高中数学3.1 椭圆优秀课后作业题

这是一份高中数学3.1 椭圆优秀课后作业题，共10页。试卷主要包含了已知动点M到直线l等内容，欢迎下载使用。

(60分钟 100分)


基础篇





1．(5分)若点P(a，1)在椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,3)＝1的外部，则a的取值范围为( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))


B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))


D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))


2.(5分)已知点(3，2)在椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)上，则点(－3，3)与椭圆的位置关系是__________．


3．(5分)(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是( )


A.eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3)


C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3)


4．(5分)直线y＝x＋2与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )


A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)


C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)


5．(5分)若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数是( )


A．至多为1 B．2


C．1 D．0


6.(5分)若直线y＝2x＋b与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1无公共点，则b的取值范围为____________．


7．(5分)在椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1内，通过点M(1，1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )


A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0


C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0


8．(5分)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过F点的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )


A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1


C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1


9.(5分)椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝eq \f(1,2)x＋1截得的弦长为__________．


10.(5分)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点，若|PQ|＝eq \r(10)，则椭圆方程为_________________________．


提升篇





11.(5分)(多选)已知直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1，则( )


A．直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)


B．方程 eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1表示椭圆的条件为m>0


C．方程eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1表示椭圆的条件为0

D．直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5


12．(5分)直线y＝x＋1被椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1所截得的弦的中点坐标是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(5,3)))


B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,3)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3)))


D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,2)，\f(17,2)))


13．(5分)斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )


A．2 B.eq \f(4\r(5),5)


C.eq \f(4\r(10),5) D.eq \f(8\r(10),5)


14.(5分)已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋eq \r(3)y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．


15.(5分)过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．


16.(5分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)，则直线l的斜率为__________．


17.(10分)已知过点A(－1，1)的直线l与椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1交于点B，C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．


18.(10分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．


(1)求动点M的轨迹C的方程；


(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是线段PB的中点，求直线m的斜率．
















































































3.1.2 椭圆的简单几何性质(第2课时)（练习）


(60分钟 100分)


基础篇





1．(5分)若点P(a，1)在椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,3)＝1的外部，则a的取值范围为( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))


B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))


D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(4,3)))


B 解析：因为点P在椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,3)＝1的外部，所以eq \f(a2,2)＋eq \f(12,3)>1，解得a>eq \f(2\r(3),3)或a<－eq \f(2\r(3),3).


2.(5分)已知点(3，2)在椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m>0，n>0)上，则点(－3，3)与椭圆的位置关系是__________．


点在椭圆外 解析：因为点(3，2)在椭圆上，所以eq \f(9,m)＋eq \f(4,n)＝1，所以eq \f(9,m)＋eq \f(9,n)>1，故点(－3，3)在椭圆外．


3．(5分)(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是( )


A.eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3)


C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3)


AB 解析：把y＝kx＋2代入eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±eq \f(\r(6),3).


4．(5分)直线y＝x＋2与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )


A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)


C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)


B 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，)) 可得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，


所以Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，解得m>1或m<0.


又因为m>0且m≠3，所以m>1且m≠3.


5．(5分)若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数是( )


A．至多为1 B．2


C．1 D．0


B 解析：由题意知：eq \f(4,\r(m2＋n2))＞2，即eq \r(m2＋n2)＜2，


所以点P(m，n)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的内部，故所求交点个数是2个．


6.(5分)若直线y＝2x＋b与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1无公共点，则b的取值范围为____________．


(－∞，－eq \r(17))∪(eq \r(17)，＋∞)


解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x＋b，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得eq \f(x2,4)＋(2x＋b)2＝1.


整理得17x2＋16bx＋4b2－4＝0，


Δ＝(16b)2－4×17(4b2－4)<0，


解得b>eq \r(17)或b<－eq \r(17).


7．(5分)在椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1内，通过点M(1，1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为( )


A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0


C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0


A 解析： 设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),16)＋\f(yeq \\al(2,1),4)＝1，①,\f(xeq \\al(2,2),16)＋\f(yeq \\al(2,2),4)＝1，②))


由①－②，


得eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,16)＋eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,4)＝0，


因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝2，,y1＋y2＝2，))所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(4（x1＋x2）,16（y1＋y2）)＝－eq \f(1,4)，


所以所求直线方程为y－1＝－eq \f(1,4)(x－1)，即x＋4y－5＝0.


8．(5分)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过F点的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )


A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1


C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1


D 解析：由椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1得


b2x2＋a2y2＝a2b2，


设A(x1，y1)，B(x2，y2)，


则eq \f(x1＋x2,2)＝1，eq \f(y1＋y2,2)＝－1，


b2xeq \\al(2,1)＋a2yeq \\al(2,1)＝a2b2，①


b2xeq \\al(2,2)＋a2yeq \\al(2,2)＝a2b2.②


由①－②得b2(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋a2(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，


b2(x1－x2)(x1＋x2)＋a2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，


2b2(x1－x2)－2a2(y1－y2)＝0，


eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(b2,a2).


又直线的斜率为k＝eq \f(0－（－1）,3－1)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2).


因为b2＝a2－c2＝a2－9，所以eq \f(a2－9,a2)＝eq \f(1,2)，


解得a2＝18，b2＝9.


故椭圆方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.


9.(5分)椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝eq \f(1,2)x＋1截得的弦长为__________．


eq \r(35) 解析：联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝16，,y＝\f(1,2)x＋1，))


消去y并化简得x2＋2x－6＝0.


设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，


则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.


所以弦长|MN|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝


eq \r(\f(5,4)[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq \r(\f(5,4)×（4＋24）)＝eq \r(35).


