8.基础小卷速测（八） 函数及其图象综合

基础小卷速测（八）   函数及其图象综合

一、选择题

1．二次函数y＝ax2＋b(b＞0)与反比例函数y＝在同一坐标系中的图象可能是(　　)

2．已知一个函数图象经过(1，－4)，(2，－2)两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是(    )

A．正比例函数    B．一次函数    C．反比例函数    D．二次函数

3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图89所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象大致为(　　)

4．如图(1)，从矩形纸片AMEF中剪去矩形BCDM后，动点P从点B出发，沿BC，CD，DE，EF运动到点F停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图(2)所示，则图形ABCDEF的面积是(    )

A．32    B．34    C．36    D．48

5．已知整数x满足－5≤x≤5，y1＝x＋1，y2＝－2x＋4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是(    )

A．1    B．2    C．24    D．－9

6．如图30，正方形ABCD的边长为3 cm，动点P从B点出发以3 cm/s的速度沿着边BC→CD→DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发以1 cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动，设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是(    )

二、填空题

7．如图32，直线y＝kx＋b经过A(3，1)和B(6，0)两点，则不等式组0＜kx＋b＜x的解集为______．

8．若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是______．

9．如图5(1)，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2 cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P，Q同时停止移动．设点P出发x s时，△PAQ的面积为y cm2，y与x的函数图象如图5②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为______．

10．若直线y＝m(m为常数)与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是______．

11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上且经过点(1，1)，双曲线y＝经过点(a，bc)，给出下列结论：①bc＞0；②b＋c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋＝0的两个实数根；④a－b－c≥3．其中正确结论是______(填写序号)．

三、解答题

12．我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15－20℃的新品种，如图60是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分，请根据图中信息解答下列问题：

(1)求k的值；

(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？

13．如图72，已知一次函数y1＝k1x＋b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C，D两点，点D(2，－3)，点B是线段AD的中点．

(1)求一次函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝的解析式；

(2)求△COD的面积；

(3)直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．

14．如图78，将—矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的—个动点(不与点A，N重合)，过点E的反比例函数y＝(x＞0)的图象与边BC交于点F．

(1)若△OAE、△OCF的面积分别为S1、S2，且S1＋S2＝2，求k的值；

(2)若OA＝2，OC＝4．问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大，其最大值为多少？

15．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在x天销售的相关信息如表所示．

(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？

(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；

(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？

参考答案

1．B    2．D　[解析](1)正比例函数不可能同时经过给定的两个点；(2)经过给点两点的一次函数是y＝2x－6，y随x的增大始终增大；(3)经过给点两点的反比例函数是y＝－，在每个象限内，y随x的增大而增大．只有二次函数可能符合所给条件，故选D．    3．B    4．C　[解析]由图形和图象可知BC＝4，CD＝3，DE＝2，EF＝8，∴S＝6×8－4×3＝48－12＝36．故选C．

5．B  [解析]m关于x的图象如图3所示(即图中折线B→A→C)．解方程组得点A的坐标(1，2)．∴m的最大值是2．

6．C　[解析]由题意可得BQ＝x．

①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP＝3x，

则△BPQ的面积＝BP•BQ，

即y＝•3x•x＝x2．故A选项错误；

②1＜x≤2时，P点在CD边上，

则△BPQ的面积＝BQ•BC，

即y＝•x•3＝x．故B选项错误；

③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP＝9－3x，

则△BPQ的面积＝AP•BQ，

即y＝•(9－3x)•x＝x－x2．故D选项错误．

综上所述，只有选项C中的图象符合题意，故选C．

7．3＜x＜6　[解析]直线OA的解析式为y＝x．由图象可知，不等式kx＋b＞0的解集为x＜6；不等式kx＋b＜x的解集为x＞3．所以不等式组0＜kx＋b＜x的解集为3＜x＜6．    8．k＞且k≠0　[解析]将方程组消去y，得－kx＋2k＋2＝．整理得kx2－(2k＋2)x＋k＝0．根依题意，得△＝(2k＋2)2－4k2＞0．解得k＞．又k≠0．故答案为k＞且k≠0．    9．y＝－3x＋18　[解析]设正方形的边长为a．当0≤x≤时，y＝(a－x)·2x＝－x2＋ax＝－(x－)2＋．当x＝，即点P运动到AD中点(点Q到了B点)时，y最大，最大值为．由图象可知＝9．∴a＝6．于是可知点E的坐标为(3，9)，点F的坐标为(6，0)．由点E(3，9)和F(6，0)可知直线EF的解析式为y＝－3x＋18．

