’关于Z轴对称，则点P’’与P关于（ ）对称
A．x轴 B．平面yOz
C．原点O D．不是以上答案
【试题来源】福建泉州科技中学2020-2021学年高二年第一学期第一次月考
【答案】C
【分析】设，根据两次对称求出点，即可得答案；
【解析】设，则，，
P’’与P关于原点对称，故选C．
【名师点睛】本题考查空间中点的对称问题，考查空间想象能力，属于基础题．
10．已知，(其中是两两垂直的单位向量)，则与的数量积等于（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】福建泉州科技中学2020-2021学年高二年第一学期第一次月考
【答案】A
【分析】直接根据向量的数量积的坐标运算，即可得答案；
【解析】，
，，
，故选A．
【名师点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
11．已知四面体的所有棱长都是2，点是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】北京教师进修学校2020-2021学年高二十月数学月考试题
【答案】A
【分析】根据，即 可求解．
【解析】如图，可知，
．
故选A．

【名师点睛】本题考查空间向量数量积的运算，属于基础题．
12．已知，则满足（ ）
A．三点共线 B．构成直角三角形
C．构成钝角三角形 D．构成等边三角形
【试题来源】北京教师进修学校2020-2021学年高二十月数学月考试题
【答案】D
【分析】利用空间两点间的距离公式计算可得结果．
【解析】因为，
，
，
所以，所以为等边三角形．
故选D．
【名师点睛】本题考查了空间两点间的距离公式，属于基础题．
13．已知平面的一个法向量为，则轴与平面所成的角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高二阶段性检测（9月月考）
【答案】B
【分析】求出轴的方向向量，代入向量的夹角公式，即可得解．
【解析】易知轴的方向向量为，
解得，，
故选B．
【名师点睛】本题考查了向量法求线面角，在解题时注意线面角和向量所成角的关系，注意公式的正确应用，属于基础题．
14．已知，满足，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】B
【分析】根据空间向量的共线可得答案．
【解析】因为，，
因为，所以，即，
得， ．故选B．
【名师点睛】本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题．
15．已知空间向量，，且，则（ ）
A． B．
C．1 D．2
【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】C
【分析】先根据题意建立方程，再求参数即可．
【解析】因为，所以，又因为空间向量，，
所以，解得，故选C
【名师点睛】本题考查根据空间向量垂直求参数、空间向量数量积的坐标表示，是基础题．
16．已知向量，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】D
【分析】根据坐标形式下空间向量的加法和数乘运算求解出的坐标表示．
【解析】因为，所以，
故选D．
【名师点睛】本题考查坐标形式下空间向量的加法和数乘运算，考查学生对坐标形式下空间向量的加法和数乘的公式运用，难度较易．
17．点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省东莞市光明中学2020-2021学年高二上学期期初考试
【答案】A
【分析】根据“关于谁对称，谁不变，其余变相反”的口诀可得结果．
【解析】根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为相反数，可得点关于x轴对称的点的坐标为．故选A．
【名师点睛】本题考查了空间中点的对称问题，属于基础题．
18．已知，，若，则常数（ ）
A．-6 B．6
C．-9 D．9
【试题来源】山东省济宁市鱼台县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）
【答案】A
【分析】等价转化为，利用空间向量的坐标运算得到关于的方程，解之即可．
【解析】由得，又，，
，解得，
故选A．
【名师点睛】本题考查空间向量的垂直的充分必要条件，涉及空间向量的数量积的坐标运算，属基础题．
19．在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后，两点间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】D
【分析】平面直角坐标系中已知，，现沿轴将坐标平面折成60°的二面角后，通过向量的数量积转化求解距离即可．
【解析】平面直角坐标系中已知，，沿轴将坐标平面折成60°的二面角后，作AC⊥x轴，交x轴于C点，作BD⊥x轴，交x轴于D点，
则，的夹角为120°
所以，

