13.基础小卷速测（十三） 特殊四边形相关的折叠问题

基础小卷速测（十三）  特殊四边形相关的折叠问题

一、选择题

1. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（　　）

A．66°   B．104°   C．114°   D．124°

2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE沿BE折叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（　　）

1.                B.                    C.                D.

3．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（   ）

A.3               B.   4                 C.  5              D.6

二、填空题

4． 如图，折叠矩形纸片ABCD，得折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DF．若AB=4，BC=2，则AF= _________．

5. 如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为________ cm2．

6.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F 为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为_______.

三、解答题

7．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O.

求证：OA=OE

8.如图，将□ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E，连接BE

   （1）求证：四边形是平行四边形

   （2）若BE平分∠ABC，求证：

9． 如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积。

10．将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=4，BC=8，
①求菱形的边长；
②求折痕EF的长．

参考答案

1. C．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.
2．B 【解析】设CE=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2=52-32=16，
∴AF=4，DF=5-4=1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，
即x2=（3-x）2+12，
解得x=．
3．B[解析]由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9-x）cm，
∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9-x）2=32+x2，
解得x=4，即CH=4cm．
4．-1

5. 6【解析】∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE=ED．
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．
∴BE=9-AE，
根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．
∴32+AE2=（9-AE）2．
解得AE=4cm．∴△ABE的面积为×3×4=6（cm2）．
6.【解析】作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，

过F作FG⊥CD于G，

在Rt△E′FG中，GE′=CD-BE-BF=4-1-2=1，GF=4，

7．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，由折叠可知∠EBD=∠CBD，BE=BC，∴∠EBD=∠ADB，∴BO=DO，∵AD= BE，∴AD - DO = BE- BO ，即OA=OE.

8.证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE=AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
 

∴四边形BCED′是平行四边形；

（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB2=AE2+BE2．

9．解：（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，那么AD∥BC，AB∥CD，所以∠FAC=∠ACE，∠BAC=∠DCA。由折叠可得∠BAE=∠EAC=∠BAC，∠DCF=∠NCF=∠DCA，所以∠EAC=∠FCA。又因为AC=CA，所以△CAE△ACF，所以CE=AF。即四边形AECF是平行四边形。

（2）因为AB=6，AC=10，由勾股定理，得BC=8.设EM=x，那么BE=EM=x，所以CE=BC-BE=8-x，CM=AC-AM=AC-AB=10-6=4.在Rt△CEM中，由勾股定理，得EM2+CM2=CE2，所以x2+42=(8-x)2，解得x=3。所以四边形AECF的面积=2△ACE的面积=2×AC×EM=30.

10． 证明：（1）∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，
 

∴△AOF≌△COE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）①设菱形的边长为x，则BE=BC-CE=8-x，AE=x，
在Rt△ABE中，∵BE2+AB2=AE2，
∴（8-x）2+42=x2，解得x=5，
即菱形的边长为5；
②在Rt△ABC中，

∴OA=AC=2，
在Rt△AOE中，AE=5，
 

∴EF=2OE=2．