7.基础小卷速测（七） 二次函数的实际应用

基础小卷速测（七） 二次函数的实际应用

一、选择题

1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足下面的函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(    )

A．1 m    B．5 m    C．6 m    D．7 m

2．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图50所示，若小球在发射后第2 s与第6 s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是(    )

A．第3 s    B．第3.5 s    C．第4.2 s    D．第6.5 s

3．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2＋bx＋c的一部分，如图53，其中出球点B离地面O点的距离是1 m，球落地点A到O点的距离是4 m，那么这条抛物线的解析式是(    )

A．y＝－x2＋x＋1    B．y＝－x2＋x－1   

C．y＝－x2－x＋1    D．y＝－x2－x－1

4．用总长为32 m的篱笆墙围成一个扇形的花园．若使扇形的面积y  m2最大，则扇形的半径x m等于(    )

A．8 m    B． m    C． m    D．15 m

5．如图5，某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为(    )

A．50 m    B．100 m    C．160 m    D．200 m

二、填空题

6．如图69的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线的解析式是______．

7．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，如图30所示，则厂门的高为______m(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)．

8．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 )，中间用两道墙隔开，如图56．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为______2．

9．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．若第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝______．

10．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图66所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m．

(1)若花园的面积为192 m2，则x＝______；

(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园面积的最大值是______m2．

三、解答题

11．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．

(1)请直接写出y与x的函数关系式；

(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？

(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

12．为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v()是车流密度x(辆/)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/时，造成堵塞，此时车流速度为0 ；当车流密度为20辆/时，车流速度为80 ．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)求彩虹桥上车流密度为100辆/时的车流速度；

(2)在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40 且小于60 ，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？

(3)当车流量(辆/)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．

13．某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“梦想中国秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该店代理的品牌服装进价为每件40元，该品牌服装日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系可用图71中的一条折线(实线)来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元(不包含债务)．

(1)求日销售量(件)和销售价(元/件)之间的函数关系式；

(2若该店暂不考虑偿还债务，当天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡(收入＝支出)，求该店员工的人数；

(3)若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？

参考答案

1．C  [解析]抛物线的顶点坐标是(1，6)．   

2．C　[解析]抛物线的对称轴是t＝4．｜t－4｜越小，t所对应的高度h越大．故选C．   

3．A  [解析]将B(0，1)，A(4，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得

∴这条抛物线的解析式是y＝－x2＋x＋1，故选A．   

4．A  [解析]弧长为32－2x．y＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，∴当x＝8时，扇形的面积最大．

5．C　[解析]建立如图1所示的直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2＋b．将点(0，)和点(1，0)的坐标代入求得a＝－，b＝0.5，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋．

显然A点的坐标为(，0)，C点坐标为(，0)．把x＝代入抛物线解析式得y＝，即AB＝；把x＝代入抛物线解析式得y＝，即CD＝．

∴这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为(＋)×2×100＝160(m)．

6．y＝－(x＋6)2＋4   

7．6.9  [解析]以抛物线的对称轴为y轴，对称轴与地面的交点为坐标原点建立直角坐标系，则可设抛物线的解析式为y＝ax2＋h．∵抛物线经过点(－4，0)和(－3，3)．∴解得a＝，h＝≈6.9，∴厂门高约为6.9 m．

8．432  [解析]设总占地面积为S 2，与墙垂直的边的长度为x ，

则与墙平行的边的长度为(48－4x)，其中0＜x＜12．

∴S＝x(48－x)＝－(x－24)2＋576．

∵抛物线的开口向下，∴x＜24时，S随x的增大而增大．

∴x＝12时，S可取得最大值，最大值为＝12×(48－12)＝432．

9．1.6秒　[解析]设小球离地的高度为y米，则第一个小球y与t之间的关系式为

y1＝a(t－1.1)2＋h．

第二个小球y与t之间的关系式为

y2＝a(t－1－1.1)2＋h，即y2＝a(t－2.1)2＋h．

令y1＝y2，得a(t－1.1)2＋h＝a(t－2.1)2＋h，

解得t＝1.6．

10．(1)12或16；(2)195

[解析](1)由题意，得x(28－x)＝192．

解这个方程，得x1＝12，x2＝16．

(2)花园面积S＝x(28－x)＝－(x－14)2＋196．

由题意，知解得6≤x≤13．

在6≤x≤13范围内，S随x的增大而增大．

∴当x＝13时，S最大＝－(13－14) 2＋196＝195(m2)．

11．解：(1)y＝－2x＋80。

(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，

根据题意得：(x－20)y＝150，

则(x－20)(－2x＋80)＝150，

整理得：x2－60x＋875＝0，

(x－25)(x－35)＝0，

解得：x1＝25，x2＝35(不合题意，舍去)，

答：每本纪念册的销售单价是25元.

(3)由题意可得：

w＝(x－20)(－2x＋80)

＝－2x2＋120x－1600

＝－2(x－30)2＋200，

此时当x＝30时，w最大，

又∵售价不低于20元且不高于28元，

∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x＝28时，w最大＝－2(28－30)2＋200＝192(元)，

答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．

12．解：(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系为v＝kx＋b．由题意，得

解得

∴当20≤x≤220时，v＝－x＋88．

当x＝100时，v＝48()．

(2)由题意，得

解得70＜x＜120．

∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内．

(3)当20≤x≤220时，

y＝vx＝(－x＋88)x＝－(x－110)2＋4840．

∴当x＝110时，y最大＝4840．

∴当车流密度是110辆/，车流量y取得最大值4840辆/．

13．解：(1)当40≤x＜58时，设函数关系式为y＝kx＋b．

把x＝40，y＝60和x＝58，y＝24分别代入y＝kx＋b，得

解得

所以y＝－2x＋140．

当58x≤x≤71时，设函数关系式为y＝mx＋n．

把x＝58，y＝24和x＝71，y＝11分别代入y＝mx＋n，得

解得

所以y＝－x＋82．

(2)设该店员工为a人．

把x＝48代入y＝－2x＋140，得y＝－2×48＋140＝44．

由题意(48－40)×44＝82a＋106，解得a＝3．

即该店员工为3人．

(3)设该店每天的销售利润为W元，则W＝(x－40)y．

①当40≤x＜58时，W＝(x－40)(－2x＋140)＝－2x2＋220x－5600．

即W＝－2(x－55)2＋450．

当x＝55时，W有最大值为450.

②当58≤x≤71时，W＝(x－40)(－x＋82)＝－x2＋122x－3280．

即W＝－(x－61)2＋441．

当x＝61时，W有最大值为441．

综上可知，当x＝55时，每天可获得最大利润450元．

(38400＋30000)÷(450－82×2－106)＝380(天)．

即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．