专题01 空间向量与立体几何（选择题、填空题）（人教A版2019）（9月）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递_数学》

专题01 空间向量与立体几何（选择题、填空题）
一、单选题
1．（江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
【解析】以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则,
为平面的一个法向量．
．
∴直线与平面所成角的正弦值为.
故选D．
【点睛】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．
2．（广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】在平行六面体中，根据空间向量加法合成法则，对向量进行线性表示即可
【解析】因为，所以，
在平行六面体中，



，
故选C
【点睛】此题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题.
3．（河南省驻马店市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是
A．平行 B．相交
C．垂直 D．不确定
【答案】A
【分析】由，可知两直线的位置关系是平行的
【解析】因为两条不重合直线和的方向向量分别为，，
所以，即与共线，所以两条不重合直线和的位置关系是平行，
故选A
【点睛】此题考查了直线的方向向量，共线向量，两直线平行的判定，属于基础题.
4．（河南省商丘市回民中学2019-2020学年高二期末考试数学（理）试题）已知向量且互相垂直，则的值是
A． B．2
C． D．1
【答案】A
【分析】由向量垂直，可得对应向量数量积为0，从而可求出结果.
【解析】因为，所以，，
又互相垂直，所以，
即，即，所以;
故选A
【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.
5．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A,B,D三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C选项中的向量不共面
【解析】对于A，因为，所以共面，不能构成基底，排除A，
对于B，因为，所以共面，不能构成基底，排除B，
对于D，，所以共面，不能构成基底，排除D，
对于C，若共面，则，则共面，与为空间向量的一组基底相矛盾，故可以构成空间向量的一组基底，
故选C
【点睛】此题考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决此题的关键，属于基础题.
6．（江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末（重考卷）数学试题）点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为
A．(－1，2，3) B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2，－3) D．(1，2，－3)
【答案】D
【分析】关于xOy平面对称的点的坐标不变，只有坐标相反．
【解析】点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为．
故选D．
【点睛】本题考查空间直角坐标系，考查空间上点关于坐标平面对称或关于坐标轴对称问题，属于简单题．
7．（河南省开封市第二十五中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出点坐标，然后计算．
【解析】点在平面内的正投影为点，则．
故选B.
【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．
8．（浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试题）在正方体中，异面直线与所成的角为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与所成的角.
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），
＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，﹣1），
设异面直线AC与B1D所成的角为θ，
则cosθ＝＝0，∴θ＝.
∴异面直线AC与B1D所成的角为.
故选D.

【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
9．（浙江省绍兴市鲁迅中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题）如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是

A．0 B．
C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，表示，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.
【解析】如图


所以
所以异面直线与所成角的余弦值
故选A
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.
10．（吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是
A．(－3,4，－10) B．(－3,2，－4)
C． D．(6，－5,11)
【答案】A
【解析】A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是
，选A.
11．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）若向量的坐标满足，，则等于
A．5 B．
C．7 D．
【答案】B
【分析】直接利用向量的关系式，求出向量、的坐标，再根据向量数量积运算公式求解即可.
【解析】因为，，
两式相加得，解得，，
所以，
故选B.
【点睛】本题主要考查空间向量的基本运算，数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题.
12．（上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题）在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.
【解析】根据空间向量的线性运算可知

因为,，
则
即，
故选D.
【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.
13．（黑龙江省海林市朝鲜族中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】关于面对称的点为
14．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）如图，空间四边形中，，且，，则

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据，再由，，得到，求解.
【解析】因为，
又因为，
所以.
故选C
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
15．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）设，向量， ，则
A． B．
C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据，结合向量的坐标运算可求得参数的值，再结合向量的加法与模长运算即可求解
【解析】，

，，，故选C.
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题
16．（河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，求出的坐标，由数量积求夹角公式求解．
【解析】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为，则， ∴． 则． ∴异面直线与所成角的余弦值为 ,故选A．

【点睛】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．
17．（新疆实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】建立坐标系如图所示．

