【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：随机变量及其分布章末检测卷（一）

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随机变量及其分布章末检测卷（一）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2023·全国·高二专题练习）随机变量服从正态分布，则标准差为（    ）
A．2 B．4 C．10 D．14
【答案】A
【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差.
【详解】因为服从正态分布可知:方差为4，故标准差为2，
故选：A
2．（2023春·山东泰安·高二统考期末）在含有3件次品的10件产品中，任取2件，恰好取到1件次品的概率为(   )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出基本事件的总数，再求出恰好取到1件次品包含的基本事件个数，由此即可求出.
【详解】含有3件次品的10件产品中，任取2件，
基本事件的总数，
恰好取到1件次品包含的基本事件个数，
恰好取到1件次品的概率.
故选:A.
3．（2023·高二课时练习）某地个贫困村中有个村是深度贫困，现从中任意选个村，下列事件中概率等于的是（    ）
A．至少有个深度贫困村 B．有个或个深度贫困村
C．有个或个深度贫困村 D．恰有个深度贫困村
【答案】B
【分析】用表示这个村庄中深度贫困村数，则服从超几何分布，故，分别求得概率，再验证选项.
【详解】用表示这个村庄中深度贫困村数，服从超几何分布，
故，
所以，
，
，
，
.
故选：B
【点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题.
4．（2023·高二单元测试）已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是.则这种产品的一级品率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率公式直接求解即可.
【详解】设事件为合格品，事件为一级品，则，，则.
故选：A.
5．（2023秋·江西上饶·高二校联考阶段练习）现在分别有两个容器，在容器里分别有7个红球和3个白球，在容器里有1个红球和9个白球，现已知从这两个容器里任意抽出了一个球，问：在抽到的是红球的情况下，是来自容器里面的球的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率的计算公式，先计算得从中抽取到一个红球的概率，和再计算抽到A容器内红球的概率，两个概率相除，可求得所求的条件概率.
【详解】个球，其中红球有个，故从中抽取到一个红球的概率为，其中属于容器的红球有个，从个球中抽取一个，得到容器的红球概率为.故所求的概率为，故选C.
【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，条件概率的计算公式为.属于基础题.
6．（2023春·北京大兴·高二校考开学考试）某人周一至周五每天6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.4，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.6，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为（    ）
A．0.3 B．0.17 C．0.16 D．0.13
【答案】C
【分析】根据全概率的计算公式即可求解.
【详解】由题意可知：小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为：
,
故选：.
7．（2023·全国·高二专题练习）设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（    ）
附：若，则，.
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
【答案】B
【分析】首先根据函数没有零点求出的取值范围，再根据没有零点的概率是，得到，再根据正态曲线的性质得到的值；然后再根据正态曲线的对称性求出的值即可．
【详解】若函数没有零点，
∴二次方程无实根，
∴，∴.
又∵没有零点的概率是0.5，
∴.
由正态曲线的对称性知，
∴，∴，，
∴，，，，
∴，，
∴
.
故选：B.
8．（2023·全国·高二专题练习）设，随机变量的分布列是









则当在内增大时（    ）
A．增大，增大 B．减小，增大
C．增大，减小 D．减小，减小
【答案】A
【分析】根据离散型分布列求期望和方差的方法，求得期望和方差，再运用导函数的正负，可得出期望和方差的变化趋势.
【详解】由已知得，所以当在内增大时，增大，
，
设，
所以当在内时，，
所以当在内增大时，增大，
故选：A.
【点睛】本题考查离散型分布列的期望和方差的求法，以及运用导函数研究其变化趋势，属于中档题.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023春·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期中）设离散型随机变量的分布列为

0
1
2
3
4


0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】CD
【分析】根据概率的性质列方程可得，根据期望和方差公式可得，根据和分别可得和，由此可得答案.
【详解】由概率的性质可得，解得，
，
，
，
,
故选：CD
【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式，属于基础题.
10．（2023秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）从装有个红球和个蓝球的袋中（均不小于2），每次不放回地随机摸出一球. 记“第一次摸球时摸到红球”为，“第一次摸球时摸到蓝球”为，“第二次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则下列说法中正确的是（        ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对AC，利用互斥事件和独立事件的概率公式求解判断；对BD，利用条件概率公式求解判断.
【详解】由题意可知，，，，
，
从而，故AC正确；
又因为，，
故，故D正确；
，
故，故B错误.
故选：ACD.
11．（2023春·重庆九龙坡·高二四川外国语大学附属外国语学校期末）甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）
A．
B．
C．、、是两两互斥的事件
D．的值不能确定，因为它与、、中哪一个发生有关
【答案】BC
【分析】直接计算出、，可判断B选项；利用全概率公式可判断AD选项；利用互斥事件的定义可判断C选项.
【详解】由题意可知，，，，.