，即折叠后，两点间的距离为．
故选D．
【名师点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
20．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】B
【分析】首先求出向量在向量上的投影，从而求出投影向量，
【解析】因为，所以，
所以向量在向量上的投影为
设向量在向量上的投影向量为，则且，
所以，所以，解得
所以，故选B．
21．在正方体中，棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】C
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF与平面所成角的正弦值．
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，
则E（2，1，0），F（1，0，2），，
因为y轴与垂直，则平面的一个法向量，
设直线EF与平面所成角为θ，则．
所以直线EF与平面所成角的正弦值为．故选C．
【名师点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
22．若向量，且与的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．或11
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】A
【分析】根据公式，计算结果．
【解析】根据公式，
，且，解得（舍）或．故选A
【名师点睛】本题考查根据空间向量夹角公式求参数，重点考查计算能力，属于基础题型，本题的易错点是容易忽略在解方程是注意这个条件．
23．在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】C
【分析】根据向量加减法，和空间向量基本定理直接求解即可．
【解析】


．故选C
【名师点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量共线定理，空间向量基本定理，属于基础题．
24．已知，若共面，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】B
【分析】由题意可知，利用向量相等，列方程组求实数的值．
【解析】若共面，则，
即，
所以，解得．故选B
【名师点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型．
25．如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则等于（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可．
【解析】，
所以，，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
26．如果三点，，在同一条直线上，则()
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省南京师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末模拟
【答案】A
【分析】由三点共线可知为共线向量，根据向量共线的坐标运算可构造方程求得结果．
【解析】三点共线 为共线向量
又，
，解得，
本题正确选项：
【名师点睛】本题考查利用共线向量解决三点共线的问题，关键是能够明确三点共线与共线向量之间的关系．
27．在四面体中，为中点，，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】D
【分析】运用空间向量基本定理及向量的线性运算可解答此问题．
【解析】根据题意得，，，


，
，，，
，故选D．
【名师点睛】本题考查空间向量基本定理的简单应用以及向量的线性运算，属于基础题．
28．已知点，，则的最小值为（ ）．
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省铜陵市第一中学2019-2020学年高二上学期12月月考（文）
【答案】C
【分析】先写出的表达式，然后分析最小值．
【解析】因为，
所以当时有最小值，故选C．
【名师点睛】本题考查空间中的点到点的距离公式的运用，难度较易． 空间中有点，则．
29．设分别是平面的法向量．若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】福建省福清西山学校高中部2019-2020学年高二上学期期中考试
【答案】C
【分析】根据向量垂直，数量积等于零即可求解．
【解析】因为，则，
所以．故选C
【名师点睛】本题考查了空间向量垂值求参数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题．
30．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，设，，，是的中点，则（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】蓉城名校联盟2019-2020学年度高二下学期期中联考（理）
【答案】B
【分析】利用向量加法、减法和数乘运算，用表示出．
【解析】由题可得
．
故选B．
【名师点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法和数乘运算．
31．已知点A（1，1，-3），B（3，1，-1），则线段AB的中点M关于平面yOz对称的点的坐标为（ ）
A．（-2，1，-2） B．（2，1，-2）
C．（2，-1，-2） D．（2，1，2）
【试题来源】山西省晋中市平遥古城高级中学2019-2020学年高一上学期期末
【答案】A
【分析】根据中点坐标求出M坐标，根据在空间直角坐标系中，点P (a， b，，c）关于平面yOz对称的点的坐标为(-a， b， c) 求解．
【解析】因为点A（1，1，-3），B（3，1，-1），所以线段AB的中点M，
所以M关于平面yOz对称的点的坐标为，故选A．
【名师点睛】本题考查中点的坐标的求法，考查关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点等基础知识，是基础题．
32．在四面体中，点为棱的中点． 设， ，，那么向量用基底可表示为（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】北京教师进修学校2020-2021学年高二十月数学月考试题
【答案】B
【分析】先根据点为棱的中点，则，然后利用空间向量的基本定理，用表示向量即可．
【解析】点为棱的中点， ，
，又，
，故选B．
【名师点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题．
33．已知空间中两条不同的直线，其方向向量分别为，则“”是“直线相交”的（ ）
A．．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【试题来源】北京教师进修学校2020-2021学年高二十月数学月考试题
【答案】B
【分析】两条不同的直线的方向向量不共线，两条不同的直线可能相交，可能异面；两条直线相交，则两条直线的方向向量一定不共线．
【解析】由可知，与不共线，所以两条不同的直线不平行，可能相交，也可能异面，所以“”不是“直线相交”的充分条件；
由两条不同的直线相交可知，与不共线，所以，
所以“”是“直线相交”的必要条件，
综上所述：“”是“直线相交”的必要不充分条件．故选B．
【名师点睛】本题考查了空间两条直线的位置关系，考查了空间直线的方向向量，考查了必要不充分条件，属于基础题．
34．，，不共线，对空间内任意一点，若，则，，，四点（ ）
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
【试题来源】山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高二阶段性检测（9月月考）
【答案】B
【分析】直接利用空间共面向量基本定理求解．
【解析】因为，所以，
，，即，
故，，，四点共面，故选B．
【名师点睛】本题主要考查空间共面向量基本定理，属于基础题．
35．空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算可得结果．
【解析】，故选B