则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
18．（湖北省黄石市第二中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），则
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是
【答案】D
【分析】分别根据两个向量的坐标运算，单位向量的定义和两向量的夹角公式，及法向量的求法，逐一判定，即可得到答案.
【解析】由题意，对于A中，，所以，则与不是共线向量，所以不正确；
对于B中，因为，所以的单位向量为或，所以是错误的；
对于C中，向量，所以，所以是错误的；
对于D中，设平面ABC的一个法向量是，因为，所以，令，
所以平面ABC的一个法向量为，所以是正确的，故选D.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，两个向量的夹角公式以及共线向量的定义和平面法向量的求解，其中解答中熟记向量的基本概念和向量的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，则对角线的长为

A．1 B．
C． D．2
【答案】B
【分析】在平行六面体中中，利用空间向量的加法运算得到，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，由求解.
【解析】在平行六面体中中，
因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，
所以，
所以，
所以，
，
，
所以，
故选B
【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，根据与平面所成角的正切值为得到，再求到平面的距离即可.
【解析】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设，，，，，.
，，.
设平面的法向量，
则，令，得，，故.
因为直线与平面所成角的正切值为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
即，解得.
所以平面的法向量，
故到平面的距离为.
故选D
【点睛】本题主要考查向量法求点到面的距离，同时考查线面成角问题，属于中档题.
21．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学试题）在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则
，，
设平面的法向量为
则令可得，所以
设直线与平面所成角为，

故选B
【点睛】本题考查了空间中的角——线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.
22．（四川省叙州区第二中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试数学（文）试题）一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，则该四面体中以平面为投影面的正视图的面积为
A．3 B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】根据平行投影的知识可知:该四面体中以平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3.
23．（四川省内江市2020届高三高考数学（理科）三模试题）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为

A．16+8π B．32+16π
C．32+8π D．16+16π
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线和所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.
【解析】设在底面半圆上的射影为，连接交于，设.
依题意半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，
所以且分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接，
则与上下底面垂直，所以，
以为轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为，则
，
所以，
由于异面直线和所成的角的余弦值为，
所以，
即.
所以几何体的体积为.
故选A

【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.
24．（吉林省长春市2020届高考数学二模试卷（文科））在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.
【解析】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，
.

①，，
所以，故①正确.
②，，不存在实数使，
故不成立，故②错误.
③，，
，故平面不成立，故③错误.
④，，设和成角为，
则，由于，所以，故④正确.
综上所述，正确的命题有个.
故选C
【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.
25．（浙江省台州市书生中学2020届高三下学期高考模拟数学试题）如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】连接，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用即可求解.
【解析】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，
则，所以
设，
由为线段的中点，则，
由，所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，设，
，，，，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，则，，所以.
设平面的一个法向量，
则，即，
解得，令，则， 所以，
平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则，
将分子、分母同除以，可得
令，
当时，，则的最大值为：.
故选D
【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.
26．（陕西省渭南市大荔县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为，根据正方体的特点可确定的最大值和最小值，代入即可得到所求范围.
【解析】设正方体内切球的球心为，则，
，
为球的直径，，，，
又在正方体表面上移动，
当为正方体顶点时，最大，最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，最小值为，
，即的取值范围为.
故选.
【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.
27．（河南省新乡市2020届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题）连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x，y，z，那么点到原点O的距离不超过3的概率为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间中两点间的距离公式结合古典概型的概率公式，即可得出答案.
【解析】点到原点O的距离不超过3，则，即
连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有个
其中满足条件
则点到原点O的距离不超过3的概率为
故选B
【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用，涉及了空间中两点间距离公式的应用，属于中档题.
28．（浙江省2020届高三下学期强基联考数学试题）已知非负实数，，满足，则有序实数对围成几何体的体积为
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】由已知条件可知有序实数对围成几何体为三棱锥，由棱锥体积公式可得结果.
【解析】若，，，则有序实数对围成几何体是棱长为1的正方体,若非负实数，，满足，有序实数对围成几何体为三棱锥,则，
故选C