，A错B对D错；
、、是两两互斥的事件，C对.
故选：BC.
12．（2023·全国·高二专题练习）新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease2023，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2023冠状病毒病”，是指2023新型冠状病毒感染导致的肺炎.用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，其中随机事件表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中（    ）
A．每100人必有1人患有新冠
B．若，则事件与事件相互独立
C．若,则某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999
D．若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.001
【答案】BD
【分析】根据相互独立事件，对立事件和条件概率的计算公式逐项进行判断即可求解.
【详解】因为表示每100人大约由1人患有新冠，故选项错误；
因为，所以，又因为，由条件概率的计算公式可得：，若，则，因为，所以事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，故选项正确；
由题意可知：若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率，故选项错误；
某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为，因为，
所以，故选项正确，
故选：.


第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023·高二单元测试）若随机变量，则___________.
【答案】6.4
【分析】根据二项分布的方差公式和方差的性质可得结果.
【详解】由，则
所以
故答案为：6.4
14．（2023·高二课时练习）已知某群体中每位成员使用微信支付的概率均为，且各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，若方差且，则__________．
【答案】4
【分析】由题意知，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可.
【详解】依题意可知，且，
所以，
解得或，
又，
所以，
所以，解得，
所以，
所以．
故答案为：4.
15．（2023春·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是__________．
【答案】
【分析】法1：设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，，利用贝叶斯公式即可得到答案；
法2：直接在迟到的前提下计算概率.
【详解】法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，
事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
则；
，
小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是，
法2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率，
故答案为：．
16．（2023·高二课时练习）如图，在小地图中，一机器人从点处出发，每秒向上或向右移动1格到达相应点，已知每次向上移动1格的概率是，向右移动1格的概率是，则该机器人后到达点的概率为______.

【答案】
【分析】根据给定条件先确定6秒内向右移动4次，向上移动2次，再借助二项分布概率公式即可求得.
【详解】依题意，该机器人在内从点到点的事件A，它是6次移动中，向右移动4次，向上移动2次，
于是得，
所以该机器人后到达点的概率为.
故答案为：

四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023·全国·高二专题练习）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求，，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）法一：根据古典概型结合条件概率运算求解；法二：根据独立事件概率乘法公式结合条件概率运算求解；
（2）根据题意结合超几何分布求分布列和期望.
【详解】（1）方法一：
由题意可得：，
“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，
因为，，
所以，
故．
方法二：，
“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，，
故．
（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，
，，
，，
X的分布列：
X
0
1
2
3
P




X的数学期望.
18．（2023春·全国·高二专题练习）制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.十八世纪中叶开启工业文明以来，世界强国的兴衰史和中华民族的奋斗史一再证明，没有强大的制造业，就没有国家和民族的强盛.打造具有国际竞争力的制造业，是我国提升综合国力、保障国家安全、建设世界强国的必由之路.某企业制造的一批零件，分为三个等级：一等、二等、三等，现从该批次零件中随机抽取500个，按照等级分类标准得到的数据如下：
等级
一等
二等
三等
个数
150
250
100
(1)若将样本频率视为概率，从这批零件中随机抽取6个，求恰好有3个零件是二等级别的概率；
(2)若采用分层抽样的方法从这500个零件中抽取10个，再从抽取的10个零件中随机抽取3个，表示抽取的一等级别零件的数量，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）由题意，根据独立重复实验的概率计算公式即可求解；
（2）根据离散型随机变量分布列的求解步骤及期望公式即可求解.
(1)
解：由题意，从这批零件中随机抽取1个为二等级别的概率为，
所以从这批零件中随机抽取6个，恰好有3个零件是二等级别的概率为；
(2)
解：由题意，抽取的10个零件中一等级别3个，二等级别5个，三等级别2个，，
，，
，，
所以的分布列为
X
0
1
2
3
P




