【数学】江西省上饶中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

江西省上饶中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项正确）

1．已知全集，集合，集合，则（   ）

A． B． C． D．

2．复数（其中i为虚数单位）的虚部为（     ）

A． B．4 C．2 D．

3．抛物线 的准线方程是（     ）

A． B． C． D．

4．命题“若，则”的逆否命题是（     ）

A．若，则    B．若，则，不都为

C．若，都不为，则    D．若，不都为，则

5．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（     ）

A． B． C．2 D．4

6．若直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

7．若不等式的解集非空，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．设是直线，，是两个不同的平面，下列叙述正确的是（    ）  

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

9．在极坐标系中，已知圆C的方程为，则圆心C的极坐标可以为（    ）

A． B． C． D．

10．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如右图所示，则这个棱柱的体积为 (    )

A．12 B．6 

C． D．36

11．已知直线与抛物线相交于、两点，F为焦点且，则为（    ）

A． B． C． D．

12．已知是双曲线的左右焦点，过的直线与圆相切，切点，且交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为 （    ）                                                 

A．       B．    C.      D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13．           。

14．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则当△PMF周长最小时点P的坐标              。

15．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为          。

16．已知椭圆  的焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，线段的中点为，则点的轨迹方程为___________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）已知命题表示双曲线，

命题表示焦点在X轴上的椭圆

（1）          若p且q为真命题，则p是q的什么条件？

（2）若p或q为假命题，，求实数m的取值范围．

18．（本题满分12分）

（1）解不等式:

（2）若，求证:

19．（本题满分12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为

（为参数）.再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位.在该极坐标系中圆的方程为.

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线交于点、，若点的坐标为，求的值.

20．（本题满分12分）已知抛物线的焦点与双曲线的一个顶点重合，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于、两点.

（1）求抛物线方程；

（2）求的面积.

21．如图，已知四棱锥的底面为菱形，且底面.

（1）证明：平面平面.

（2）若，且平面与平面所成锐二面角的余弦值为，

求的大小.

22．（本题满分12分）已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为．

（1）求抛物线和双曲线的标准方程；

（2）已知直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，Q，求的最大值。

参考答案

1-6．BCBDAC   7-12．BDCDBC

13．2    14． 15.   16．

17． （1）因为命题表示双曲线是真命题，

所以．解得．………2分

又∵命题表示焦点在X轴的椭圆是真命题，

所以      解得．………4分

因为

所以p是q的必要而不充分条件．………5分

（2）∵p或q假命题

∴假且假．

当假时，由（1）可知，

有   ①       ………7分

当为假，有   ②………9分

由①②解得       ………10分

18．(1)原不等式可等价于，或，或

解得：，

所以原不等式的解集为 ………6分

（2）方法一 ∵ ∴由柯西不等式得

，

当且仅当时取等号       ………12分

方法二  由题意得

当且仅当时等号成立.    ………12分

19． 解：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得

圆的直角坐标方程式为            ………5分

（2）直线l参数方程可化为

代入圆方程得：                 ………8分

设、对应的参数分别为、，则，

于是.                    ………12分

20．（1）由双曲线的右顶点为，

即可得抛物线的焦点，

所以抛物线的方程为.                            ………4分

（2）由题意可得直线的方程：，

将直线与抛物线联立，整理可得，………7分

设，，所以，，………8分

，………10分

原点到直线的距离，………11分

所以            ………12分

21． （1）证明：因为底面为菱形，

所以.

因为底面，

所以.

又，所以平面.

因为平面，所以平面平面.………5分

（2）解：设与交于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，

则，

则

设平面的法向量为，则

令，得.                                       ………8分

设平面的法向量为，则.

令，得                                   .………10分

设平面与平面所成的锐二面角为，则

，

解得，则，故.             ………12分

22．（1）由双曲线过点，且其离心率为．

，，，

联立解得：，．

双曲线的标准方程为：．                ………4分

由，可得，解得．

抛物线的标准方程为：．                     ………5分

（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：．此时，．

圆M的方程为：．

可得，．．                 ………6分

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，

由题意可得：．联立，化为：．………7分

设，，，．则，．

，

．                       ………8分

设圆M的半径为，则．

过点作，垂足为．

在中，．………11分

，则．

综上可得：的最大值为．                      ………12分