【点睛】本题考查空间向量和锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和分析推理能力，属于中档题.
29．（浙江省舟山中学2020届高三下学期6月高考仿真模拟数学试题）在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点.设直线与平面所成的角为，则
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得平面平面
D．存在某个位置，使得
【答案】C
【分析】设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.
【解析】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，
设正四面体的棱长为，
则、、、、，
设，其中，
对于A选项，若存在某个位置使得，，，
，解得，不合乎题意，A选项错误；
对于B选项，若存在某个位置使得，，，
，该方程无解，B选项错误；
对于C选项，设平面的一个法向量为，
，，
由，取，得，
设平面的一个法向量为，
，，
由，取，则，
若存在某个位置，使得平面平面，则，解得，合乎题意，C选项正确；
对于D选项，设平面的一个法向量为，
，，
由，令，则，
若存在某个位置，使得，
即，
整理得，，该方程无解，D选项错误.
故选C.
【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.
30．（浙江省杭州市2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，直三棱柱的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱上靠近点的三分点，M是棱上的动点，则二面角的正切值不可能是

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角的余弦值，进而求得二面角的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.
【解析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可知，根据直三棱柱的性质，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

则，设.
则.
设平面的一个法向量为，则
，令，得.
平面的一个法向量是，
所以，
所以，
所以二面角的正切值为
.
因为，所以，
结合二次函数的性质可知
当时，有最小值为；
当时，有最大值为，
所以，所以二面角的正切值不可能是.
故选B.
【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
二、多选题
31．（辽宁省葫芦岛市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）若，，与的夹角为，则的值为（
A．17 B．－17
C．－1 D．1
【答案】AC
【分析】求出，以及，代入夹角公式即可求出.
【解析】由已知，
，
，解得或，
故选AC.
【点睛】本题考查向量夹角公式的应用，是基础题.
32．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末数学试题）对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )
A．若，则
B．若，则
C．
D．若，则为单位向量
【答案】BD
【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A、C选项的正误；利用空间共线向量的坐标表示可判断B选项的正误；利用空间向量模的坐标公式可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确；
对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；
对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；
对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.
故选BD.
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及空间共线向量的坐标表示和数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.
33．（江苏省苏州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知向量，，， 下列等式中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据坐标求出，根据向量的运算法则即可判定.
【解析】由题，所以
不相等，所以A选项错误；
，
所以，所以B选项正确；
，所以C选项正确；
，
即，，所以D选项正确.
故选BCD
【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.
34．（江苏省连云港市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(﹣2，1，4)，＝(1，﹣2，1)，＝(4，2，0)，则
A．AP⊥AB B．AP⊥ BP
C．BC＝ D．AP// BC
【答案】AC
【分析】根据向量的定义，平行，垂直和模长的定义可以对每个选项逐个判断，进而得出答案。
【解析】因为，故A正确；，，故B不正确；，，故C正确；，，各个对应分量的比例不同，故D不正确。故选:AC。
【点睛】本题考查了向量平行和垂直的性质等，属于基础题。
35．（江苏省南京市鼓楼区南京师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有
A． B．
C．是平面ABCD的一个法向量 D．
【答案】ABC
【分析】A，B选项，可运算，是否为零来判断；C选项，根据法向量的定义，可运算是否成立来判断；D选项，得到,，再验证是否满足来判断。
【解析】因为，，所以A，B正确，
因为所以是平面ABCD的一个法向量，所以C正确，
,不满足，则D不正确
故选ABC.
【点睛】本题主要考查空间向量的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
36．（江苏省苏州市实验中学2019-2020学年高二上学期阶段性调研（二）数学试题）下列命题中是假命题的有
A．函数的最小值为2
B．“，”是真命题
C．不等式对任意恒成立，则实数a的范围是
D．若空间向量满足：，且P，A，B，C四点共面，则
【答案】ACD
【分析】对于A,当时,可知;对于B,当,可知成立;对于C,讨论和两种情况;对于D,根据四点共面的充要条件即可判断真假.
【解析】对于A,当时,可知,所以为假命题;
对于B,当,可知成立,所以为真命题;
对于C,讨论时,成立和时, 对任意恒成立，即为,解得综上,,所以为假命题;
对于D,根据四点共面的充要条件可知应满足不共线,所以为假命题.
故选:ACD.
【点睛】本题考查命题真假的判断,考查了不等式成立问题,考查了空间中四点共面的条件,难度较易.
37．（2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷数学试题）下面四个结论正确的是
A．向量，若，则
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
C．已知向量，，若，则为钝角
D．任意向量，，满足
【答案】AB
【分析】由向量垂直的充要条件可判断A；由题意，即可判断B；举出反例可判断C；由向量的数量积运算不满足结合律可判断D.即可得解.
【解析】由向量垂直的充要条件可得A正确；
，即，
，，三点共线，故B正确；
当时，两个向量共线，夹角为，故C错误；
由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误．
故选A、B
【点睛】本题考查了向量垂直的判定、利用向量证明点共线和向量数量积的应用，属于基础题.
38．（山东省济南市章丘区第四中学2019-2020学年高二下学期第三次月考（4月）数学试题）已知四棱柱为正方体．则下列结论正确的是
A．
B．
C．向量与向量的夹角是
D．正方体的体积为
【答案】ABC
【分析】建立空间直角坐标系求出各点坐标，对A、B选项只需再求出对应的向量坐标代入验证等式是否成立，即可判断A、B正误；对C选项利用空间向量的夹角公式求出夹角，即可判断正误；对于D选项只需将判断是否等于体积即可．
【解析】不妨设正方体的棱长为1，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为
，，，，，，