【名师点睛】本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
36．已知，，若，则实数的值为（ ）
A．2 B．
C． D．
【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】A
【分析】先求出，再由得，即可求出．
【解析】，，
，
，，
解得．故选A．
【名师点睛】本题考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题．
37．已知三棱锥的各棱长均为1，且是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济宁市鱼台县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）
【答案】D
【分析】先以为基底进行线性转化，再利用数量积定义计算即可．
【解析】以为基底进行线性转化，棱长均为1，
故，是的中点，
故，
故
．故选D．

【名师点睛】本题考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题．
38．在空间直角坐标系中，已知．若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A． B．且
C．且 D．且
【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（理）
【答案】D
【解析】结合其空间立体图形易知，，，
所以且，故选D．

39．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】C
【分析】因为在四面体中，是的中点，是的中点，，即可求得答案．
【解析】在四面体中，是的中点，是的中点

，故选C．
【名师点睛】本题主要考查了向量的线性运算，解题关键是掌握向量基础知识和数形结合，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题．
40．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为　　

A． B．
C． D．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论．
【解析】如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则0，，，平面ABC的一个法向量为0，
设直线PN与平面ABC所成的角为，，
当时，，此时角最大．故选A．
【名师点睛】本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
41．四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】A
【分析】求出平面的法向量，计算法向量与的夹角得出与平面的夹角，从而可求出到平面的距离．
【解析】设平面的法向量为，，，则，
，令可得，，即，2，，
，设与平面所成角为，则，
于是到平面的距离为，即四棱锥的高为．
故选．
42．如图，在正方体中，，，，，，是各条棱的中点．
①直线平面；②；③，，，四点共面；④平面．
其中正确的个数为（ ）

A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（八）
【答案】B
【分析】①由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理推出平面，可判断；
②建立空间直角坐标系，得，可判断；
③取的中点，先证明可得，，，四点共面，可判断．
④利用向量法发现，，可判断．
【解析】因为，分别为，中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面平面，
同理可得平面，
又，所以平面平面，
又平面，所以平面，①正确；
设棱长为2，如图建立平面直角坐标系，

所以，0，，，0，，，2，，，0，，
用向量法，，则，②错误；
连接，因为，分别是，中点，所以，
又因为，分别为，中点，所以，
所以，故，，，四点共面，③正确；
，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，
所以，2，，，0，，，2，，，，所以直线不垂直于平面，④不正确；
所以正确的是①③，故选B．
【名师点睛】本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的线面平行、线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，属中档题．
43．如图所示，在正方体中，点E为线段的中点，点F在线段上移动，异面直线与所成角最小时，其余弦值为（ ）

A．0 B．
C． D．
【试题来源】云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷（二）（理）
【答案】C
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与的夹角的余弦值，根据夹角最小即可求得结果．
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在正方体中， 点E为线段的中点，设正方体棱长为2，
则，，
设，，设异面直线与的夹角为，
则，
异面直线与所成角最小时，则最大，即时，．故选C．

