12.基础小卷速测（十二） 特殊四边形之间的区别与联系
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一、选择题
1. 下列性质中，菱形对角线不具有的是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线所在直线是对称轴
C．对角线相等
D．对角线互相平分
2． 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．24 B．16 C．2 D．4
3． 若四边形的两条对角线分别平分两组对角，则该四边形一定是（ ）
A．平行四边形 | B．菱形 | C．矩形 | D．正方形 |
4. 平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AC平分∠BCD，②AC⊥BD，③OA=OC，④OB=OC，⑤∠BAD+∠BCD=180°，⑥AB=BC．从中任选两个条件，能使平行四边形ABCD为正方形的选法有
（ ）
A．3种 | B．6种 | C．7种 | D．8种 |
5． 如图，在矩形ABCD中，有以下结论：
①△AOB是等腰三角形；②S△ABO=S△ADO；③AC=BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD=45°时，矩形ABCD会变成正方形．
正确结论的个数是（ ）
A．2 | B．3 | C．4 | D．5 |
二、填空题
6. 如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理________________________________________________ ．
7． 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为 ______________________________ ．
．
8. 如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF=DC，若∠ADF=25°，则∠BEC=______________________________ ．
9． 如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，点F为垂足，那么FC=______________________________ ． ．
10.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作l的垂线，垂足别为E、F，若AE=2，CF=5，则EF的长度为______________________________ ． ．
三、解答题
11．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F．求证：DF＝BE．
12．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
13.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.
（1）求证：△PHC≌△CFP；
（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系.
14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别延长OA、OC到点E、F，使AE＝CF，依次连接B、F、D、E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC＝50°，当∠EBA＝_________°时，四边形BFDE是正方形．
参考答案
1. C．
2．D
3．B【解析】
∵BD平分∠ABC、∠ADC，
∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ADC，
∵∠BAD+∠1+∠3=180°，∠BCD+∠2+∠4=180°，
∴∠BAD=∠BCD，
同理：∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠1=∠3，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
4. B．
5．C．【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=DO=CO，AC=BD，故①③正确；
∵BO=DO，
∴S△ABO=S△ADO，故②正确；
当∠ABD=45°时，
则∠AOD=90°，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD变成正方形，故⑤正确，
而④不一定正确，矩形的对角线只是相等，
∴正确结论的个数是4个．
6. 对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 ．
7．30°或60°．【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAC=60°，∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
8. 115°
9．-1
10.3【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∵CF⊥BE，AE⊥BE，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠FBC=∠EAB，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE=BF=2，BE=CF=5，
∴EF=BE-BF=5-2=3．
11．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠ABC＝∠ADC．
∴∠CBE＝∠CDF
∵CF⊥AD，CE⊥AB
∴∠CFD＝∠CEB＝90°
在△CBE和△CDF中
∠CEB＝∠CFD，∠CBE＝∠CDF，CB＝CD，
∴△CEB≌△CFD
∴DF＝BE．
法二：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，AC平分∠DAB
∵CF⊥AD，CE⊥AB
∴CE＝CF
∴∠CFD＝∠CEB＝90°
在△CBE和△CDF中
CB＝CD，CE＝CF
∴Rt△CEB≌Rt△CFD（HL）
∴DF＝BE．
12．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴∠EFB+∠CFD=90°，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠CFD，
在△BEF和△CFD中，
，
∴△BEF≌△CFD（ASA），
13.证明: ∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，AD∥BC
又∵EF∥AB，AD∥GH ∴ EF∥CD，BC∥GH
∴∠CPF＝∠HCP, ∠CPH＝∠PCF
∵CP＝CP , ∴△PHC≌△CFP
证明，由（1）知AB∥EF∥CD, AD∥GH∥BC,
∴四边形PEDH和四边形PGBF都是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形。
∴∠D＝∠B＝90°
∴四边形PEDH和四边形PGBF都是矩形
∴
14． （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC．
∴∠BAC＝∠BCA．
∴∠BAE＝∠BCF．
在△BAE和△BCF中，，
∴△BAE≌△BCF（SAS）．
（2）20．