因为，
所以；
．故A正确．
因为，，
所以．故B正确．
因为，，
所以，，，
所以，
所以向量与向量的夹角是，故C正确．
因为，所以，所以
故D错误．故选ABC．
【点睛】本题主要考查空间向量及其运算，属于基础题．
39．（江苏省徐州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）下列命题中正确的是
A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ABD
【分析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A、B，若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行，可判断C，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D．
【解析】对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；
对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；
对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；
对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；
故选ABD．
【点睛】本题主要考查命题的真假，考查空间基底的定义，考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
40．（山东省烟台市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据“时，若则点与点共面”，分别判断各选项是否为充分条件.
【解析】当时，可知点与点共面，
所以，
所以，
所以，
不妨令，，，且此时，
因为，，，，
由上可知：BD满足要求.
故选BD.
【点睛】本题考查利用空间向量证明空间中的四点共面，难度一般.常见的证明空间中四点共面的方法有：(1)证明；(2)对于空间中任意一点，证明；(3) 对于空间中任意一点，证明.
41．（山东省临沂市兰陵县2019-2020学年高二上学期期末数学试题）下列命题是真命题的是
A．若，则的长度相等而方向相同或相反
B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C．若两个非零向量与满足，则
D．若空间向量，满足，且与同向，则
【答案】BC
【分析】利用平面向量的有关概念判断分析每一个选项得解.
【解析】A. 若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；
B. 若为空间的一个基底，则不共面，则不共面，则构成空间的另一个基底，所以该选项正确；
C. 若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；
D. 若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.
故选BC
【点睛】本题主要考查平面向量的有关概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
42．（江苏省南通市通州区、海安县2019-2020学年高二上学期期末数学试题）设，，是空间一个基底，则
A．若⊥，⊥，则⊥
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组(x，y，z)，使
D．则＋，＋，＋一定能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【分析】根据基底的概念，对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【解析】对于A选项，与都垂直，夹角不一定是，所以A选项错误.
对于B选项，根据基底的概念可知，，两两共面，但，，不可能共面.
对于C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.
对于D选项，由于，，是空间一个基底，所以，，不共面.假设＋，＋，＋共面，设，化简得，即，所以，，共面，这与已知矛盾，所以＋，＋，＋不共面，可以作为基底.所以D选项正确.
故选BCD
【点睛】本小题主要考查平面向量基本定理，考查基底的概念，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
43．（福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则