【名师点睛】本题考查异面直线及其所成的角的余弦值，解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角，属于中档题．
44．在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】C
【分析】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可．
【解析】四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示

建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为



因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为
故选C
【名师点睛】本题主要考查了利用向量法求异面直线夹角的余弦值，属于中档题．
45．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线和分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，且，若与所成角为60°时，则与侧面ADD1A1所成角的大小为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【试题来源】河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学（文）
【答案】B
【分析】建立适当的空间直角坐标系，根据题意设出直线的方向向量，利用空间向量，根据异面直线所成的角的公式求得的方向向量的坐标关系，进而利用线面所成角的向量公式求得直线与平面侧面ADD1A1所成角的大小．
【解析】以为原点，以为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，如图所示：

直线分别在上下底面内且互相垂直，设直线的方向向量为，则直线的方向向量可以为，
直线的方向向量为， 侧面ADD1A1的法向量，
与b所成角为60°，
即，，
故a与侧面ADD1A1所成角的大小为45°．故选B．
【名师点睛】本题考查利用空间向量研究异面直线所成的角和线面所成的角问题，属创新题，难度一般．关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行有关计算．
46．已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】D
【分析】首先以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，根据与平面所成角的正切值为得到，再求到平面的距离即可．
【解析】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设，，，，，．
，，．
设平面的法向量，
则，令，得，，故．
因为直线与平面所成角的正切值为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
即，解得．
所以平面的法向量，
故到平面的距离为．故选D
【名师点睛】本题主要考查向量法求点到面的距离，同时考查线面成角问题，属于中档题．
47．给出下列命题：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
②在正方体中，必有；
③是向量的必要不充分条件；
④若空间向量满足，则．
其中正确的命题的个数是
A．1 B．2
C．3 D．0
【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】B
【分析】①有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的；②，大小一样方向相同，二者相等；③不能推出；④为零向量时，这一特殊情况要注意，就不成立．
【解析】有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体中，向量与的方向相同，模也相等，则，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行．故选B．
【名师点睛】向量是既有大小又有方向的量；零向量与任何向量都是平行向量．
48．如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．求与夹角的余弦值是（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都市树德中学2019-2020学年高二（下）期中（理）
【答案】B
【分析】以为空间向量的基底，表示出和，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得．
【解析】由题意．
以为空间向量的基底，，，
，，
，
所以．所以与夹角的余弦值为．故选B．
【名师点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．
49．空间四点共面，则（ ）
A． B．
C．1 D．4
【试题来源】湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期末
【答案】A
【分析】由于四点A，B，C，D共面，可得存在实数λ，μ使得，解出即可．
【解析】，
因为四点A，B，C，D共面，存在实数λ，μ使得，
，，
解得，故选A．
【名师点睛】本题主要考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于容易题．
50．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期末
【答案】C
【分析】由平方，根据向量的数量积运算法则及性质可求出．
【解析】如图：

由

，
，故选C．
【名师点睛】本题主要考查了向量的加法法则、向量数量积运算性质、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
51．在直三棱柱中，，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B．
C． D．
【试题来源】广西壮族自治区田阳高中2020-2021学年高二9月月考（理）
【答案】B
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线与所成角的余弦值．
【解析】在直三棱柱中，，且，点是，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为，故选B．
【名师点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解．
52．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】山东省枣庄市第八中学（东校区）2020-2021学年高二9月月考
【答案】D
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据得出、满足的关系式，并求出的取值范围，利用二次函数的基本性质求得的最大值．
【解析】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则点、、，设点，
，，
，，得，
由，得，得，
，
，当时，取得最大值．故选D．

53．在正方形中，棱，的中点分别为，，则直线EF与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省枣庄市第八中学（东校区）2020-2021学年高二9月月考
【答案】D
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系求出余弦值．
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，