.
19．（2023·高二课时练习）李雷、韩梅梅两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止．设李雷在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（1）求P的值；
（2）设表示比赛停止时李雷的总得分，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）第二局比赛结束时比赛停止等价于李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局，由此列式可解得结果；
（2）的所有可能值为0，1，2，3，求出的每个取值的概率可得分布列，根据期望公式可得所求期望值.
【详解】（1）依题意，当李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，
∴有，解得或，∵，∴
（2）依题意知，的所有可能值为0，1，2，3，
∴
∴
∴
∴
∴随机变量的分布列为：

0
1
2
3
P




故．
【点睛】关键点点睛：求出随机变量的所有可能取值的概率是解题关键.
20．（2023秋·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）某公司举办一次募捐爱心演出，有1000人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动，第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个实数（），若满足，电脑显示“中奖”，则抽奖者再次获得特等奖奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中特等奖奖金．
（Ⅰ）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；
（Ⅱ）设特等奖奖金为a元，求小李参加此次活动收益的期望，若该公司在此次活动中收益的期望值是至少获利70000元，求a的最大值．
【答案】（1）;（2）元.
【详解】（Ⅰ）设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，所有基本事件构成区域的面积为16，事件A所包含的基本事件的 区域的面积为5，∴P（A）= ．
（Ⅱ）特等奖奖金为a元，设小李参加此次活动的收益为ξ，则ξ的可能取值为-100，900，a+900．
P（ξ=-100）=，P（ξ=900）=，P（ξ=a+900）= ．
∴ξ的分布列为
ξ

-100

900

a+900

P







∴．
∴该集团公司收益的期望为，
由题意，解得a≤6400．
故特等奖奖金最高可设置成6400元．                                 
21．（2023春·全国·高二专题练习）为加强对企业产品质量的管理，市监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了600件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这600件螺帽质量指标值的样本平均数，样本方差（在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（ⅰ）利用该正态分布，求；
（ⅱ）现从该企业购买了100件这种螺帽，记表示这100件螺帽中质量指标值位于区间的件数，利用（ⅰ）的结果，求.
附：.若，则，.
【答案】（Ⅰ）  ； （Ⅱ）（ⅰ） （ⅱ）.
【分析】(Ⅰ)频率分布直方图中每一组的中间值可作为该组的平均数，再由公式即可求出平均数和方差；
(Ⅱ)根据正态分布的性质即可求出第一问，由二项分布即可求出第二小问.
【详解】（Ⅰ）抽取的螺帽质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：



.
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，，从而
，
，
，
，
，
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件螺帽的质量指标值位于区间的概率为，
依题意知，所以.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的特征，以及正态分布和二项分布，属于常考题型.
22．（2023春·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考阶段练习）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平.某市的体育部门对某小区的4000人进行了“运动参与度”统计评分（满分100分），得到了如下的频率分布直方图：

（1）求这4000人的“运动参与度”的平均得分（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为这4000人的“运动参与度”的得分服从正态分布，其中，分别取平均得分和方差，那么选取的4000人中“运动参与度”得分超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用这4000人得分的情况来估计全市所有人的得分情况，现从全市随机抽取4人，记“运动参与度”的得分不超过84.81分的人数为，求.（精确到0.001）
附：①，；②，则，；③.
【答案】（1）平均成绩为70.5分（2）人（3）
【分析】（1）先计算中间值和对应概率，相乘再相加得到答案.
（2）先计算服从正态分布，根据公式
得到答案.
（3）先计算概率，再利用二项分布公式得到答案.
【详解】（1）由题意知：
中间值
45
55
65
75
85
95
概率
0.1
0.15
0.2
0.3
0.15
0.1
∴，
∴这4000人“运动参与度”得分的平均成绩为70.5分．       
（2）依题意服从正态分布，其中，，，
∴服从正态分布，  
而，
∴．
∴这4000人中“运动参与度”得分超过84.81分的人数估计为人人．
（3）全市所有人的“运动参与度”得分不超过84.81分的概率．
而，                             
∴．
【点睛】本题考查了平均值，正态分布，二项分布，概率.综合性较强，意在考查学生解决问题的能力.