A．点的坐标为
B．点关于点对称的点为
C．点关于直线对称的点为
D．点关于平面对称的点为
【答案】ACD
【分析】根据点关于点，点关于直线，点关于平面的对称法则，依次判断每个选项得到答案.
【解析】根据题意知：点的坐标为，正确；
的坐标为，坐标为，故点关于点对称的点为，错误；
点关于直线对称的点为，正确；
点关于平面对称的点为，正确；
故选.
【点睛】本题考查了空间中的对称问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
44．（福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是
A．平面 B．平面
C． D．点与点到平面的距离相等
【答案】AC
【分析】对A,根据判定即可.
对B,建立空间直角坐标系证明与平面中的不垂直即可.
对C, 建立空间直角坐标系计算即可.
对D,判断点与点的中点是否在平面上即可.
【解析】对A,因为,分别是和的中点故,故平面成立.
对B,建立如图空间直角坐标系,设正方体边长为2则，.故.故不互相垂直.又属于平面.故平面不成立.
对C,同B空间直角坐标系有,
.故成立.
对D, 点与点到平面的距离相等则点与点中点在平面上.连接易得平面即平面.又点与点中点在上,故点不在平面上.故D不成立.

故选AC
【点睛】本题主要考查了空间中的线面关系和利用空间直角坐标系判定垂直的方法与空间向量的运算等.属于中档题.
45．（山东省威海市文登区2019-2020学年高二上学期期末数学试题）正方体的棱长为，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】以、、为基底表示各选项中的向量，利用空间数量积的定义和运算律可判断各选项中数量积的正误.
【解析】如下图所示：

对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项正确；
对于C选项，，C选项正确；
对于D选项，，D选项错误.
故选BC.
【点睛】本题考查空间向量数量积的运算，涉及空间向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.
46．（福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理科）数学试题）如图，正方体的棱长为1，是的中点，则

A．直线平面 B．
C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；
【解析】如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，
，，，
所以，即，所以，故B正确；
，，，
设异面直线与所成的角为，则，
又，所以，故D正确；
设平面的法向量为，则，即，取，
则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；
，故C错误；
故选ABD

【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.
47．（湖南省衡阳市第一中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学试题）设是棱长为a的正方体，以下结论为正确的有
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用向量数量积的几何意义，对照选项一一验证，即可得答案；
【解析】如图所示，在正方体中，
对A，在方向上的投影为，，故A正确；
对B，在方向上的投影为，，故B错误；
对C，在方向上的投影为，，故C正确；
对D，在方向上的投影为，，故D错误；
故选AC.

【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用，考查空间想象能力、运算求解能力.
48．（海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考数学试题）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是

A． B．点必在线段上
C． D．平面
【答案】BD
【分析】根据三棱锥体积公式求得，知错误；以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得到，，垂直于平面的法向量，由此可确定的正误.
【解析】对于，在平面上，平面平面，
到平面即为到平面的距离，即为正方体棱长，
，错误；
对于，以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则，，，，，
，，，
，，，即，
，，即三点共线，
必在线段上，正确；
对于，，，，
与不垂直，错误；
对于，，，，，，
设平面的法向量，
，令，则，，，
，即，平面，正确.
故选.
【点睛】本题考查立体几何中动点问题相关命题的辨析，涉及到三棱锥体积公式、动点轨迹、线线垂直关系和线面平行关系等知识；解题关键是熟练应用空间向量法来验证相关结论.
49．（山东省宁阳县第四中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）给出下列命题，其中正确命题有
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
【答案】ABCD
【分析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解，得到答案.
【解析】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，根据空间基底的概念，可得正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，
又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；
选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．
故选ABCD.
【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
50．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学试题）关于空间向量，以下说法正确的是
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若，则是钝角
【答案】ABC
【分析】根据共线向量的概念，可判定A是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B是正确的；根据空间基底的概念，可判定C正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D不正确.
【解析】对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；
对于B中，若对空间中任意一点，有，根据空间向量的基本定理，可得四点一定共面，所以是正确的；
对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量，也不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的；
对于D中，若，又由，所以，所以不正确.
故选ABC.
【点睛】本题主要考查了空间的向量的共线定理、共面定理的应用，基底的概念与判定，以及向量的夹角的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
51．（河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则