则， ， ，平面的法向量，
设直线与平面所成角为，，
则．所以
直线与平面所成角的余弦值为．故选．

【名师点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
54．在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足．则线段的长度的最大值是（ ）
A．2 B．4
C．6 D．前三个答案都不对
【试题来源】湖北省部分重点中学（郧阳中学、恩施高中、随州二中、沙市中学）2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】C
【分析】先以点为坐标原点，分别以，，所在方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得到，，，设，由，得到，再由圆上的点与定点距离的问题，即可求出结果．
【解析】以点为坐标原点，分别以，，所在方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，，所以，，，
因为点为正方形所在平面内的一个动点，设，
因为，所以，
整理得：，即点可看作圆上的点，
又，
所以表示圆上的点与定点之间的距离，
因此（其中表示圆的半径．）故选C．
【名师点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，涉及圆上的点到定点距离的最值，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型．
55．如图，四棱锥中，底面是矩形， 平面，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（理）
【答案】B
【分析】根据底面是矩形，且 平面，得到 两两垂直，以A为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后分别求得向量的坐标，然后由求解．
【解析】因为底面是矩形，且 平面，所以 两两垂直，
以A为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

因为，，是等腰三角形，
所以，
因为点是棱的中点， ，
所以，
所以 ，
所以异面直线与所成角的余弦值是．故选B
【名师点睛】本题主要考查空间向量法研究异面直线所成角，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
56．在棱长为的正方体中，是底面的中点，，分别是，的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，分别用坐标表示出，然后计算出向量夹角的余弦值，由此可求解出异面直线和所成的角的余弦值．
【解析】建立空间直角坐标系如图所示：

所以，所以，
所以异面直线和所成的角的余弦值为，故选B．
【名师点睛】本题考查利用向量方法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般．异面直线所成角的向量求解方法：根据直线方向向量夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值，从而异面直线所成角可求．
57．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）

A． B．
C． D．
【试题来源】四川省江油中学2018-2019学年高二下学期第三次月考（5月）（理）
【答案】D
【解析】以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）
所以 =（-2，0，1）， =（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．
所以．所以BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
58．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（理）
【答案】C
【分析】本题首先可以根据题意建立空间直角坐标系，然后根据以及得出、，最后根据即可得出结果．
【解析】因为三棱柱是直三棱柱，且，
所以可以以为原点、为轴、为轴、为轴构建空间直角坐标系，如图：

因为，，所以，，，，
故，，设异面直线与所成角为，
则，故选C．
【名师点睛】本题考查异面直线所成角的求法，可借助空间向量来求解，能否合理的构建空间直角坐标系是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题．
59．如图，正方体的棱长为，以下结论错误的是（ ）

A．面对角线中与直线所成的角为的有8条
B．直线与垂直
C．直线与平行
D．三棱锥的体积为
【试题来源】广东省深圳市外国语学校2021届高三上学期第一次月考
【答案】C
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求出相应的空间向量坐标，利用空间向量求出异面直线与所成的角，再根据正方体的性质，即可判断A选项；根据两个向量的数量积关系证明空间两条直线的位置关系，即可判断BC选项；根据三棱锥的体积计算公式可得出三棱锥的体积，即可判断D选项．
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．

对于A，，，，，
所以，，
所以，
由于两异面直线的夹角范围是，所以异面直线与所成的角为，
同理：正方体的六个面中除了平面与的面对角线外，
其他的面对角线都与所成的角为，则共有8条，故A正确；
对于B，，，，
所以直线与垂直，故B正确；
对于C，，因为，
所以直线与垂直，不平行，故C错误；
对于D，三棱锥的体积为，故D正确；
综上可知，只有C不正确．故选C．
60．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1＝2，在侧面BCC1B1内作边长为2的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P在侧面BCC1B1运动时，的最小值是（ ）

A．87 B．88
C．89 D．90
【试题来源】福建泉州一中2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，过点作，垂足为，连接，得出，当最小时，最小，利用空间直角坐标系求的最小值．
【解析】如图，建立空间直角坐标系，过点作，垂足为，连接，
则，所以，当最小时，最小，
过作，垂足为，设，
则，且，
因为，所以，化简得，
所以，
当时，取得最小值24，此时，
所以的最小值为88，故选B．