10．0＜m＜2  [解析]函数y的图象如图4所示(抛物线和双曲线的实线部分)．由图象可知，当0＜m＜2时，直线y＝m与图象有三个不同的交点；当m＝2时，直线y＝m与图象有两个不同的交点；当m＞2或m＝0时，直线y＝m与图象有一个交点；当m＜0时，直线y＝m与图象没有交点．

11．①③　[解析](1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上且经过点(1，1)，

∴a＞0，a＋b＋c＝1．

∵双曲线y＝经过点(a，bc)，

∴abc＝．

∴bc＞0，故①正确；

(2)∵b＋c＝1－a，

∴当a≥1时，1－a≤0，从而b＋c≤0，故②错误；

(3)∵x2＋(a－1)x＋＝0可以化为x2＋(b＋c)x＋bc＝0，

解得x1＝b或x2＝c，故③正确；

(4)∵a－b－c＝a－(b＋c)＝a－(1－a)＝2a－1，

∴当0＜a＜2时，－1＜2a－1＜3，故④错误．

综上所述，正确结论的序号是①③．

12．解：(1)把B(12，20)代入y＝中，得

k＝12×20＝240．

(2)当0≤x≤2时，设图象的解析式为y＝mx＋n．

把(0，10)，(2，20)代入y＝mx＋n中，得

解得

∴解析式为y＝5x＋10(0≤x≤2)．

将y＝15代入y＝5x＋10，得15＝5x＋10，解得x＝1；

将y＝15代入y＝，得15＝，解得x＝16．

16－1＝15．

答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．

13．解：(1)∵D(2，－3)在y2＝上，∴k2＝2×(－3)＝－6．

∴y2＝－．

过点D作DE⊥x轴，垂足为E．

∵D(2，－3)，B是AD中点，∴A(－2，0)．

∵A(－2，0)，D(2，－3)在y1＝k1x＋b图象上，

∴解得

∴y1＝－x－．

(2)由解得C(－4，)．

S△COD＝S△AOC＋S△AOD＝×2×＋×2×3＝．

(3)当x＜－4或0＜x＜2时，y1＞y2．

14．解：(1)∵点E，F在函数y＝(x＞0)的图象上，∴设E(x1，)(x1＞0)，F(x2，)(x2＞0)．

∴S1＝·x1·＝，S2＝·x2·＝． 

∵S1＋S2＝2，∴＋＝2．

∴k＝2．

(2)∵四边形OABC为矩形，OA＝2，OC＝4，∴可设E(，2)，F(4，)．

∴BE＝4－，BF＝2－．

∴S△BEF＝(4－)(2－)＝k2－k＋4．

∵S△OCF＝×4×＝，S矩形OABC＝2×4＝8，

∴S四边形OAEF＝S矩形OABC－S△BEF－S△OCF＝8－(k2－k＋4)－＝－k2＋＋4＝－(k－4)2＋5．

∴当k＝4时，S四边形OAEF＝5．此时AE＝2．

故当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5．

15．解：(1)当1≤x≤20时，令30＋x＝35，得x＝10．

当21≤x≤40时，令20＋＝35，得x＝35．

即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．

(2)当1≤x≤20时，y＝(30＋x－20)(50－x)＝－x2＋15x＋500，

当21≤x≤40时，y＝(20＋－20)(50－x)＝－525．

即y＝

(3)当1≤x≤20时，y＝－x2＋15x＋500＝－(x－15)2＋612.5．

∵－＜0，∴当x＝15时，y有最大值y1，且y1＝612.5．

当21≤x≤40时，∵26250＞0，∴随x的增大而减小．

∴当x＝21时，最大．

于是，x＝21时，y＝－525有最大值y2，且y2＝－525＝725．

∵y1＜y2，

∴这40天中第21天时该网站获得利润最大，最大利润为725元．