A．
B．平面平面
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】CD
【分析】以为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算值即可判断A；分别求出平面，平面的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B；利用等体积法，求出三棱锥的体积即可判断C；三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故求出长方体的外接球的表面积即可判断D.
【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，
所以，，
因为，所以与不垂直，故A错误；
，
设平面的一个法向量为，则
由，得，所以，
不妨取，则，，所以，
同理可得设平面的一个法向量为，
故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；
在长方体中，平面，
故是三棱锥的高，
所以，故C正确；
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
故外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.
故选CD.
【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.
52．（2020届山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中高三数学模拟试题）在长方体中，，，分别是上的动点，下列结论正确的是
A．对于任意给定的点，存在点使得
B．对于任意给定的点，存在点使得
C．当时，
D．当时，平面
【答案】ABD
【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算，，，，得到答案.
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，
设，得到，.
，，，当时，，正确；
，，取时，，正确；
，则，
，此时，错误；
，则，，
设平面的法向量为，则，解得，
故，故平面，正确.
故选.

【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.
三、填空题
53．（河北省邢台市第二中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学试题）在正方体中，点分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为___________.
【答案】
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用直线和直线的方向向量，计算出线线角的余弦值，由此求得线线角的大小.
【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体边长为，故，所以，设直线和直线所成角为，则，所以.

【点睛】本小题主要考查利用空间向量法求异面直线所成的角，考查空间向量的运算，属于基础题.
54．（广东省东莞四中2019-2020学年高一下学期6月段考数学试题）空间两点，之间的距离为，则实数____________.
【答案】
【分析】利用空间中两点间距离公式可直接构造方程求得结果.
【解析】，
，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用，属于基础题.
55．（江苏省扬州市江都区大桥高级中学2019-2020学年高一下学期学情调研（一）数学试题）空间两点，间的距离为_____．
【答案】
【分析】根据空间中两点间的距离公式即可得到答案
【解析】由空间中两点间的距离公式可得; ;
故距离为3
【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题。
56．（浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高二下学期6月月考数学试题）正三棱柱中，，，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为_______．
【答案】
【分析】画出图形，根据条件可得出，然后根据条件即可求出，并求出，从而根据向量夹角的余弦公式求出，从而可得出异面直线与成角的大小．
【解析】如图，

，，
且，侧棱和底面垂直，
∴
，

∴，且，
∴，∴异面直线与成角的大小为．
故答案为：．
【点睛】解答本题时还可以建立空间直角坐标系，用坐标形式下的向量运算求解.
57．（陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二上学期第三次阶段性考试数学（理）试题）在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为__________.
【答案】
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得向量与向量所成的角.
【解析】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、，，，
，
，则.
因此，向量与向量所成的角为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用空间向量法求解向量所成的角，考查计算能力，属于基础题.
58．（安徽省滁州市定远县民族中学2019-2020学年高二下学期6月月考数学（理）试题）若同方向的单位向量是________________
【答案】
【解析】与同方向的单位向量是.
59．（四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二下学期第三次月考数学（理）试题）已知平面的一个法向量，，，且，则直线与平面所成的角为______．
【答案】
【分析】设直线与平面所成的角为， 由，利用空间向量的数量积即可求解.
【解析】设直线与平面所成的角为，
则，
∴直线与平面所成的角为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了空间向量法求线面角，熟记公式是解题的关键，属于基础题.
60．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.
【答案】2
【解析】由三点共线得向量与共线，即，，，解得，，∴．
61．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高一6月阶段性考试数学试题）如图所示，在长方体中，，，，是与的交点，则点的坐标是__________．