10.(5分)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点，若|PQ|＝eq \r(10)，则椭圆方程为_________________________．


eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 解析：因为e＝eq \f(\r(3),2)，所以b2＝eq \f(1,4)a2，


所以椭圆方程为x2＋4y2＝a2.


将椭圆方程与x＋2y＋8＝0联立，消去y，


得2x2＋16x＋64－a2＝0.


由Δ>0，得a2>32，


由弦长公式，得10＝eq \f(5,4)×[64－2(64－a2)]，


所以a2＝36，b2＝9，


所以椭圆方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1.


提升篇





11.(5分)(多选)已知直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1，则( )


A．直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)


B．方程 eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1表示椭圆的条件为m>0


C．方程eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1表示椭圆的条件为0

D．直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5


AD 解析：由于直线y＝kx＋1可以化为y－1＝k(x－0)，恒过点(0，1)，故A正确；而方程 eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1表示椭圆的条件为m>0且m≠5，故B，C错误；若直线与椭圆总有公共点，则点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0

12．(5分)直线y＝x＋1被椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1所截得的弦的中点坐标是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(5,3)))


B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,3)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3)))


D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,2)，\f(17,2)))


C 解析：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线方程y＝x＋1代入椭圆方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1中，得x2＋2(x＋1)2＝4，即3x2＋4x－2＝0，则x1＋x2＝－eq \f(4,3)，故中点横坐标x＝－eq \f(2,3)，代入直线方程中，得y＝eq \f(1,3)，则弦的中点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3))).


13．(5分)斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )


A．2 B.eq \f(4\r(5),5)


C.eq \f(4\r(10),5) D.eq \f(8\r(10),5)


C 解析：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t.


由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t，))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，


则x1＋x2＝－eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4（t2－1）,5).


所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|


＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)


＝eq \r(2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))\s\up12(2)－4×\f(4（t2－1）,5))


＝eq \f(4\r(2),5)·eq \r(5－t2).


当t＝0时，|AB|max＝eq \f(4\r(10),5).


14.(5分)已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋eq \r(3)y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．


2eq \r(7) 解析：根据题意设椭圆方程为eq \f(x2,b2＋4)＋eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)，则将x＝－eq \r(3)y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8eq \r(3)b2y－b4＋12b2＝0.因为椭圆与直线x＋eq \r(3)y＋4＝0有且仅有一个交点，所以Δ＝(8eq \r(3)b2)2－4×4(b2＋1)·(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，所以b2＝3，


长轴长为2eq \r(b2＋4)＝2eq \r(7).


15.(5分)过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．


eq \f(5,3) 解析：由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,y＝2x－2))得交点坐标．


不妨令A(0，－2)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(4,3)))，所以S△AOB＝eq \f(1,2)·|OF|·|yA－yB|＝eq \f(5,3).


16.(5分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)，则直线l的斜率为__________．


eq \f(1,2) 解析：因为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率为eq \f(\r(3),2)，四个顶点构成的四边形的面积为12，


所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(e＝\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,2ab＝12，,a2＝b2＋c2，))


解得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，


所以椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1.


设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)，


所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),12)＋\f(yeq \\al(2,1),3)＝1， ①,\f(xeq \\al(2,2),12)＋\f(yeq \\al(2,2),3)＝1， ②))


①－②得eq \f(1,12)(x1－x2)(x1＋x2)＋eq \f(1,3)(y1－y2)(y1＋y2)＝0，


所以－eq \f(1,3)(x1－x2)＋eq \f(2,3)(y1－y2)＝0，


所以直线l的斜率k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(1,2).


17.(10分)已知过点A(－1，1)的直线l与椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1交于点B，C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．


解：设直线l与椭圆的交点B(x1，y1)，C(x2，y2)，


弦BC中点M(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),8)＋\f(yeq \\al(2,1),4)＝1，①,\f(xeq \\al(2,2),8)＋\f(yeq \\al(2,2),4)＝1，②))


①－②，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),8)－\f(xeq \\al(2,2),8)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,1),4)－\f(yeq \\al(2,2),4)))＝0，


所以(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.③


当x1≠x2时，eq \f(x1＋x2,2)＝x，eq \f(y1＋y2,2)＝y，eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(y－1,x＋1)，


所以③式可化为(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·eq \f(y2－y1,x2－x1)＝0.


所以2x＋2·2y·eq \f(y－1,x＋1)＝0，化简得x2＋2y2＋x－2y＝0.


当x1＝x2时，因为点M(x，y)是线段BC中点，所以x＝－1，y＝0，显然适合上式．


综上所述，所求弦BC中点M的轨迹方程是x2＋2y2＋x－2y＝0.


18.(10分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．


(1)求动点M的轨迹C的方程；


(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是线段PB的中点，求直线m的斜率．


解：(1)点M(x，y)到直线x＝4的距离是到点N(1，0)的距离的2倍，则


|x－4|＝2eq \r(（x－1）2＋y2)，化简整理得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.


所以动点M的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.


(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知条件2x1＝0＋x2，2y1＝3＋y2.


椭圆的上、下顶点坐标分别是(0，eq \r(3))和(0，－eq \r(3))．


经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在．


设直线m的方程为y＝kx＋3.联立椭圆和直线方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋3，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))整理得(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，


则x1＋x2＝eq \f(－24k,3＋4k2)，x1·x2＝eq \f(24,3＋4k2).


eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)＝eq \f(1,2)＋2⇒eq \f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2)＝eq \f(5,2)⇒eq \f(16k2－6,3＋4k2)＝eq \f(5,2)⇒k＝±eq \f(3,2).


所以直线m的斜率为k＝±eq \f(3,2).