【答案】
【解析】因为几何体是正方体，在坐标系中，
的横坐标为，纵坐标为，竖坐标为，
是点与的中点，所以.
62．（青海省海东市第二中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（文）试题）在空间直角坐标系中，已知、两点之间的距离为7，则=_______．
【答案】或
【分析】由题意结合空间直角坐标系中两点间距离公式列方程即可得解.
【解析】因为在空间直角坐标系中，、，
所以、两点之间的距离，
解得，.
故答案为：或.
【点睛】本题考查了空间直角坐标系中两点间距离公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
63．（上海市嘉定区封浜高级中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题）已知空间直角坐标系中，某二面角的大小为，，半平面和的一个法向量分别为，，则______（结果用反三角函数值表示）.
【答案】
【分析】根据向量数量积求向量夹角，再根据二面角与向量夹角关系得结果.
【解析】因为，，
所以，
因为 ，所以
故答案为：
【点睛】本题考查求二面角、根据向量数量积求向量夹角，考查基本分析求解能力，属基础题.
64．（江西省新余市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则______.
【答案】3
【分析】根据向量的垂直关系计算即可.
【解析】因为直线与平面垂直，为直线的一个方向向量，向量与平面平行，所以，即，解得
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标运算，考查了直线的方向向量，属于容易题.
65．（江苏省南通市如东高级中学2019-2020学年高一下学期6月第二次阶段测试数学试题）在四面体中，、分别是、的中点，若记，，，则______.

【答案】
【分析】利用三角形加法运算法则得出，再根据平行四边形运算法则和向量减法运算，即可化简求出结果.
【解析】在四面体中，、分别是、的中点，
则



.
故答案为：.
【点睛】本题考查空间向量的加减法运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
66．（山东省泰安市新泰一中2019-2020学年高二上学期第二次质量检测考试数学试题）在一直角坐标系中，已知，，现沿x轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为__________．
【答案】
【分析】通过用向量的数量积转化求解距离即可
【解析】在直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成的二面角后，在平面上的射影为，作轴，交轴于点，
所以,
所以
，
所以,
故答案为：

【点睛】此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.
67．（安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理）试题）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是__________.

【答案】
【解析】以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
设 ，因此 ,
设平面一个法向量为 ，
取
因此直线与平面所成角的正弦值是.

68．（新疆实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）已知向量，且，则____________．
【答案】3
【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可.
【解析】因为，
所以，
可得，
因为，解得，故答案为3.
69．（浙江省衢州四校2019-2020学年高二上学期期中数学试题）已知向量，，，若，则______，若共面，则______.
【答案】，
【分析】由，可得，列方程可求出的值；由可知存在一对实数，使，从而可求出的值
【解析】因为，所以，
即，解得，
因为，，所以不共线，
因为共面，所以存在一对实数，使，
所以
所以，解得，故答案为：；
【点睛】此题考查空间向量垂直，空间向量共面等知识，属于基础题.
70．（河南省新乡市2020届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题）直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且∠ABC＝120°，点E在边BC上，且满足BE＝3EC，动点M在该四棱柱的表面上运动，并且总保持ME⊥BD1，则动点M的轨迹围成的图形的面积为_____；当MC与平面ABCD所成角最大时，异面直线MC1与AC所成角的余弦值为_____．
【答案】15，
【分析】由题意可知的轨迹为过E且与直线垂直的平面与直四棱柱的截面的边界，根据直棱柱的结构特征和底面棱形的性质，由线面垂直的定义可得截面与下底面的截线是与AC平行的，进而确定截面与与AB的交点F，建立空间直角坐标系，利用坐标方法求得截面与的交点G，进而得到所求面积，根据线面角的定义可得M与G重合时MC与平面ABCD所成角最大，利用空间向量可求异面直线所成角的余弦值.
【解析】如图，在直四棱柱中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面，

所以平面，所以．
在上取，使得，连接，则，．
记与的交点为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．
在上取一点，记为，于是，．
由，得，即，
所以的边为点的运动轨迹．
由题意得，，
动点的轨迹围成的图形的面积为．
显然当与重合时，与平面所成角最大．
因为，，所以．
因为的一个方向向量为，所以，
即异面直线与所成角的余弦值为．
【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间动点的轨迹，涉及线面垂直的判定与性质，异面直线所成的角，线面角，利用空间直角坐标系和空间向量确定点的位置和求异面直线所成的角，考查直观想象与数学运算的核心素养．属中档题，难度较大.
71．（2020年浙江省新高考名校联考信息卷（六））如图，在菱形中，，分别是的中点，若线段有一点满足，则__________，______．

【答案】，
【分析】先利用平面向量基本定理得到，结合题意，即可求出的值；根据平面向量的数量积即可求出.
【解析】设，在菱形中，分别是的中点，
所以
，
又，所以，解得，所以，
所以，
因为在菱形中，，
所以.
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及平面向量的数量积，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
72．（北京市怀柔区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）已知平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面上任意一点，则向量______，点的坐标满足的方程是______．
【答案】，
【分析】由题意，利用向量坐标运算法则能求出向量，再由平面的一个法向量是，得到＝0，由此能求出点的坐标满足的方程．
【解析】∵平面α的一个法向量是，且点在平面上，是平面上任意一点，
∴向量＝，∴＝，∴点的坐标满足的方程是．
故答案为：，
【点睛】本题考查向量的求法，考查平面向量坐标运算法则、法向量等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
73．（浙江省环大罗山联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题）在空间直角坐标系中，已知点与点，则_____，若在z轴上有一点M满足|MA|=|MB|，则点M坐标为_____．
【答案】，
【分析】利用空间两点间的距离公式直接求得的值，设M（0，0，a），则|MA|=|MB|，由此利用两点间距离公式能求出M的坐标．
【解析】∵点点，∴
在空间直角坐标系中，z轴上有一个点M到点A（1，0，2）与点B（1，﹣3，1）的距离相等，设M（0，0，a），则|MA|=|MB|，
即=，解得a=﹣3，
∴M（0，0，﹣3）．故答案为，（0，0，﹣3）．
【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
74．（浙江省“9 1”高中联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题）空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是______，______.
【答案】 ，
【分析】①空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标横坐标不变，纵坐标和竖坐标分别与的纵坐标和竖坐标互为相反数即；
②利用空间直角坐标系中两点距离公式即可求得.
【解析】①空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标横坐标不变，纵坐标和竖坐标分别与的纵坐标和竖坐标互为相反数即；
②利用空间直角坐标系中两点距离公式即可求得.
故答案为：①；②
【点睛】此题考查空间直角坐标系中，点的坐标表示和求已知点关于某条轴的对称点，两点距离公式，属于简单题目.
75．（福建省福州第一中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题）正方体的棱长为，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为______，和该截面所成角的正弦值为______．
【答案】，
【分析】取中点，中点，中点，连结、、、、、，推导出平面平面，过且与平行的平面截正方体所得截面为，由此能求出过且与平行的平面截正方体所得截面的面积；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出和该截面所成角的正弦值．
【解析】取中点，中点，中点，连结、、、、、，

∵，，，，
∴平面平面，
∴过且与平行的平面截正方体所得截面为，
∵，，四边形是矩形，
∴过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为：；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设和该截面所成角为，则，
∴和该截面所成角的正弦值为．
故答案为；．
【点睛】本题考查截面面积的求法，考查线面角的正弦值的求法，熟记面面平行的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型．
76．（浙江省宁波市九校2019-2020学年高二上学期期末联考数学试题）在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______，异面直线与所成角的余弦值为______.
【答案】，
【分析】(1)画图利用空间向量的加减法运算求解即可.
(2)将用,,表示,再用空间向量的夹角公式求解即可.
【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则

(1) .
(2)由(1) ,又.
又.
设异面直线与所成角为则
.
故答案为：(1). . (2).
【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算与空间向量夹角的问题,可以用基本量去表示要求的向量,再利用数量积中的夹角公式求解.属于中档题.